AMC 10 · 2013 · #23

학년 7 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
power-of-a-pointisosceles-trianglepolygon-inequality convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: power-of-a-point
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 ABC에서 변 AB는 86이고 변 AC는 97이다. 중심이 A이고 반지름이 AB와 같은 86인 원을 그린다. 이 원은 변 BC를 점 B와 또 다른 한 점 X에서 만난다. 변의 두 조각 BX와 CX가 모두 정수로 나온다. 변 BC의 전체 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
11
(B)
28
(C)
33
(D)
61
(E)
72

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

변의 두 조각이 숨어 있으니 문자로 이름을 붙인다. B와 X를 지나는 원 덕분에 점의 거듭제곱(Power of a Point)을 이용해 변의 길이들을 하나의 깔끔한 곱으로 바꿀 수 있다. 그 곱은 고정된 수이므로 인수분해하여 BC가 될 수 있는 값을 나열하고, 삼각부등식으로 하나만 남기고 모두 지운다.

1STEP 1

원을 그리고 반지름을 표시하기

A 중심 반지름 86인 원에서 AX = AB = 86이고, AC = 97이므로 직선 CA는 C에서 11과 183 떨어져 원과 만난다.

AX = AB = 86, AC = 97 ＞ 86 이므로 C 는 원 밖, 직선 CA 는 원과 C 로부터 거리 97-86=11 과 97+86=183 에서 만남
2STEP 2

두 조각에 이름 붙이기

CX = x, BX = y를 양의 정수로 두면 BC = x + y이고 이는 CX = x보다 길다.

CX = x, BX = y, BC = x + y, CB ＞ CX
3STEP 3

C에서 점의 거듭제곱 이용하기

C에서 나온 두 할선의 교점 거리 곱은 같으므로 x(x + y) = 11 × 183 = 2013이다.

CX · CB = x(x+y) = 11 · 183 = 2013
4STEP 4

2013을 인수분해해 후보 나열하기

2013 = 3 · 11 · 61이므로 (x, x+y)는 (1,2013), (3,671), (11,183), (33,61) 중 하나다.

2013 = 3 · 11 · 61, (x, x+y) ∈ {(1,2013), (3,671), (11,183), (33,61)}
5STEP 5

불가능한 길이 지우기

삼각부등식으로 BC는 11과 183 사이여야 하므로 BC = 61뿐이고, 이때 CX = 33, BX = 28이다.

11 ＜ BC ＜ 183 → BC = 61, CX = 33, BX = 28
정답
61
BC = 61을 확인하자. 두 조각은 CX = 33, BX = 28로 합이 61이고 둘 다 정수이다. 곱 33 * 61 = 2013은 11 * 183과 일치하므로 점의 거듭제곱 방정식이 성립한다. 세 변 86, 97, 61은 삼각부등식을 만족하는데, 61 ＜ 86 + 97, 86 ＜ 61 + 97, 97 ＜ 61 + 86이기 때문이다. 모두 맞으므로 (D)가 확실하다.
💡핵심 정리

원 밖의 한 점에서는 어떤 직선으로 잘라도 두 거리의 곱이 같으니, 조각에 이름을 붙이고 곱 하나를 구한 뒤 인수분해하면 된다.

  • 원을 그리고 반지름을 표시하기
  • 두 조각에 이름 붙이기
  • C에서 점의 거듭제곱 이용하기
  • 2013을 인수분해해 후보 나열하기
  • 불가능한 길이 지우기

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