AMC 10 · 2013 · #11

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

completing-the-squareperfect-squares completing-the-square ↑ 선수 지식: perfect-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 $x$ 와 $y$ 가 방정식 $x^2+y^2=10x-6y-34$ 를 만족한다. $x+y$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실수 x와 y가 등식 x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34 를 만족한다. x + y의 값을 구하라.

주어진 것: x와 y는 실수이다; x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34

구하는 것: x + y의 값

이해

문제 재정리: 실수 x와 y가 등식 x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34 를 만족한다. x + y의 값을 구하라.

주어진 것: x와 y는 실수이다; x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #1 그림 그리기

미지수가 둘인데 식이 하나뿐이면 보통 각 값을 확정할 수 없어 그냥 풀 수는 없다. 대신 식을 옮겨 완전제곱식으로 만들어 제곱의 합 형태로 다시 쓴다. 이 새 형태가 더 쓸모 있는데, 제곱의 합은 각 제곱이 모두 0일 때만 0이 되어 x와 y의 값이 정확히 정해지기 때문이다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

모든 항을 한쪽으로 옮기기

오른쪽이 0이 되도록 모든 항을 왼쪽으로 옮긴다.
양변에서 10x를 빼고, 6y를 더하고, 34를 더한다.

$$x^2 - 10x + y^2 + 6y + 34 = 0$$

💡 한쪽을 0으로 만들면 다시 쓰고 읽어내기 좋은 형태가 된다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 2

변수마다 완전제곱식 만들기

x항과 y항을 따로 묶는다.
10의 절반은 5, 6의 절반은 3이므로, x^2 - 10x는 (x - 5)^2에서 25를 뺀 것이고, y^2 + 6y는 (y + 3)^2에서 9를 뺀 것이다.

$$x^2 - 10x = (x-5)^2 - 25, \qquad y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$$

💡 완전제곱식을 만들면 흩어진 이차식이 깔끔한 제곱과 남는 수로 바뀐다.

#15 다르게 정리하기 7.NS.A.1 단계 3

남는 상수 합치기

다시 쓴 두 조각을 대입한다.
남는 상수는 -25, -9, +34이고 합이 0이 되므로 두 제곱만 남는다.

$$(x-5)^2 - 25 + (y+3)^2 - 9 + 34 = 0 \;\Rightarrow\; (x-5)^2 + (y+3)^2 = 0$$

💡 -25 - 9 + 34가 0으로 지워져 순수한 두 제곱의 합만 남는다.

#14 극단의 원리 8.EE.A.2 단계 4

각 제곱을 0으로 만들기

실수에서 각 제곱은 0 이상이므로, 두 제곱의 합이 0이 되는 유일한 경우는 둘 다 0일 때이다.
그러면 (x - 5)^2 = 0에서 x = 5, (y + 3)^2 = 0에서 y = -3이다.
따라서 x + y = 5 + (-3) = 2이고, 답은 (B)이다.

$$(x-5)^2 = 0,\; (y+3)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 5,\; y = -3 \;\Rightarrow\; x + y = 2$$

💡 절대 음수가 될 수 없는 두 값이 합해서 0이 되려면 둘 다 0이어야 한다.

[1] #15 6.EE.A.3 오른쪽이 0이 되도록 모든 항을 왼쪽으로 옮긴다. 양변에서 10x를 빼고, 6y를 더하고, 34를 더한다.

[2] #15 6.EE.A.3 x항과 y항을 따로 묶는다. 10의 절반은 5, 6의 절반은 3이므로, x^2 - 10x는 (x - 5)^2에서 25를 뺀 것이고, y^2 +

[3] #15 7.NS.A.1 다시 쓴 두 조각을 대입한다. 남는 상수는 -25, -9, +34이고 합이 0이 되므로 두 제곱만 남는다.

[4] #14 8.EE.A.2 실수에서 각 제곱은 0 이상이므로, 두 제곱의 합이 0이 되는 유일한 경우는 둘 다 0일 때이다. 그러면 (x - 5)^2 = 0에서 x = 5

검토

합리성 확인: x = 5, y = -3을 원래 식에 넣어본다. 왼쪽은 25 + 9 = 34이다. 오른쪽은 10(5) - 6(-3) - 34 = 50 + 18 - 34 = 34이다. 양변이 같으므로 점 (5, -3)이 맞고 x + y = 2, 즉 보기 (B)이다.

대안 접근: 제곱 형태를 도형으로 읽는다. (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 0은 중심이 (5, -3)이고 반지름이 0인 원이므로, 이 원은 점 (5, -3) 하나뿐이다. 그 좌표를 읽으면 x + y = 2이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (식을 한쪽으로 옮기고 x와 y에 대해 완전제곱식을 만드는 데 사용.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (남는 상수 -25, -9, +34를 더해 0을 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ((x-5)^2 = 0에서 x = 5, (y+3)^2 = 0에서 y = -3임을 이끄는 데 사용.)

⭐ 완전제곱식으로 바꿔 식을 제곱의 합 = 0 형태로 만든 다음, 제곱의 합은 모든 제곱이 0일 때만 0이 된다는 것을 기억하라.