AMC 10 · 2013 · #15

학년 7 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-trianglesratio-proportion convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 삼각형의 두 변의 길이가 10과 15이다. 삼각형에서 각 변에는 그 변을 밑변으로 볼 때의 높이(수선)가 하나씩 대응된다. 세 번째 변에 대한 높이가, 길이 10인 변과 길이 15인 변에 대한 두 높이의 평균과 같다. 세 번째 변의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

높이들은 구체적인 수로 주어지지 않으므로, 이 높이들을 하나로 묶어 주는 유일한 양에 이름을 붙이는 것이 핵심이다. 바로 삼각형의 넓이다. 이것이 Tool #4(변수 도입하기)이다 — 넓이를 S라 하자. 하나의 삼각형은 넓이가 하나뿐이고, 세 변 각각을 밑변으로 삼아도 S = 1/2 (밑변)(높이)가 성립하므로, 모든 높이를 2S/변로 쓸 수 있다. 각 높이가 S에 대한 식이 되면 Tool #13(대수로 바꾸기)이 "~의 평균이다"라는 문장을 방정식으로 바꿔 준다. 이 방법이 깔끔한 이유는, 모르는 넓이 S가 모든 항에 나타나 서로 약분되어 x에 대한 짧은 방정식만 남기 때문이다.

1STEP 1

공통 넓이에 이름 붙이기

어느 변을 밑변으로 삼아도 넓이는 하나뿐이다. 그 넓이를 S라 하고 세 변 각각에 넓이 = 밑변 × 높이 ÷ 2를 쓴다.

S = 1/2 · 10 · h₁₀ = 1/2 · 15 · h₁₅ = 1/2 · x · h_x

2STEP 2

각 높이를 식으로

각 식을 그 밑변으로 나누면 높이는 모두 넓이의 두 배를 변으로 나눈 값, 즉 $\frac{2S}{10}$ , $\frac{2S}{15}$ , $\frac{2S}{x}$ 가 된다.

h₁₀ = 2S/10 = S/5, h₁₅ = 2S/15, h_x = 2S/x

3STEP 3

"평균" 번역하기

문장을 그대로 식으로 옮긴다. 세 번째 높이는 나머지 두 높이의 합을 2로 나눈 값이다.

h_x = (h₁₀ + h₁₅)/2

4STEP 4

넓이 약분하기

대입하면 모든 항의 2S가 약분되어, $\frac{1}{x}$ 는 $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$ 의 절반이 된다.

2S/x = 1/2(2S/10 + 2S/15) → 1/x = 1/2(1/10 + 1/15) ; 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6

5STEP 5

변의 길이 구하기

$\frac{1}{6}$ 의 절반은 $\frac{1}{<span class="hl-ask">12</span>}$ 이고, 역수가 같으므로 세 번째 변은 12, 곧 (D)이다.

1/x = 1/2·1/6 = 1/12 → x = 12 → (D)

정답

구체적인 넓이를 넣어 확인한다. 삼각형의 넓이를 S = 30이라 하면, h₁₀ = (2 · 30)/10 = 6, h₁₅ = (2 · 30)/15 = 4이고, 이 둘의 평균은 5이다. 길이 12인 변에 대한 높이는 h_x = (2 · 30)/12 = 5로, 요구되는 평균과 정확히 일치한다. 또한 세 변 10, 12, 15는 삼각형 부등식(10 + 12 ＞ 15)을 만족하므로 실제 삼각형이 존재한다. 두 확인 모두 x = 12를 뒷받침한다.

💡핵심 정리

삼각형의 넓이는 어느 변을 밑변으로 삼아도 같으므로, 각 높이는 넓이의 두 배를 그 변으로 나눈 값이다 — 넓이에 이름을 한 번 붙이면 저절로 약분되고, 남는 것은 모르는 변에 대한 깔끔한 방정식뿐이다.

공통 넓이에 이름 붙이기
각 높이를 식으로
"평균" 번역하기
넓이 약분하기
변의 길이 구하기

공통 넓이에 이름 붙이기

각 높이를 식으로

"평균" 번역하기

넓이 약분하기

변의 길이 구하기

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