AMC 10 · 2013 · #18

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometryarea-triangleslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
네 점 A=(0,0), B=(1,2), C=(3,3), D=(4,0)이 사각형 ABCD를 이룬다. 점 A를 지나는 직선이 이 사각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나눈다. 그 직선은 변 CD와 기약분수로 나타낸 점 (p/q,r/s)에서 만난다. p+q+r+s를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
54
(B)
58
(C)
62
(D)
70
(E)
75

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제의 핵심은 CD 위의 미지의 교점이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 주 도구다. 그 점을 E=(x,y)라 두고 "넓이가 같다"를 그 점에 대한 방정식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)로 먼저 A에서 CD 위의 점으로 그은 직선이 삼각형 AED를 잘라낸다는 것을 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 넓이를 구하는 일과 그 절반을 맞추는 일 두 가지로 나눈다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 변 CD를 직선의 식으로 써서, 높이를 알고 나면 점의 x좌표를 구한다.

1STEP 1

점과 자르는 선 그리기

A와 D가 x축 위에 있어 AD는 길이 4의 밑변이다. A에서 CD 위의 점 E로 그으면 삼각형 AED와 사각형 ABCE로 갈린다.

A=(0,0), D=(4,0)→ AD는 x축 위, AD=4
2STEP 2

전체 넓이 구하기

A,B,C,D에 신발끈 공식을 쓰면 넓이는 15/2, 그래서 각 조각은 15/4여야 한다.

[ABCD]=1/2 |{-15}|=15/2 → 절반=15/4
3STEP 3

삼각형 넓이를 절반으로 놓기

E=(x,y)라 하자. 밑변 AD=4가 축 위라 넓이는 2y이니, 2y=15/4에서 y=15/8이다.

[AED]=1/2·4 · y=2y=15/4 → y=15/8
4STEP 4

변 CD 위의 점 찾기

CD의 직선은 y=-3x+12. 여기에 y=15/8을 넣으면 x=27/8, 즉 E=(27/8,15/8)이다.

y=-3x+12, 15/8=-3x+12 → x=27/8
5STEP 5

기약분수 성분 더하기

27/8과 15/8은 이미 기약분수라 p+q+r+s=27+8+15+8=58, 답은 (B)이다.

p+q+r+s=27+8+15+8=58 → (B)
정답
58
높이가 가능한지 확인한다. 변 CD는 C에서 y=3이었다가 D에서 y=0으로 내려가고, 15/8=1.875는 그 사이에 있으므로 E는 정말 선분 위에 있다(x=27/8=3.375도 3과 4 사이다). 넓이가 같은지도 확인한다. 삼각형 AED의 넓이는 2·15/8=15/4로 15/2의 정확히 절반이므로 나머지 조각도 그 절반이다. 성분의 합은 58, 곧 (B)이며, 다른 선택지들은 이 점의 어떤 기약형에서도 나오지 않는다.
💡핵심 정리

AD가 x축 위에 평평히 놓이므로 자른 삼각형 넓이는 높이의 2배일 뿐이니, 그것을 전체의 절반과 같게 놓고 CD의 직선을 따라가 정확한 점을 찾는다.

  • 점과 자르는 선 그리기
  • 전체 넓이 구하기
  • 삼각형 넓이를 절반으로 놓기
  • 변 CD 위의 점 찾기
  • 기약분수 성분 더하기

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