AMC 10 · 2013 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

power-of-a-pointisosceles-trianglepolygon-inequality convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: power-of-a-point

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$\triangle ABC$ 에서 $AB = 86$ 이고 $AC=97$ 이다. 중심이 $A$ 이고 반지름이 $AB$ 인 원이 $\overline{BC}$ 와 점 $B$ , $X$ 에서 만난다. 또한 $\overline{BX}$ 와 $\overline{CX}$ 의 길이는 정수이다. $BC$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 ABC에서 변 AB는 86이고 변 AC는 97이다. 중심이 A이고 반지름이 AB와 같은 86인 원을 그린다. 이 원은 변 BC를 점 B와 또 다른 한 점 X에서 만난다. 변의 두 조각 BX와 CX가 모두 정수로 나온다. 변 BC의 전체 길이를 구하여라.

주어진 것: AB = 86이고 AC = 97이다.; 원의 중심은 A이고 반지름은 AB = 86이다.; 원은 선분 BC를 B와 두 번째 점 X에서 만나므로 X는 BC 위에 있다.; BX와 CX의 길이는 모두 정수이다.

구하는 것: BC의 길이. 이는 BX + CX와 같다.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

변의 두 조각이 숨어 있으니 문자로 이름을 붙인다. B와 X를 지나는 원 덕분에 점의 거듭제곱(Power of a Point)을 이용해 변의 길이들을 하나의 깔끔한 곱으로 바꿀 수 있다. 그 곱은 고정된 수이므로 인수분해하여 BC가 될 수 있는 값을 나열하고, 삼각부등식으로 하나만 남기고 모두 지운다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

원을 그리고 반지름을 표시하기

삼각형 ABC와 중심이 A, 반지름이 86인 원을 그린다.
원 위의 모든 점은 A로부터 86만큼 떨어져 있으므로 AB = 86이고 AX = 86이다.
AC = 97은 반지름보다 길므로 C는 원 밖에 있다.
C에서 중심 A를 지나는 직선은 원과 두 곳에서 만나는데, 가까운 점은 C에서 97 - 86 = 11 떨어져 있고 먼 점은 C에서 97 + 86 = 183 떨어져 있다.

AX = AB = 86,\quad AC = 97 > 86\text{ 이므로 }C\text{ 는 원 밖},\quad \text{직선 }CA\text{ 는 원과 }C\text{ 로부터 거리 }97-86=11\text{ 과 }97+86=183\text{ 에서 만남}

💡 원 위의 모든 점은 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있으므로 B와 X는 둘 다 A에서 86만큼 떨어져 있다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

두 조각에 이름 붙이기

CX = x, BX = y라고 하자.
여기서 x와 y는 양의 정수이다.
그러면 전체 변은 BC = x + y이다.
CX = x는 C에서 X까지의 짧은 조각이고, CB = x + y는 C에서 B까지의 더 먼 거리이므로 CB가 CX보다 크다.

$$CX = x,\quad BX = y,\quad BC = x + y,\quad CB > CX$$

💡 숨은 조각에 이름을 붙이면 도형의 단서가 방정식으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

C에서 점의 거듭제곱 이용하기

C에서 원을 자르는 직선 두 개를 그린다.
하나는 CB인데, 원에 X에서 들어가 B에서 나오며 C로부터 거리는 x와 x + y이다.
다른 하나는 CA인데, C로부터 거리 11과 183에서 원을 자른다.
점의 거듭제곱 법칙에 따르면 한 점에서 나가는 모든 직선에 대해 두 교점까지 거리의 곱은 항상 같다.
따라서 x 곱하기 (x + y)는 11 곱하기 183과 같다.

$$CX \cdot CB = x(x+y) = 11 \cdot 183 = 2013$$

💡 원 밖의 한 점에서 그은 모든 할선은 원과 만나는 두 거리의 곱이 항상 같다.

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 4

2013을 인수분해해 후보 나열하기

2013을 소인수분해하면 2013 = 3 * 11 * 61이다.
곱이 2013이 되는 두 인수가 필요한데, 작은 인수가 x = CX이고 큰 인수가 x + y = BC이다(y가 양수이므로 큰 쪽이 BC).
인수쌍은 (1, 2013), (3, 671), (11, 183), (33, 61)이다.
각 쌍은 BC가 2013, 671, 183, 61일 수 있음을 준다.

$$2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61,\quad (x,\; x+y) \in \{(1,2013),\,(3,671),\,(11,183),\,(33,61)\}$$

💡 곱이 2013으로 고정되어 있으니 BC는 그 인수 중 하나일 수밖에 없다.

#3 가능성 지우기 7.G.A.2 단계 5

불가능한 길이 지우기

세 점 A, B, C가 진짜 삼각형을 이루므로 BC는 삼각부등식을 만족해야 한다.
즉 AB + AC = 183보다 작아야 하고 AC - AB = 11보다 커야 한다.
후보를 확인하면 2013과 671은 너무 크고, 183은 삼각형을 일직선으로 납작하게 만들어 허용되지 않는다.
오직 61만 11과 183 사이에 정확히 들어간다.
이때 CX = 33, BX = 61 - 33 = 28로 둘 다 정수라는 조건을 만족한다.
따라서 BC = 61이고, 답은 (D)이다.

$$11 < BC < 183 \;\Rightarrow\; BC = 61,\quad CX = 33,\quad BX = 28$$

💡 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합에 결코 도달하거나 넘어설 수 없다.

[1] #1 7.G.B.4 삼각형 ABC와 중심이 A, 반지름이 86인 원을 그린다. 원 위의 모든 점은 A로부터 86만큼 떨어져 있으므로 AB = 86이고 AX = 86

[2] #4 6.EE.B.6 CX = x, BX = y라고 하자. 여기서 x와 y는 양의 정수이다. 그러면 전체 변은 BC = x + y이다. CX = x는 C에서 X까지의

[3] #4 7.EE.B.4 C에서 원을 자르는 직선 두 개를 그린다. 하나는 CB인데, 원에 X에서 들어가 B에서 나오며 C로부터 거리는 x와 x + y이다. 다른 하나는

[4] #4 4.OA.B.4 2013을 소인수분해하면 2013 = 3 * 11 * 61이다. 곱이 2013이 되는 두 인수가 필요한데, 작은 인수가 x = CX이고 큰 인수

[5] #3 7.G.A.2 세 점 A, B, C가 진짜 삼각형을 이루므로 BC는 삼각부등식을 만족해야 한다. 즉 AB + AC = 183보다 작아야 하고 AC - AB =

검토

합리성 확인: BC = 61을 확인하자. 두 조각은 CX = 33, BX = 28로 합이 61이고 둘 다 정수이다. 곱 33 * 61 = 2013은 11 * 183과 일치하므로 점의 거듭제곱 방정식이 성립한다. 세 변 86, 97, 61은 삼각부등식을 만족하는데, 61 < 86 + 97, 86 < 61 + 97, 97 < 61 + 86이기 때문이다. 모두 맞으므로 (D)가 확실하다.

대안 접근: A에서 직선 BC에 수선을 내려 발을 M이라 하자. AB = AX = 86이므로 삼각형 ABX는 이등변삼각형이고, M은 현 BX의 중점이라 BM = MX이다. 직각삼각형 ABM과 ACM에 각각 피타고라스 정리를 쓰고 두 식을 빼면 CX와 BX가 97^2 - 86^2 = 2013과 연결된다. 같은 정수 탐색을 하면 BX = 28, CX = 33이 되어 BC = 61을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (B와 X를 포함해 원 위의 모든 점이 중심 A로부터 반지름(86)만큼 떨어져 있음을 이해하는 데 사용)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (숨은 변의 조각을 CX = x, BX = y로 이름 붙이고 BC = x + y로 쓰는 데 사용)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (점의 거듭제곱 관계를 방정식 x(x + y) = 2013으로 바꾸는 데 사용)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (2013 = 3 * 11 * 61로 인수분해하고 BC가 될 수 있는 인수쌍을 나열하는 데 사용)
7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (삼각부등식 11 < BC < 183을 적용해 61을 제외한 모든 후보를 지우는 데 사용)

⭐ 원 밖의 한 점에서는 어떤 직선으로 잘라도 두 거리의 곱이 같으니, 조각에 이름을 붙이고 곱 하나를 구한 뒤 인수분해하면 된다.