AMC 10 · 2013 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
area-circlesrotation-isometrycircular-sectorsymmetry-argument identify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-circles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 변의 길이가 1인 정사각형을 중심을 기준으로 45° 돌린다. 도는 동안 정사각형의 내부가 평면의 한 영역을 지나간다. 그 지나간 영역의 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$1 - \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\pi}{4}$
(B)
$\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
(C)
$2 - \sqrt2 + \frac{\pi}{4}$
(D)
$\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\pi}{4}$
(E)
$1 + \frac{\sqrt2}{4} + \frac{\pi}{8}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

덮이는 영역은 곡선 테두리를 가지며 하나의 넓이 공식이 없으므로, 핵심 도구는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다: 이미 넓이를 아는 조각들로 영역을 자른다. 자르는 방향은 도구 #17(공간 상상하기)이 이끈다 — 각 꼭짓점이 원호를 그리고 변은 더 안쪽에 머무는 모습을 떠올린다. 도구 #14(극단의 원리)는 어떤 점이든 가장 멀리 가는 것은 꼭짓점 거리임을 알려 주어, 그 거리가 바깥 반지름이 된다. 그림 전체는 90° 회전에 대해 변하지 않으므로, 이 대칭을 이용해 대표 조각 두 개(둥근 것 하나, 평평한 것 하나)만 풀고 곱하면 된다.

1STEP 1

좌표에 놓고 도달 거리 구하기

중심을 원점, 꼭짓점을 (±1/2,±1/2)에 두면 중심에서 꼭짓점까지 √2/2, 변까지는 1/2뿐이다.

OC=√((1/2)²+(1/2)²)=√2/2, O에서 변까지=1/2
2STEP 2

여덟 개의 조각으로 자르기

45° 간격으로 반직선 여덟 개를 긋는다. 90° 대칭 덕분에 조각은 호 넷, 평평한 것 넷 두 종류뿐이다.

넓이=4×(호 조각 하나)+4×(평평한 조각 하나)
3STEP 3

네 개의 호 조각은 반원

호 조각은 꼭짓점 원의 45° 부채꼴이라, 넷을 합치면 반지름 √2/2인 반원이고 넓이는 π/4이다.

4×(45° 부채꼴)=1/2π(√2/2)²=π/4
4STEP 4

좌표로 평평한 조각 하나 구하기

첫 팔분면 조각에 신발끈 공식을 쓰면 하나가 (2-√2)/4, 평평한 조각 넷의 합은 2-√2이다.

[OP₁QP₂]=1/2|√2/2 (√2/2-1/2)+1/2·1/2-1/2 (√2/2-1/2)|=(2-√2)/4, ×4=2-√2
5STEP 5

둥근 부분과 평평한 부분 더하기

둥근 부분과 평평한 부분을 더하면 π/4+(2-√2)=2-√2+π/4≈1.37, 곧 선택지 (C)이다.

π/4+(2-√2)=2-√2+π/4≈1.37 → (C)
정답
2 - √2 + π/4
답은 정사각형 자체 넓이보다 커야 한다. 처음(0°) 정사각형이 덮임에 포함되기 때문이다: 실제로 1.37 ＞ 1이다. 또 모든 것을 담는 반지름 √2/2인 원(넓이 π(√2/2)²=π/2≈1.57)보다 작아야 한다: 실제로 1.37 ＜ 1.57이다. 즉 1 ＜ 2-√2+π/4 ＜ π/2로, 45° 회전이 놓일 딱 그 자리다. 가까운 오답들은 어긋난다: (B) ≈1.29는 너무 작고(평평한 부분 1/2이 2-√2≈0.59을 덜 세었다), (D) ≈1.49는 너무 커서, 두 경계 안에 드는 것은 (C)뿐이다.
💡핵심 정리

정사각형을 돌려 그 자취를 여덟 조각으로 나누면, 둥근 네 조각은 반지름 √2/2인 반원(π/4)으로 접히고 곧은 네 조각은 2-√2가 되어, 합이 2-√2+π/4, 즉 선택지 (C)이다.

  • 좌표에 놓고 도달 거리 구하기
  • 여덟 개의 조각으로 자르기
  • 네 개의 호 조각은 반원
  • 좌표로 평평한 조각 하나 구하기
  • 둥근 부분과 평평한 부분 더하기

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