AMC 10 · 2013 · #22

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremtangent-circlesspatial-visualization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 $1$ 인 여섯 개의 구가 한 변의 길이가 $2$ 인 정육각형의 꼭짓점에 각각 중심을 두도록 배치되어 있다. 이 여섯 개의 구는 중심이 육각형의 중심과 일치하는 더 큰 구에 내접한다. 여덟 번째 구는 여섯 개의 작은 구에 외접하고 더 큰 구에 내접한다. 이 여덟 번째 구의 반지름은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt2$

(B)

$\frac{3}{2}$

(C)

$\frac{5}{3}$

(D)

$\sqrt3$

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $1$인 구 여섯 개의 중심이 한 변의 길이가 $2$인 정육각형의 꼭짓점에 놓여 있다. 이 여섯 구는 모두 육각형의 중심을 중심으로 하는 큰 구에 내접한다. 새로운 구 하나가 여섯 개의 단위 구에 외접하고 큰 구에는 내접한다. 이 새 구의 반지름을 구하라.

주어진 것: 반지름이 $1$인 구 여섯 개의 중심이 한 변이 $2$인 정육각형의 꼭짓점에 있다.; 육각형의 중심을 중심으로 하는 큰 구가 여섯 구 모두에 내접한다.; 여덟 번째 구는 여섯 단위 구에 외접하고 큰 구에는 내접한다.; 선택지: (A) $\sqrt2$, (B) $\frac{3}{2}$, (C) $\frac{5}{3}$, (D) $\sqrt3$, (E) $2$.

구하는 것: 여덟 번째 구의 반지름.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 3차원 쌓기 그림이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심이다. 여섯 단위 구가 평평한 고리를 이루고 여덟 번째 구가 그 고리 중심 바로 위 축에 얹혀야 함을 보면, 입체 전체가 하나의 평면 직각삼각형으로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 삼각형을 종이에 고정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눈다 — 먼저 큰 구의 반지름, 그다음 여덟 번째 구. 도구 #4(변수 도입하기)로 미지의 반지름 $r$와 높이 $h$에 이름을 붙이면 두 접함 조건이 풀 수 있는 방정식이 된다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 8.G.A.5 단계 1

고리의 크기 정하기

정육각형은 중심에서 만나는 여섯 개의 정삼각형으로 나뉘므로, 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 한 변의 길이와 같아 $2$이다.
육각형의 중심을 수평면 위의 원점 $O$에 두면, 여섯 단위 구의 중심은 모두 $O$를 둘러싼 반지름 $2$의 원 위에 같은 높이로 놓인다.

$$OC_{\text{small}} = \text{한 변} = 2$$

💡 정육각형은 정삼각형 여섯 개이므로 중심에서 꼭짓점까지 거리가 한 변과 같다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 2

큰 구의 반지름

큰 구는 중심이 $O$이고, 중심이 $2$만큼 떨어진 단위 구에 내접한다.
내접은 중심 거리가 반지름의 차와 같다는 뜻이므로 작은 구의 중심은 $O$에서 $R-1$만큼 떨어져 있다.
$R-1=2$에서 큰 반지름 $R=3$을 얻는다.

$$R - 1 = 2 \ \Rightarrow\ R = 3$$

💡 큰 구 안에 들어가 맞닿은 구는 두 중심 사이 간격이 반지름의 차이다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 3

여덟 번째 구를 축 위에 놓기

대칭성에 의해 반지름 $r$인 여덟 번째 구는 중심이 $O$를 지나는 수직 축 위, 고리 평면에서 높이 $h$만큼 위에 있다.
큰 구와의 내접에서 중심 거리는 $R-r=3-r$이고 이 거리가 바로 높이이므로 $h=3-r$이다.
단위 구와의 외접에서 중심 거리는 $1+r$이다.

$$h = R - r = 3 - r,\qquad \text{작은 중심까지 거리} = 1 + r$$

💡 '맞닿음' 조건 하나하나가 곧바로 두 중심 사이의 정해진 거리로 바뀐다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 4

직각삼각형 세우기

$O$, 한 작은 중심 $C$, 여덟 번째 구의 중심 $P$가 이루는 삼각형을 보자.
$O$에서 $C$까지는 수평으로 길이 $2$이고, $O$에서 $P$까지는 수직으로 길이 $h$이다.
두 변이 수직이므로 $CP$가 빗변이고, 외접에서 $CP=1+r$이다.
피타고라스 정리에 의해 $2^2+h^2=(1+r)^2$이다.
$h=3-r$을 대입하면 $4+(3-r)^2=(1+r)^2$이 된다.

$$2^2 + h^2 = (1+r)^2 \ \Rightarrow\ 4 + (3-r)^2 = (1+r)^2$$

💡 수평 거리와 수직 높이는 서로 수직인 두 변이라, 중심끼리 잇는 선이 빗변이 된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

반지름 풀기

양변을 전개하면 $4+9-6r+r^2=1+2r+r^2$이다.
$r^2$ 항이 서로 지워져 일차방정식 $13-6r=1+2r$만 남는다.
그러면 $12=8r$이므로 $r=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$이다.
이것은 선택지 $\textbf{(B)}$와 일치한다.

$$13-6r=1+2r \ \Rightarrow\ 8r=12 \ \Rightarrow\ r=\tfrac{3}{2}\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 제곱 항이 지워지면서 무섭던 방정식이 한 단계짜리 일차방정식이 된다.

[1] #17 8.G.A.5 정육각형은 중심에서 만나는 여섯 개의 정삼각형으로 나뉘므로, 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 한 변의 길이와 같아 $2$이다. 육각형의 중심을

[2] #7 8.G.B.8 큰 구는 중심이 $O$이고, 중심이 $2$만큼 떨어진 단위 구에 내접한다. 내접은 중심 거리가 반지름의 차와 같다는 뜻이므로 작은 구의 중심은

[3] #4 8.G.B.8 대칭성에 의해 반지름 $r$인 여덟 번째 구는 중심이 $O$를 지나는 수직 축 위, 고리 평면에서 높이 $h$만큼 위에 있다. 큰 구와의 내접에

[4] #1 8.G.B.7 $O$, 한 작은 중심 $C$, 여덟 번째 구의 중심 $P$가 이루는 삼각형을 보자. $O$에서 $C$까지는 수평으로 길이 $2$이고, $O$에

[5] #4 8.EE.C.7 양변을 전개하면 $4+9-6r+r^2=1+2r+r^2$이다. $r^2$ 항이 서로 지워져 일차방정식 $13-6r=1+2r$만 남는다. 그러면 $

검토

합리성 확인: 여덟 번째 구는 반지름 $3$인 큰 구 안에 들어가야 하므로 반지름이 $3$보다 훨씬 작아야 하는데 $\frac{3}{2}$는 이를 만족한다. 중심 높이는 $h=3-r=\frac{3}{2}$로 양수이므로 구가 고리를 뚫지 않고 정말로 그 위에 얹혀 있다 — 좋은 신호다. 삼각형을 점검하면 변 $2$와 $\frac{3}{2}$의 빗변은 $\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$이고, 실제로 $1+r=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$이다. 두 접함 조건이 정확히 맞으므로 $\frac{3}{2}$가 옳고 다른 선택지는 배제된다.

대안 접근: $h$를 따로 이름 붙이지 않는 방법도 있다. $O$를 원점, 한 작은 중심을 $(2,0)$, 여덟 번째 중심을 $(0,y)$ ($y\ge 0$)에 두자. 외접: $\sqrt{2^2+y^2}=1+r$. 큰 구와의 내접: $y=3-r$. 둘째 식을 첫째에 대입하고 제곱하면 같은 방정식 $4+(3-r)^2=(1+r)^2$을 얻어 $r=\frac{3}{2}$이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실을 확립하기 (정육각형을 여섯 개의 정삼각형으로 나누어 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 한 변 $2$와 같음을 보이는 데 사용.)
8.G.B.8 좌표계에서 두 점 사이의 거리를 구하는 데 피타고라스 정리를 적용하기 (내접과 외접을 정확한 중심 사이 거리로 바꾸는 데 사용 ($R-1=2$, $3-r$, $1+r$).)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하는 데 피타고라스 정리를 적용하기 (직각삼각형 $O C P$에서 수평 변 $2$, 수직 변 $h$, 빗변 $1+r$을 연결하는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식(미지수 한 개)을 풀기 ($r^2$ 항을 지우고 $13-6r=1+2r$을 풀어 $r=\frac{3}{2}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 3차원 그림을 직각삼각형 하나로 납작하게 만들자: 여덟 번째 구는 축 위에 얹히고, 변 $2$와 $3-r$, 빗변 $1+r$에서 $r=\frac{3}{2}$, 선택지 $\textbf{(B)}$가 나온다.