AMC 10 · 2013 · #16
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모든 것이 좌표평면 위에서 벌어지므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 세 점을 찍고 x=8에 대해 반사시키면 겹치는 부분의 모양이 눈에 보인다. 겹쳐진 두 삼각형은 곧바로 재기 어려우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 합집합을 "두 삼각형의 넓이를 더한 뒤, 두 번 센 부분을 한 번 빼기"로 바꾼다: 합집합 = 넓이(T₁) + 넓이(T₂) - 겹침. 각 삼각형의 넓이는 작은 문제(도구 #7)이고, 겹침의 안쪽 꼭짓점 하나를 찾는 일은 도구 #4가 맡는다 — 두 윗변을 직선으로 이름 붙여 만나는 점을 구하면 된다. 이 방법이 통하는 이유는 반사가 넓이를 그대로 복사하므로, 남는 진짜 미지수는 겹침뿐이기 때문이다.
세 꼭짓점을 반사시키기
x=8에 대해 점 (x,y)는 (16-x, y)로 가므로 A는 A'(10,5), C는 C'(7,1), B는 그대로다.
수직선에 대한 반사는 점의 높이는 그대로 두고, 축의 왼쪽·오른쪽 어느 쪽에 얼마나 있는지만 바꾼다.
8.G.A.3Draw A Diagram삼각형 하나의 넓이
A(6,5), B(8,-3), C(9,1)에 신발끈 공식을 쓰면 넓이는 8, 거울상도 합동이라 넓이가 8이다.
거울상은 원래 삼각형과 합동이므로 두 삼각형이 덮는 넓이는 정확히 같다.
6.G.A.1Identify Subproblems전체에서 겹침 빼기로 바꾸기
두 넓이를 더하면 가운데 공유 부분이 두 번 세어지므로 합집합은 16에서 겹침을 뺀 값이고, 남은 일은 겹침 찾기다.
두 도형을 붙이면 공유하는 부분이 두 번 세어지므로 한 번 다시 빼 준다.
두 도형을 붙이면 공유된 부분이 두 번 세어지므로, 한 번 도로 덜어 낸다.
▸ 왜?
두 넓이를 더하면 겹침이 두 번 세어지므로, 한 번 빼면 정직한 총합이 된다.
▸ 왜?
거울에 비친 상은 원래와 크기가 같으므로, 두 삼각형이 정확히 같은 넓이를 덮는다.
공유하는 모양 알아보기
C'는 선분 BA 위에, C는 선분 BA' 위에 있어 두 삼각형은 B에서 같은 쪽으로 벌어지고, 겹침은 꼭대기가 F인 연 모양이다.
반사된 삼각형이 B에서 완전히 같은 모서리에 놓이므로, 공유 부분은 두 윗변이 함께 인정하는 아래쪽 조각이다.
6.G.A.3Draw A Diagram윗쪽 꼭짓점 F 찾기
윗변 AC와 C'A'를 직선으로 쓰고 같다고 놓으면 대칭축 x=8 위에서 만나 F=(8, 7/3)이다.
두 직선이 만나는 곳은 두 식을 동시에 만족하는 단 하나의 점이다.
8.EE.C.8Introduce A Variable겹침 넓이, 그리고 합집합
연 모양을 길이 16/3인 BF로 가르면 폭 1인 삼각형 둘이 되어 겹침은 16/3, 합집합은 32/3이다.
대칭인 연 모양은 똑같은 두 개의 가느다란 삼각형으로 갈라지고, 각각은 반사축을 기준으로 재기 쉽다.
7.G.B.6Identify Subproblems겹쳐진 두 복사본을 재려면 두 넓이를 더한 뒤 공유하는 가운데를 한 번 빼면 된다 — 반사는 넓이를 그대로 두므로, 모든 작업은 그 공유 조각을 정확히 짚어내는 것뿐이다.
- 세 꼭짓점을 반사시키기
- 삼각형 하나의 넓이
- 전체에서 겹침 빼기로 바꾸기
- 공유하는 모양 알아보기
- 윗쪽 꼭짓점 F 찾기
- 겹침 넓이, 그리고 합집합