AMC 10 · 2013 · #10

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationspercentagelinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varpercentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 농구팀 선수들이 2점슛은 50%, 3점슛은 40%를 성공시켜 54점을 얻었다. 이 팀은 3점슛보다 2점슛을 50% 더 많이 시도했다. 이 팀이 시도한 3점슛은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 팀이 2점슛과 3점슛으로 54점을 얻었다. 2점슛 시도의 50%, 3점슛 시도의 40%를 성공했고, 2점슛을 3점슛보다 50% 더 많이 시도했다. 시도한 3점슛의 개수를 구하라.

주어진 것: 시도한 2점슛의 50%를 성공한다; 시도한 3점슛의 40%를 성공한다; 총 득점은 54점이다; 2점슛 시도는 3점슛 시도보다 50% 더 많다

구하는 것: 시도한 3점슛의 개수

이해

주어진 것: 시도한 2점슛의 50%를 성공한다; 시도한 3점슛의 40%를 성공한다; 총 득점은 54점이다; 2점슛 시도는 3점슛 시도보다 50% 더 많다

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #8 단위 살펴보기

두 미지수인 시도 횟수가 득점 합계와 비율로 연결되어 있다. 각 횟수에 문자를 붙이고, 모든 문장을 식으로 바꾸며, 점수 단위를 맞춰 합계를 확인한다. 그다음 대입하면 미지수 하나짜리 식으로 줄어든다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

두 횟수에 이름 붙이기

시도한 2점슛의 개수를 x, 시도한 3점슛의 개수를 y라 하자.
나머지 조건은 모두 이 두 양으로 설명된다.

x = \text{2점슛 시도}, \quad y = \text{3점슛 시도}

💡 각 미지수에 문자를 붙이면 문장을 식으로 바꿀 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 2

50% 더 많다 옮기기

2점슛을 3점슛보다 50% 더 많이 시도했다.
"y보다 50% 더 많다"는 y에 y의 절반을 더한 것, 즉 y의 1.5배이다.
따라서 x는 1.5y이다.

$$x = y + 0.5y = 1.5y$$

💡 "50% 더"는 원래 양에 그 절반을 다시 더한 것이다.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.3 단계 3

점수 세기

x개의 2점슛 중 절반이 들어가고 하나에 2점이므로 0.5x 곱하기 2 = x점이다.
y개의 3점슛 중 40%가 들어가고 하나에 3점이므로 0.4y 곱하기 3 = 1.2y점이다.
둘을 합하면 54점이다.

$$\underbrace{(0.5x)\cdot 2}_{x} + \underbrace{(0.4y)\cdot 3}_{1.2y} = 54 \;\Rightarrow\; x + 1.2y = 54$$

💡 성공한 슛 수에 점수를 곱해 더하면 총점이 된다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

대입해서 풀기

점수 식에서 x를 1.5y로 바꾼다.
그러면 1.5y + 1.2y = 2.7y이고, 2.7y = 54에서 y = 20이 된다.
따라서 시도한 3점슛은 20개이고, 답은 (C)이다.

$$1.5y + 1.2y = 2.7y = 54 \;\Rightarrow\; y = \frac{54}{2.7} = 20$$

💡 한 번의 대입으로 두 미지수가 풀 수 있는 한 개짜리 식이 된다.

[1] #4 6.EE.B.6 시도한 2점슛의 개수를 x, 시도한 3점슛의 개수를 y라 하자. 나머지 조건은 모두 이 두 양으로 설명된다.

[2] #13 7.RP.A.3 2점슛을 3점슛보다 50% 더 많이 시도했다. "y보다 50% 더 많다"는 y에 y의 절반을 더한 것, 즉 y의 1.5배이다. 따라서 x는 1.

[3] #8 7.RP.A.3 x개의 2점슛 중 절반이 들어가고 하나에 2점이므로 0.5x 곱하기 2 = x점이다. y개의 3점슛 중 40%가 들어가고 하나에 3점이므로 0.

[4] #4 7.EE.B.4 점수 식에서 x를 1.5y로 바꾼다. 그러면 1.5y + 1.2y = 2.7y이고, 2.7y = 54에서 y = 20이 된다. 따라서 시도한 3

검토

합리성 확인: y = 20이면 x = 1.5(20) = 30이다. 점수는 성공한 2점슛이 0.5(30)(2) = 30점, 성공한 3점슛이 0.4(20)(3) = 24점이고, 30 + 24 = 54로 총점과 일치한다. 20은 보기 중 하나이다.

대안 접근: 보기를 직접 넣어 확인한다. y = 20이면 x = 30이고 30 + 24 = 54로 딱 맞는다. y = 10 같은 작은 값은 15 + 12 = 27로 너무 작아서, 총점이 y를 20으로 확정한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (두 미지수인 슛 횟수에 문자 x, y를 붙이는 데 사용.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems ("50% 더"를 1.5배로 읽고 성공률을 점수로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (대입 후 2.7y = 54를 세우고 푸는 데 사용.)

⭐ 각 미지수에 문자를 붙이고, 모든 문장을 식으로 바꾼 뒤, 한 변수를 다른 변수로 대입하면 풀 것이 하나만 남는다.