AMC 10 · 2013 · #15

학년 7 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-trianglesratio-proportion convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 삼각형의 두 변의 길이가 $10$ 과 $15$ 이다. 세 번째 변에 내린 높이의 길이는 주어진 두 변에 내린 높이 길이의 평균과 같다. 세 번째 변의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 삼각형의 두 변의 길이가 $10$과 $15$이다. 삼각형에서 각 변에는 그 변을 밑변으로 볼 때의 높이(수선)가 하나씩 대응된다. 세 번째 변에 대한 높이가, 길이 $10$인 변과 길이 $15$인 변에 대한 두 높이의 평균과 같다. 세 번째 변의 길이를 구하여라.

주어진 것: 두 변의 길이가 $10$과 $15$이다; 삼각형의 모든 변에는 그 변에 대한 높이(수선)가 하나씩 있다; 세 번째 변에 대한 높이 $=$ 길이 $10$인 변에 대한 높이와 길이 $15$인 변에 대한 높이의 평균; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $12$, (E) $18$

구하는 것: 세 번째 변의 길이 $x$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

높이들은 구체적인 수로 주어지지 않으므로, 이 높이들을 하나로 묶어 주는 유일한 양에 이름을 붙이는 것이 핵심이다. 바로 삼각형의 넓이다. 이것이 Tool #4(변수 도입하기)이다 — 넓이를 $S$라 하자. 하나의 삼각형은 넓이가 하나뿐이고, 세 변 각각을 밑변으로 삼아도 $S = \frac{1}{2}\,(\text{밑변})(\text{높이})$가 성립하므로, 모든 높이를 $\frac{2S}{\text{변}}$로 쓸 수 있다. 각 높이가 $S$에 대한 식이 되면 Tool #13(대수로 바꾸기)이 "~의 평균이다"라는 문장을 방정식으로 바꿔 준다. 이 방법이 깔끔한 이유는, 모르는 넓이 $S$가 모든 항에 나타나 서로 약분되어 $x$에 대한 짧은 방정식만 남기 때문이다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.G.A.1 단계 1

공통 넓이에 이름 붙이기

삼각형의 넓이는 하나로 고정되어 있고, 세 변 중 어느 것을 밑변으로 삼아도 그 넓이는 같다.
넓이를 $S$라 하자.
넓이 공식 $\text{넓이} = \frac{1}{2}\,(\text{밑변})(\text{높이})$를 밑변마다 한 번씩 쓰면 세 높이가 모두 하나의 수 $S$에 연결된다.

$$S = \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot h_{10} = \frac{1}{2}\cdot 15 \cdot h_{15} = \frac{1}{2}\cdot x \cdot h_{x}$$

💡 삼각형 하나의 넓이는 하나뿐이므로, 같은 $S$가 모든 변-높이 짝에 그대로 쓰인다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

각 높이를 식으로

각 넓이 공식을 높이에 대해 정리한다.
$S = \frac{1}{2}(\text{밑변})(\text{높이})$를 밑변으로 나누면 $\text{높이} = \frac{2S}{\text{밑변}}$이다.
세 밑변 모두에 적용하면 각 높이가 $S$에 대한 식이 된다.

$$h_{10} = \frac{2S}{10} = \frac{S}{5}, \qquad h_{15} = \frac{2S}{15}, \qquad h_{x} = \frac{2S}{x}$$

💡 밑변이 길수록 같은 넓이를 유지하려면 높이가 짧아지므로, 높이는 $2S$를 변으로 나눈 값이다.

#13 대수로 바꾸기 6.SP.B.5 단계 3

"평균" 번역하기

세 번째 변에 대한 높이는 나머지 두 높이의 평균과 같다.
두 양의 평균은 그 합을 $2$로 나눈 값이다.
이 문장을 그대로 방정식으로 옮긴다.

$$h_{x} = \frac{h_{10} + h_{15}}{2}$$

💡 "두 수의 평균"은 더해서 반으로 나누는 것일 뿐이다.

#13 대수로 바꾸기 5.NF.A.1 단계 4

넓이 약분하기

앞 단계의 식들을 대입한다.
모든 항에 $2S$라는 인수가 들어 있으므로, 방정식 전체에서 약분되어 변의 길이만 남는다.
남은 것은 $\frac{1}{x}$에 대한 식이고, 오른쪽의 분수들은 공통분모 $30$으로 깔끔하게 더해진다.

$\frac{2S}{x} = \frac{1}{2}\left(\frac{2S}{10} + \frac{2S}{15}\right) \;\Rightarrow\; \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)$\\$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

💡 모르는 넓이가 모든 항에 들어 있어 사라지고, 결국 변의 길이만 답을 결정한다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 5

변의 길이 구하기

오른쪽 계산을 마무리한 뒤 역수를 취한다.
$\frac{1}{6}$을 반으로 나누면 $\frac{1}{12}$이므로, $\frac{1}{x} = \frac{1}{12}$에서 $x = 12$가 된다.
세 번째 변의 길이는 $12$이고, 이는 선택지 (D)이다.

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12} \;\Rightarrow\; x = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 양수의 역수가 같으면 그 두 수 자체도 같다.

[1] #4 6.G.A.1 삼각형의 넓이는 하나로 고정되어 있고, 세 변 중 어느 것을 밑변으로 삼아도 그 넓이는 같다. 넓이를 $S$라 하자. 넓이 공식 $\text{넓

[2] #13 6.EE.A.2 각 넓이 공식을 높이에 대해 정리한다. $S = \frac{1}{2}(\text{밑변})(\text{높이})$를 밑변으로 나누면 $\text{높

[3] #13 6.SP.B.5 세 번째 변에 대한 높이는 나머지 두 높이의 평균과 같다. 두 양의 평균은 그 합을 $2$로 나눈 값이다. 이 문장을 그대로 방정식으로 옮긴다.

[4] #13 5.NF.A.1 앞 단계의 식들을 대입한다. 모든 항에 $2S$라는 인수가 들어 있으므로, 방정식 전체에서 약분되어 변의 길이만 남는다. 남은 것은 $\frac

[5] #13 7.EE.B.4 오른쪽 계산을 마무리한 뒤 역수를 취한다. $\frac{1}{6}$을 반으로 나누면 $\frac{1}{12}$이므로, $\frac{1}{x} =

검토

합리성 확인: 구체적인 넓이를 넣어 확인한다. 삼각형의 넓이를 $S = 30$이라 하면, $h_{10} = \frac{2\cdot 30}{10} = 6$, $h_{15} = \frac{2\cdot 30}{15} = 4$이고, 이 둘의 평균은 $5$이다. 길이 $12$인 변에 대한 높이는 $h_{x} = \frac{2\cdot 30}{12} = 5$로, 요구되는 평균과 정확히 일치한다. 또한 세 변 $10, 12, 15$는 삼각형 부등식($10 + 12 > 15$)을 만족하므로 실제 삼각형이 존재한다. 두 확인 모두 $x = 12$를 뒷받침한다.

대안 접근: Tool #3(가능성 지우기): 세 번째 높이는 길이 $10$, $15$인 변에 대한 두 높이의 평균이므로, 그 두 높이 사이에 놓인다. 긴 변일수록 높이가 짧으므로(둘의 곱이 고정된 $2S$이다), 세 번째 변은 반드시 $10$과 $15$ 사이에 있어야 한다. 선택지 $6, 8, 9, 12, 18$ 중 $10$과 $15$ 사이에 있는 것은 $12$뿐이므로, 방정식 없이도 답은 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (삼각형의 넓이를 세 변 각각에 대해 $\frac{1}{2}(\text{밑변})(\text{높이})$로 써서, 세 높이가 하나의 공통 넓이 $S$를 공유하도록 한다.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (각 높이를 이름 붙인 넓이 $S$에 대한 식 $\frac{2S}{\text{변}}$로 다시 쓴다.)
6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures ("두 높이의 평균"을 평균 식 $\frac{h_{10} + h_{15}}{2}$으로 옮긴다.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (공통분모 $30$을 이용해 $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$을 계산한다.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (공통 넓이가 약분된 뒤 $\frac{1}{x} = \frac{1}{12}$을 세워 풀어 $x = 12$를 얻는다.)

⭐ 삼각형의 넓이는 어느 변을 밑변으로 삼아도 같으므로, 각 높이는 넓이의 두 배를 그 변으로 나눈 값이다 — 넓이에 이름을 한 번 붙이면 저절로 약분되고, 남는 것은 모르는 변에 대한 깔끔한 방정식뿐이다.