AMC 10 · 2013 · #4
학년 3 arithmetic어느 소프트볼 팀이 열 경기를 치렀고, 각 경기에서 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10점을 득점했다. 이 팀은 정확히 다섯 경기에서 1점 차로 패했다. 나머지 경기에서는 각각 상대 팀보다 두 배 많은 점수를 득점했다. 상대 팀들이 득점한 총 점수는 얼마인가?
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 팀이 치른 열 경기의 점수는 $1,2,3,\dots,10$ 이다. 다섯 경기는 정확히 1점 차로 졌고, 나머지 다섯 경기는 각각 상대의 두 배 점수를 냈다. 상대 팀들이 낸 점수를 모두 더하라.
주어진 것: 팀의 열 경기 점수는 한 경기당 하나씩 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 이다; 정확히 다섯 경기에서 팀은 1점 차로 졌다 (상대가 1점 더 냈다); 나머지 다섯 경기에서는 각각 팀이 상대의 두 배 점수를 냈다; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $55$
구하는 것: 열 경기 동안 모든 상대 팀이 낸 점수의 합
이해
문제 재정리: 한 팀이 치른 열 경기의 점수는 $1,2,3,\dots,10$ 이다. 다섯 경기는 정확히 1점 차로 졌고, 나머지 다섯 경기는 각각 상대의 두 배 점수를 냈다. 상대 팀들이 낸 점수를 모두 더하라.
주어진 것: 팀의 열 경기 점수는 한 경기당 하나씩 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 이다; 정확히 다섯 경기에서 팀은 1점 차로 졌다 (상대가 1점 더 냈다); 나머지 다섯 경기에서는 각각 팀이 상대의 두 배 점수를 냈다; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $55$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
어려운 부분은 다섯 점수가 진 경기인지 두 배 경기인지 가려내는 것이다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)로 두 규칙을 수 관계로 바꾼다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)이 홀짝 하나로 문제를 푼다: 두 배 점수는 자연수의 $2$ 배이므로 짝수여야 한다 — 그래서 다섯 개의 홀수 점수는 진 경기, 다섯 개의 짝수 점수는 두 배 경기가 될 수밖에 없다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 세는 일을 두 개의 쉬운 합으로 나눠 마지막에 더한다.
실행 — 정답: C
2.OA.A.1 단계 1 각 규칙을 수 관계로 바꾸기
- 각 종류의 경기가 상대 점수에 대해 뜻하는 바를 적는다.
- 두 배 경기에서 팀은 상대의 두 배를 냈으므로 팀 점수 $=2\times(\text{상대})$ 이고, 이는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다는 뜻이다.
- 진 경기에서는 팀이 1점 차로 졌으므로 상대는 팀보다 1점 더 낸 $(\text{팀})+1$ 이다.
💡 말을 "절반" 과 "1 더" 로 바꾸면 팀 점수에서 상대 점수를 어떻게 얻는지 바로 보인다.
2.OA.C.3 단계 2 홀짝으로 경기를 나누기
- 두 배 점수는 자연수의 $2$ 배와 같으므로 반드시 짝수다.
- 홀수 점수 $1,3,5,7,9$ 는 결코 자연수의 두 배가 될 수 없으므로, 이 다섯 경기는 두 배 경기일 수 없다 — 곧 다섯 개의 진 경기다.
- 그러면 짝수 점수 $2,4,6,8,10$ 이 다섯 개의 두 배 경기로 남는다.
- 개수도 다섯과 다섯으로 딱 맞는다.
💡 두 배는 항상 짝수에 떨어지므로 홀수 점수는 진 경기로 몰릴 수밖에 없다.
2.NBT.B.5 단계 3 진 경기의 상대 점수 더하기
- 홀수 점수에서는 상대가 팀보다 1점 더 냈다.
- 그래서 상대 점수는 $1{+}1,\;3{+}1,\;5{+}1,\;7{+}1,\;9{+}1$, 곧 $2,4,6,8,10$ 이다.
- 이들을 더하면 진 경기에서 상대가 낸 점수가 된다.
💡 진 경기의 상대는 팀 점수를 1만큼 올린 값일 뿐이다.
3.OA.A.3 단계 4 두 배 경기의 상대 점수 더하기
- 짝수 점수에서는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다.
- 그래서 상대 점수는 $\tfrac{2}{2},\;\tfrac{4}{2},\;\tfrac{6}{2},\;\tfrac{8}{2},\;\tfrac{10}{2}$, 곧 $1,2,3,4,5$ 이다.
- 이들을 더하면 두 배 경기에서 상대가 낸 점수가 된다.
💡 두 배 경기의 상대는 팀 점수를 절반으로 나눈 값일 뿐이다.
2.NBT.B.5 단계 5 두 합을 합치기
- 두 종류의 경기에서 나온 점수를 더한다: 진 경기의 $30$ 과 두 배 경기의 $15$.
- 상대들이 낸 점수는 모두 $30+15=45$ 이고, 이는 선택지 (C)다.
💡 두 묶음이 겹침 없이 열 경기를 모두 덮으므로 두 합을 그냥 더하면 된다.
2.OA.A.1 각 종류의 경기가 상대 점수에 대해 뜻하는 바를 적는다. 두 배 경기에서 팀은 상대의 두 배를 냈으므로 팀 점수 $=2\times(\text{상 2.OA.C.3 두 배 점수는 자연수의 $2$ 배와 같으므로 반드시 짝수다. 홀수 점수 $1,3,5,7,9$ 는 결코 자연수의 두 배가 될 수 없으므로, 이 다 2.NBT.B.5 홀수 점수에서는 상대가 팀보다 1점 더 냈다. 그래서 상대 점수는 $1{+}1,\;3{+}1,\;5{+}1,\;7{+}1,\;9{+}1$, 곧 3.OA.A.3 짝수 점수에서는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다. 그래서 상대 점수는 $\tfrac{2}{2},\;\tfrac{4}{2},\;\tfrac{6}{2 2.NBT.B.5 두 종류의 경기에서 나온 점수를 더한다: 진 경기의 $30$ 과 두 배 경기의 $15$. 상대들이 낸 점수는 모두 $30+15=45$ 이고, 이 검토
합리성 확인: 팀은 $1+2+\cdots+10=55$ 점을 냈다. 진 경기에서 상대는 팀보다 조금 많이($경기당 +1$, 다섯 경기 $=+5$), 두 배 경기에서 상대는 훨씬 적게(각각 절반) 냈다. 합 $45$ 는 팀의 $55$ 보다 알맞게 작아 (C)와 맞는다. 나눠서 확인해도 맞다: 진 경기 상대 $30$ 은 팀의 홀수 합 $25$ 보다 $5$ 크고(예상대로), 두 배 경기 상대 $15$ 는 팀의 짝수 합 $30$ 의 정확히 절반이다.
대안 접근: 나누지 않고 절반과 1 더하기 구조를 바로 쓴다. 팀의 홀수 점수 합은 $25$ 이고 진 경기 상대는 각각 1씩 더하므로 $25+5=30$. 팀의 짝수 점수 합은 $30$ 이고 두 배 경기 상대는 각각 절반이므로 $\tfrac{30}{2}=15$. 합 $30+15=45$, 역시 (C)다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.OA.A.1Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 ("1점 차로 졌다" 를 상대 $=$ 팀 $+1$ 로 바꾸기.)2.OA.C.3Determine whether a group of objects has an odd or even number (두 배 점수가 짝수여야 함을 알아내어 홀수 점수를 진 경기로 정하기.)3.OA.A.3Solve multiplication and division word problems within 100 (각 짝수 팀 점수를 절반으로 나눠 두 배 경기 상대 $1,2,3,4,5$ 구하기.)2.NBT.B.5Fluently add and subtract within 100 ($2+4+6+8+10=30$, $1+2+3+4+5=15$, $30+15=45$ 계산하기.)
⭐ 두 배는 늘 짝수를 만드니 홀수 점수는 아슬아슬하게 진 경기였다 — 그렇게 나눈 뒤 절반들과 1 더한 값들을 더하면 된다.
⭐ 두 배는 늘 짝수를 만드니 홀수 점수는 아슬아슬하게 진 경기였다 — 그렇게 나눈 뒤 절반들과 1 더한 값들을 더하면 된다.
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