AMC 10 · 2013 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryarea-triangleslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 $A = (0, 0)$ , $B = (1, 2)$ , $C=(3, 3)$ , $D = (4, 0)$ 이라 하자. 사각형 $ABCD$ 가 $A$ 를 지나는 한 직선에 의해 넓이가 같은 두 조각으로 나뉜다. 이 직선은 $\overline{CD}$ 와 점 $\left(\frac{p}{q}, \frac{r}{s}\right)$ 에서 만나며, 이 분수들은 기약분수이다. $p+q+r+s$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 점 $A=(0,0)$, $B=(1,2)$, $C=(3,3)$, $D=(4,0)$이 사각형 $ABCD$를 이룬다. 점 $A$를 지나는 직선이 이 사각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나눈다. 그 직선은 변 $\overline{CD}$와 기약분수로 나타낸 점 $\left(\tfrac{p}{q},\tfrac{r}{s}\right)$에서 만난다. $p+q+r+s$를 구하라.

주어진 것: 꼭짓점 $A=(0,0)$, $B=(1,2)$, $C=(3,3)$, $D=(4,0)$이 순서대로 주어짐; 자르는 직선은 꼭짓점 $A$를 지남; 그 직선은 $ABCD$를 넓이가 같은 두 조각으로 나눔; 직선은 변 $\overline{CD}$와 점 $\left(\tfrac{p}{q},\tfrac{r}{s}\right)$에서 만나며 분수는 기약분수임; 선택지: (A) 54, (B) 58, (C) 62, (D) 70, (E) 75

구하는 것: $\overline{CD}$ 위의 교점과, 그 기약분수 성분들의 합 $p+q+r+s$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

문제의 핵심은 $\overline{CD}$ 위의 미지의 교점이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 주 도구다. 그 점을 $E=(x,y)$라 두고 "넓이가 같다"를 그 점에 대한 방정식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)로 먼저 $A$에서 $\overline{CD}$ 위의 점으로 그은 직선이 삼각형 $AED$를 잘라낸다는 것을 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 넓이를 구하는 일과 그 절반을 맞추는 일 두 가지로 나눈다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 변 $\overline{CD}$를 직선의 식으로 써서, 높이를 알고 나면 점의 $x$좌표를 구한다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

점과 자르는 선 그리기

네 점을 찍는다.
$A$와 $D$는 모두 x축 위에 있으므로 변 $\overline{AD}$는 바닥에 평평하게 놓이고 길이는 $4$이다.
$A$에서 변 $\overline{CD}$ 위의 점 $E$로 그은 직선은 사각형을 두 조각으로 나눈다.
오른쪽 아래에 붙는 삼각형 $AED$와, 그 위의 사각형 $ABCE$이다.
이 두 넓이를 같게 만드는 것이 전체 과제다.

$$A=(0,0),\ D=(4,0)\Rightarrow \overline{AD}\text{는 x축 위},\ AD=4$$

💡 직선이 어떤 두 조각을 만드는지 보면 어느 넓이를 조절할지 정확히 알 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

전체 넓이 구하기

순서대로 놓인 $A,B,C,D$에 신발끈 공식을 쓴다.
각 $x$에 다음 $y$를 곱한 값에서 다음 $x$에 $y$를 곱한 값을 뺀다: $(0\cdot2-1\cdot0)+(1\cdot3-3\cdot2)+(3\cdot0-4\cdot3)+(4\cdot0-0\cdot0)=0-3-12+0=-15$.
절댓값의 절반을 취하면 넓이는 $\tfrac{15}{2}$이다.
따라서 같은 두 조각은 각각 넓이가 $\tfrac12\cdot\tfrac{15}{2}=\tfrac{15}{4}$여야 한다.

$$[ABCD]=\tfrac12\,|{-15}|=\tfrac{15}{2}\ \Rightarrow\ \text{절반}=\tfrac{15}{4}$$

💡 신발끈 공식은 꼭짓점 좌표만으로 넓이를 바로 읽어낸다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

삼각형 넓이를 절반으로 놓기

교점을 $E=(x,y)$라 하자.
삼각형 $AED$는 밑변 $\overline{AD}=4$가 x축 위에 있으므로 높이는 $E$가 그 축 위로 올라간 높이, 곧 $y$이다.
그 넓이는 $\tfrac12\cdot4\cdot y=2y$이다.
이 삼각형이 같은 절반 중 하나여야 하므로 $2y=\tfrac{15}{4}$로 놓으면 $y=\tfrac{15}{8}$이다.
이것이 $E$의 $y$좌표다.

$$[AED]=\tfrac12\cdot4\cdot y=2y=\tfrac{15}{4}\ \Rightarrow\ y=\tfrac{15}{8}$$

💡 밑변이 축 위에 놓이므로 점의 높이만으로 삼각형 넓이가 정해진다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.B.6 단계 4

변 CD 위의 점 찾기

이제 $E$가 $\overline{CD}$ 위에 있다는 사실로 $x$를 구한다.
선분은 $C=(3,3)$에서 $D=(4,0)$으로 가고, 기울기는 $\tfrac{0-3}{4-3}=-3$이므로 직선은 $y=-3x+12$이다.
아는 높이 $y=\tfrac{15}{8}$을 대입하면 $\tfrac{15}{8}=-3x+12$, 즉 $3x=12-\tfrac{15}{8}=\tfrac{81}{8}$이고 $x=\tfrac{27}{8}$이다.
따라서 $E=\left(\tfrac{27}{8},\tfrac{15}{8}\right)$이고, $\tfrac{27}{8}$은 요구대로 $3$과 $4$ 사이에 있다.

$$y=-3x+12,\ \tfrac{15}{8}=-3x+12\ \Rightarrow\ x=\tfrac{27}{8}$$

💡 점은 $\overline{CD}$의 직선을 따라야 하므로 아는 높이가 그 $x$를 결정한다.

#4 변수 도입하기 6.NS.C.6 단계 5

기약분수 성분 더하기

점은 $\left(\tfrac{27}{8},\tfrac{15}{8}\right)$이다.
두 분수는 이미 기약분수다.
$27$과 $8$은 공약수가 없고 $15$와 $8$도 공약수가 없다.
그래서 $p=27,\ q=8,\ r=15,\ s=8$이고 $p+q+r+s=27+8+15+8=58$이다.
답은 $\textbf{(B)}$이다.

$$p+q+r+s=27+8+15+8=58\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 분수를 완전히 기약분수로 만든 뒤에는 네 자연수를 더하기만 하면 된다.

[1] #1 6.G.A.3 네 점을 찍는다. $A$와 $D$는 모두 x축 위에 있으므로 변 $\overline{AD}$는 바닥에 평평하게 놓이고 길이는 $4$이다. $A$

[2] #7 6.G.A.1 순서대로 놓인 $A,B,C,D$에 신발끈 공식을 쓴다. 각 $x$에 다음 $y$를 곱한 값에서 다음 $x$에 $y$를 곱한 값을 뺀다: $(0\

[3] #4 6.EE.B.7 교점을 $E=(x,y)$라 하자. 삼각형 $AED$는 밑변 $\overline{AD}=4$가 x축 위에 있으므로 높이는 $E$가 그 축 위로 올

[4] #13 8.EE.B.6 이제 $E$가 $\overline{CD}$ 위에 있다는 사실로 $x$를 구한다. 선분은 $C=(3,3)$에서 $D=(4,0)$으로 가고, 기울기

[5] #4 6.NS.C.6 점은 $\left(\tfrac{27}{8},\tfrac{15}{8}\right)$이다. 두 분수는 이미 기약분수다. $27$과 $8$은 공약수가

검토

합리성 확인: 높이가 가능한지 확인한다. 변 $\overline{CD}$는 $C$에서 $y=3$이었다가 $D$에서 $y=0$으로 내려가고, $\tfrac{15}{8}=1.875$는 그 사이에 있으므로 $E$는 정말 선분 위에 있다($x=\tfrac{27}{8}=3.375$도 $3$과 $4$ 사이다). 넓이가 같은지도 확인한다. 삼각형 $AED$의 넓이는 $2\cdot\tfrac{15}{8}=\tfrac{15}{4}$로 $\tfrac{15}{2}$의 정확히 절반이므로 나머지 조각도 그 절반이다. 성분의 합은 $58$, 곧 (B)이며, 다른 선택지들은 이 점의 어떤 기약형에서도 나오지 않는다.

대안 접근: 직선의 식 대신 $\overline{CD}$ 위의 비례를 쓴다. $C$에서 $D$로 갈 때 높이는 $3$만큼 내려가고($3$에서 $0$으로) $x$는 $1$만큼 올라간다. 필요한 내림은 $3-\tfrac{15}{8}=\tfrac{9}{8}$이고 이는 전체의 $\tfrac{9/8}{3}=\tfrac38$ 지점이므로 $x=3+\tfrac38=\tfrac{27}{8}$이다. 같은 점이 나오고 답도 다시 $58$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (네 꼭짓점을 찍어 AD가 x축 위에 있고 A에서 그은 직선이 삼각형 AED를 잘라냄을 봄.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (신발끈 공식으로 사각형 넓이 15/2를 구해 각 절반이 15/4임을 앎.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (2y = 15/4를 풀어 교점의 높이 y = 15/8을 구함.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (변 CD를 직선 y = -3x + 12로 쓰고 아는 높이에서 x = 27/8을 구함.)
6.NS.C.6 Understand a rational number as a point on the number line (기약분수 좌표 (27/8, 15/8)을 읽고 성분을 더해 58을 얻음.)

⭐ $AD$가 x축 위에 평평히 놓이므로 자른 삼각형 넓이는 높이의 $2$배일 뿐이니, 그것을 전체의 절반과 같게 놓고 $CD$의 직선을 따라가 정확한 점을 찾는다.