AMC 10 · 2013 · #11

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
completing-the-squareperfect-squares completing-the-square ↑ 선수 지식: perfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
실수 x와 y가 등식 x² + y² = 10x - 6y - 34를 만족한다. x + y의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
6
(E)
8

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 다르게 정리하기

미지수가 둘인데 식이 하나뿐이면 보통 각 값을 확정할 수 없어 그냥 풀 수는 없다. 대신 식을 옮겨 완전제곱식으로 만들어 제곱의 합 형태로 다시 쓴다. 이 새 형태가 더 쓸모 있는데, 제곱의 합은 각 제곱이 모두 0일 때만 0이 되어 x와 y의 값이 정확히 정해지기 때문이다.

1STEP 1

모든 항을 한쪽으로 옮기기

양변에서 10x를 빼고 6y와 34를 더해 오른쪽을 0으로 만든다.

x² - 10x + y² + 6y + 34 = 0
2STEP 2

변수마다 완전제곱식 만들기

10의 절반은 5, 6의 절반은 3이므로 x² - 10x는 (x - 5)² - 25, y² + 6y는 (y + 3)² - 9가 된다.

x² - 10x = (x-5)² - 25, y² + 6y = (y+3)² - 9
3STEP 3

남는 상수 합치기

두 조각을 대입하면 상수 -25, -9, +34가 상쇄되어 (x - 5)² + (y + 3)² = 0만 남는다.

(x-5)² - 25 + (y+3)² - 9 + 34 = 0 → (x-5)² + (y+3)² = 0
4STEP 4

각 제곱을 0으로 만들기

두 제곱의 합이 0이려면 둘 다 0이어야 하므로 x = 5, y = -3이고 x + y = 2, 답은 (B)이다.

(x-5)² = 0, (y+3)² = 0 → x = 5, y = -3 → x + y = 2
정답
2
x = 5, y = -3을 원래 식에 넣어본다. 왼쪽은 25 + 9 = 34이다. 오른쪽은 10(5) - 6(-3) - 34 = 50 + 18 - 34 = 34이다. 양변이 같으므로 점 (5, -3)이 맞고 x + y = 2, 즉 보기 (B)이다.
💡핵심 정리

완전제곱식으로 바꿔 식을 제곱의 합 = 0 형태로 만든 다음, 제곱의 합은 모든 제곱이 0일 때만 0이 된다는 것을 기억하라.

  • 모든 항을 한쪽으로 옮기기
  • 변수마다 완전제곱식 만들기
  • 남는 상수 합치기
  • 각 제곱을 0으로 만들기

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