AMC 10 · 2013 · #22

학년 8 geometry-3d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremtangent-circlesspatial-visualization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
반지름이 1인 구 여섯 개의 중심이 한 변의 길이가 2인 정육각형의 꼭짓점에 놓여 있다. 이 여섯 구는 모두 육각형의 중심을 중심으로 하는 큰 구에 내접한다. 새로운 구 하나가 여섯 개의 단위 구에 외접하고 큰 구에는 내접한다. 이 새 구의 반지름을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\sqrt2$
(B)
$\frac{3}{2}$
(C)
$\frac{5}{3}$
(D)
$\sqrt3$
(E)
2

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

이 문제는 3차원 쌓기 그림이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심이다. 여섯 단위 구가 평평한 고리를 이루고 여덟 번째 구가 그 고리 중심 바로 위 축에 얹혀야 함을 보면, 입체 전체가 하나의 평면 직각삼각형으로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 삼각형을 종이에 고정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눈다 — 먼저 큰 구의 반지름, 그다음 여덟 번째 구. 도구 #4(변수 도입하기)로 미지의 반지름 r와 높이 h에 이름을 붙이면 두 접함 조건이 풀 수 있는 방정식이 된다.

1STEP 1

고리의 크기 정하기

정육각형은 정삼각형 여섯 개이므로, 중심 O에서 각 단위 구의 중심까지 거리는 2이다.

OC_small = 한 변 = 2
2STEP 2

큰 구의 반지름

내접이므로 단위 구의 중심은 O에서 R-1만큼 떨어져 있고, R-1=2에서 큰 구는 반지름 3이다.

R - 1 = 2 → R = 3
3STEP 3

여덟 번째 구를 축 위에 놓기

대칭성에 의해 반지름 r인 여덟 번째 구는 O 위 축에 높이 3-r로 놓이고, 각 작은 중심과는 1+r 떨어진다.

h = R - r = 3 - r, 작은 중심까지 거리 = 1 + r
4STEP 4

직각삼각형 세우기

수평 변 2(O에서 작은 중심까지)와 수직 변 3-r(O에서 새 중심까지)가 직각, 빗변은 1+r: 2²+(3-r)²=(1+r)².

2² + h² = (1+r)² → 4 + (3-r)² = (1+r)²
5STEP 5

반지름 풀기

전개하면 r² 항이 지워져 13-6r=1+2r만 남고, 8r=12에서 r=3/2, 즉 선택지 (B)이다.

13-6r=1+2r → 8r=12 → r=3/2 → (B)
정답
3/2
여덟 번째 구는 반지름 3인 큰 구 안에 들어가야 하므로 반지름이 3보다 훨씬 작아야 하는데 3/2는 이를 만족한다. 중심 높이는 h=3-r=3/2로 양수이므로 구가 고리를 뚫지 않고 정말로 그 위에 얹혀 있다 — 좋은 신호다. 삼각형을 점검하면 변 2와 3/2의 빗변은 √(4+9/4)=√(25/4)=5/2이고, 실제로 1+r=1+3/2=5/2이다. 두 접함 조건이 정확히 맞으므로 3/2가 옳고 다른 선택지는 배제된다.
💡핵심 정리

3차원 그림을 직각삼각형 하나로 납작하게 만들자: 여덟 번째 구는 축 위에 얹히고, 변 2와 3-r, 빗변 1+r에서 r=3/2, 선택지 (B)가 나온다.

  • 고리의 크기 정하기
  • 큰 구의 반지름
  • 여덟 번째 구를 축 위에 놓기
  • 직각삼각형 세우기
  • 반지름 풀기

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