AMC 10 · 2013 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryreflection-symmetryarea-trianglescentroid-2-to-1 complementary-counting ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꼭짓점이 $(6, 5)$ , $(8, -3)$ , $(9, 1)$ 인 삼각형을 직선 $x=8$ 에 대하여 대칭시켜 두 번째 삼각형을 만든다. 두 삼각형의 합집합의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{28}{3}$

(C)

(D)

$\frac{31}{3}$

(E)

$\frac{32}{3}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 꼭짓점이 $(6,5)$, $(8,-3)$, $(9,1)$인 삼각형이 있다. 이 삼각형을 수직선 $x=8$에 대해 반사시켜 두 번째 삼각형을 만든다. 두 삼각형 중 적어도 하나에 덮이는 영역(합집합)의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 삼각형 $T_1$의 꼭짓점은 $A(6,5)$, $B(8,-3)$, $C(9,1)$이다; $T_2$는 $T_1$을 수직선 $x=8$에 대해 반사시킨 거울상이다; $x=8$에 대한 반사는 점 $(x,y)$를 $(16-x,\,y)$로 옮긴다; 선택지: (A) $9$, (B) $\frac{28}{3}$, (C) $10$, (D) $\frac{31}{3}$, (E) $\frac{32}{3}$

구하는 것: 두 삼각형의 합집합의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

모든 것이 좌표평면 위에서 벌어지므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 세 점을 찍고 $x=8$에 대해 반사시키면 겹치는 부분의 모양이 눈에 보인다. 겹쳐진 두 삼각형은 곧바로 재기 어려우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 합집합을 "두 삼각형의 넓이를 더한 뒤, 두 번 센 부분을 한 번 빼기"로 바꾼다: $\text{합집합} = \text{넓이}(T_1) + \text{넓이}(T_2) - \text{겹침}$. 각 삼각형의 넓이는 작은 문제(도구 #7)이고, 겹침의 안쪽 꼭짓점 하나를 찾는 일은 도구 #4가 맡는다 — 두 윗변을 직선으로 이름 붙여 만나는 점을 구하면 된다. 이 방법이 통하는 이유는 반사가 넓이를 그대로 복사하므로, 남는 진짜 미지수는 겹침뿐이기 때문이다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 8.G.A.3 단계 1

세 꼭짓점을 반사시키기

수직선 $x=8$에 대한 반사는 높이 $y$는 그대로 두고 축까지의 좌우 거리만 뒤집으므로 $(x,y)\to(16-x,\,y)$이다.
각 꼭짓점에 적용한다.
$B$는 축 위에 있어 움직이지 않는다.

$$A(6,5)\to A'(10,5),\qquad B(8,-3)\to B(8,-3),\qquad C(9,1)\to C'(7,1)$$

💡 수직선에 대한 반사는 점의 높이는 그대로 두고, 축의 왼쪽·오른쪽 어느 쪽에 얼마나 있는지만 바꾼다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

삼각형 하나의 넓이

$A(6,5)$, $B(8,-3)$, $C(9,1)$에 좌표 넓이 공식(신발끈 공식)을 쓴다.
반사는 넓이를 바꾸지 않으므로 두 번째 삼각형의 넓이도 같다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\big|6(-3-1)+8(1-5)+9(5-(-3))\big| = \tfrac{1}{2}|-24-32+72| = \tfrac{1}{2}\cdot 16 = 8$$

💡 거울상은 원래 삼각형과 합동이므로 두 삼각형이 덮는 넓이는 정확히 같다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 3

전체에서 겹침 빼기로 바꾸기

합집합은 두 삼각형 중 하나라도 덮는 모든 부분이다.
두 넓이를 더하면 가운데 공유 부분이 두 번 세어지므로 그 겹침을 한 번 뺀다.
두 넓이가 모두 $8$이므로 문제는 겹침을 찾는 것으로 줄어든다.

$$\text{합집합} = 8 + 8 - \text{겹침} = 16 - \text{겹침}$$

💡 두 도형을 붙이면 공유하는 부분이 두 번 세어지므로 한 번 다시 빼 준다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 4

공유하는 모양 알아보기

$B$를 지나는 빗변들을 확인한다.
변 $BA$는 $B(8,-3)$, $C'(7,1)$, $A(6,5)$를 한 직선 위에 지나므로, 반사된 꼭짓점 $C'$는 정확히 $BA$의 중점이다.
변 $BC$는 $B(8,-3)$, $C(9,1)$, $A'(10,5)$를 지나므로 $C$는 $BA'$의 중점이다.
두 삼각형은 같은 두 직선이 이루는 $\vee$ 안에서 $B$로부터 벌어지므로, 겹침은 두 윗변이 만나는 점 $F$를 포함한 네 꼭짓점 영역 $B$, $C'$, $F$, $C$이다.

$$\text{직선 }BA:\; y=-4x+29,\qquad \text{직선 }BC:\; y=4x-35$$

💡 반사된 삼각형이 $B$에서 완전히 같은 모서리에 놓이므로, 공유 부분은 두 윗변이 함께 인정하는 아래쪽 조각이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 5

윗쪽 꼭짓점 F 찾기

겹침의 가장 높은 점 $F$는 두 윗변이 만나는 곳이다: 변 $AC$와 그 거울상 변 $C'A'$.
각각을 직선으로 쓰고 서로 같다고 놓는다.
대칭성에 의해 두 직선은 반사축 $x=8$ 위에서 만난다.

$$AC:\; y=13-\tfrac{4x}{3},\quad C'A':\; y=\tfrac{4x}{3}-\tfrac{25}{3}\;\Rightarrow\; 13-\tfrac{4x}{3}=\tfrac{4x}{3}-\tfrac{25}{3}\;\Rightarrow\; x=8,\; y=\tfrac{7}{3}\;\Rightarrow\; F=(8,\tfrac{7}{3})$$

💡 두 직선이 만나는 곳은 두 식을 동시에 만족하는 단 하나의 점이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 6

겹침 넓이, 그리고 합집합

겹침 $B,C',F,C$는 $x=8$에 대해 대칭이다.
세로 선분 $BF$를 따라 나누면 그 길이는 $\frac{7}{3}-(-3)=\frac{16}{3}$이다.
꼭짓점 $C$는 축의 오른쪽으로 $1$만큼, $C'$는 왼쪽으로 $1$만큼 떨어져 있으므로, 각 절반 삼각형은 밑변 $BF$와 폭 $1$을 가진다.
두 절반을 더해 겹침을 구한 뒤 $16$에서 뺀다.

$$\text{겹침} = 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{16}{3}\cdot 1 = \tfrac{16}{3}\;\Rightarrow\; \text{합집합} = 16-\tfrac{16}{3}=\tfrac{48-16}{3}=\tfrac{32}{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 대칭인 연 모양은 똑같은 두 개의 가느다란 삼각형으로 갈라지고, 각각은 반사축을 기준으로 재기 쉽다.

[1] #1 8.G.A.3 수직선 $x=8$에 대한 반사는 높이 $y$는 그대로 두고 축까지의 좌우 거리만 뒤집으므로 $(x,y)\to(16-x,\,y)$이다. 각 꼭짓점

[2] #7 6.G.A.1 $A(6,5)$, $B(8,-3)$, $C(9,1)$에 좌표 넓이 공식(신발끈 공식)을 쓴다. 반사는 넓이를 바꾸지 않으므로 두 번째 삼각형의

[3] #16 7.G.B.6 합집합은 두 삼각형 중 하나라도 덮는 모든 부분이다. 두 넓이를 더하면 가운데 공유 부분이 두 번 세어지므로 그 겹침을 한 번 뺀다. 두 넓이가

[4] #1 6.G.A.3 $B$를 지나는 빗변들을 확인한다. 변 $BA$는 $B(8,-3)$, $C'(7,1)$, $A(6,5)$를 한 직선 위에 지나므로, 반사된 꼭짓

[5] #4 8.EE.C.8 겹침의 가장 높은 점 $F$는 두 윗변이 만나는 곳이다: 변 $AC$와 그 거울상 변 $C'A'$. 각각을 직선으로 쓰고 서로 같다고 놓는다.

[6] #7 7.G.B.6 겹침 $B,C',F,C$는 $x=8$에 대해 대칭이다. 세로 선분 $BF$를 따라 나누면 그 길이는 $\frac{7}{3}-(-3)=\frac{

검토

합리성 확인: 각 삼각형의 넓이가 $8$이므로 합집합은 $8$(한 삼각형이 다른 삼각형에 완전히 겹칠 때)과 $16$(전혀 겹치지 않을 때) 사이여야 한다. 겹침 $\frac{16}{3}\approx 5.33$은 꽤 큰 조각이지만 삼각형 하나보다는 작아, 합집합 $\frac{32}{3}\approx 10.7$을 주며 이는 $8$부터 $16$ 사이에 잘 들어온다. 겹침을 $B(8,-3)$, $C(9,1)$, $F(8,\frac{7}{3})$, $C'(7,1)$에 신발끈 공식으로 다시 확인해도 $\frac{16}{3}$이 나오므로 합집합은 $\frac{32}{3}$, 즉 선택지 (E)이다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 합집합은 삼각형 하나($8$)보다는 확실히 크고 떨어진 두 삼각형($16$)보다는 확실히 작다. 두 복사본이 $B$에서의 쐐기를 분명히 공유하지만 완전히 포개지지는 않기 때문이다. 선택지 중 $C=10$, $D=\frac{31}{3}\approx10.3$, $E=\frac{32}{3}\approx10.7$만이 그럴듯한 위쪽 범위에 있고, 간단한 스케치만 봐도 겹침이 (작지 않은) 통통한 연 모양이라 합집합을 이들 중 큰 값 쪽으로 끌어올리므로 답은 $\frac{32}{3}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.3 Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on coordinates (규칙 $(x,y)\to(16-x,y)$로 각 꼭짓점을 $x=8$에 대해 반사시켜 두 번째 삼각형을 만드는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (삼각형 하나의 넓이를 $8$로 계산하고(합동에 의해 반사된 삼각형도 동일), 겹침의 두 가느다란 삼각형 넓이를 구하는 데 사용.)
7.G.B.6 Solve real-world and mathematical problems involving area, surface area, and volume (합집합을 $16-\text{겹침}$으로 바꾸고 조각들을 합쳐 최종 넓이를 구하는 데 사용.)
6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (반사된 점들을 찍고 겹침을 사각형 $B,C',F,C$로 알아보는 데 사용.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (두 윗변 직선을 같다고 놓아 교점 $F=(8,\tfrac{7}{3})$를 찾는 데 사용.)

⭐ 겹쳐진 두 복사본을 재려면 두 넓이를 더한 뒤 공유하는 가운데를 한 번 빼면 된다 — 반사는 넓이를 그대로 두므로, 모든 작업은 그 공유 조각을 정확히 짚어내는 것뿐이다.