AMC 10 · 2013 · #14
학년 8 algebraa♣b=a2b−ab2로 정의한다. x♣y=y♣x를 만족하는 점 (x,y)들의 집합을 옳게 설명한 것은 다음 중 무엇인가?
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 새로 정의한 연산 $a \clubsuit b = a^2b - ab^2$ 가 있다. $x$ 를 먼저 쓴 결과와 $y$ 를 먼저 쓴 결과가 같아지는, 즉 $x \clubsuit y = y \clubsuit x$ 를 만족하는 모든 점 $(x, y)$ 를 찾고 그 집합이 어떤 모양인지 답한다.
주어진 것: 규칙 $a \clubsuit b = a^2b - ab^2$; 조건 $x \clubsuit y = y \clubsuit x$; 선택지: (A) 유한개의 점, (B) 한 직선, (C) 두 평행한 직선, (D) 두 교차하는 직선, (E) 세 직선
구하는 것: 조건을 만족하는 모든 점 $(x, y)$ 의 집합이 이루는 모양
이해
문제 재정리: 새로 정의한 연산 $a \clubsuit b = a^2b - ab^2$ 가 있다. $x$ 를 먼저 쓴 결과와 $y$ 를 먼저 쓴 결과가 같아지는, 즉 $x \clubsuit y = y \clubsuit x$ 를 만족하는 모든 점 $(x, y)$ 를 찾고 그 집합이 어떤 모양인지 답한다.
주어진 것: 규칙 $a \clubsuit b = a^2b - ab^2$; 조건 $x \clubsuit y = y \clubsuit x$; 선택지: (A) 유한개의 점, (B) 한 직선, (C) 두 평행한 직선, (D) 두 교차하는 직선, (E) 세 직선
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기
낯선 $\clubsuit$ 기호는 사실 대수식의 줄임말일 뿐이므로, 도구 #13 (대수로 바꾸기)로 $x \clubsuit y = y \clubsuit x$ 를 정리하고 인수분해할 수 있는 평범한 방정식으로 바꾼다. 0이 되는 곱으로 인수분해하고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 각 인수마다 하나씩 작은 방정식으로 나눈다. 그다음 도구 #1 (그림 그리기)로 그 방정식들을 평면 위의 직선으로 읽으면, 직선의 개수를 세어 답을 얻는다.
실행 — 정답: E
6.EE.A.2 단계 1 규칙으로 양변 쓰기
- 각 $\clubsuit$ 를 규칙이 말하는 대로 바꾼다.
- $x \clubsuit y$ 는 $a=x$, $b=y$ 로 두어 $x^2y - xy^2$ 가 된다.
- $y \clubsuit x$ 는 $a=y$, $b=x$ 로 두어 $y^2x - yx^2$, 즉 $xy^2 - x^2y$ 가 된다.
- 그래서 좌변은 $x^2y - xy^2$, 우변은 $xy^2 - x^2y$ 이다.
💡 새 기호는 그것이 나타내는 평범한 식으로 바꾸는 순간 더 이상 무섭지 않다.
7.EE.A.1 단계 2 같게 놓고 인수분해하기
- 양변을 같게 놓는다: $x^2y - xy^2 = xy^2 - x^2y$.
- 양변에 $x^2y$ 를 더하고 $xy^2$ 를 빼서 모두 왼쪽으로 모으면 같은 항끼리 묶여 $2x^2y - 2xy^2 = 0$ 이 된다.
- 두 항 모두 공통인수 $2xy$ 를 가지므로 그것을 밖으로 빼내면 $2xy(x - y) = 0$ 이 된다.
💡 한쪽을 0으로 만들면 인수분해할 수 있고, 인수분해된 곱은 흩어진 식보다 훨씬 읽기 쉽다.
6.EE.B.5 단계 3 세 가지 경우로 나누기
- 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이다.
- 상수 $2$ 는 절대 0이 아니므로, 방정식 $2xy(x - y) = 0$ 은 정확히 $x = 0$ 이거나 $y = 0$ 이거나 $x - y = 0$ (즉 $x = y$) 일 때 성립한다.
- 이 세 개의 방정식이 모든 해가 되는 점을 남김없이 담는다.
💡 여러 수를 곱해서 0이 나왔다면, 그중 적어도 하나는 처음부터 0이었어야 한다.
8.F.A.3 단계 4 각 경우를 직선으로 읽기
- 세 방정식은 각각 $xy$-평면 위의 직선을 나타낸다.
- $x = 0$ 은 세로인 $y$-축, $y = 0$ 은 가로인 $x$-축, $y = x$ 는 원점을 지나 $45^\circ$ 로 기운 직선이다.
- 해집합은 이 세 직선의 합집합이므로 그림은 세 직선이고, 이는 선택지 (E)이다.
💡 $x=0$ 이나 $y=x$ 같은 방정식은 한 직선 위의 모든 점이 따르는 규칙이다.
6.EE.A.2 각 $\clubsuit$ 를 규칙이 말하는 대로 바꾼다. $x \clubsuit y$ 는 $a=x$, $b=y$ 로 두어 $x^2y - xy^2 7.EE.A.1 양변을 같게 놓는다: $x^2y - xy^2 = xy^2 - x^2y$. 양변에 $x^2y$ 를 더하고 $xy^2$ 를 빼서 모두 왼쪽으로 모으 6.EE.B.5 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이다. 상수 $2$ 는 절대 0이 아니므로, 방정식 $2xy(x - y) = 0$ 은 정확히 $x 8.F.A.3 세 방정식은 각각 $xy$-평면 위의 직선을 나타낸다. $x = 0$ 은 세로인 $y$-축, $y = 0$ 은 가로인 $x$-축, $y = x$ 검토
합리성 확인: 세 직선에서 모두 벗어난 점, 예를 들어 $(2, 1)$ 을 넣어 보자: $x \clubsuit y = 4\cdot1 - 2\cdot1 = 2$ 인데 $y \clubsuit x = 1\cdot2 - 1\cdot4 = -2$ 로 서로 다르다. $(2,1)$ 은 $x=0$, $y=0$, $y=x$ 중 어디에도 없으니 당연하다. 이제 직선 $y=x$ 위의 점 $(3, 3)$ 을 넣으면 양변 모두 $9\cdot3 - 3\cdot9 = 0$ 으로 같다. 세 직선은 모두 원점을 지나므로 평행이 아니라 교차한다. 그래서 (C)와 (D)가 제외되고, 직선이 세 개이므로 (A)와 (B)도 제외되어 (E)가 남는다.
대안 접근: 좌표 그림 없이 대칭성으로만 따져도 된다. 방정식 $2xy(x-y)=0$ 은 세 인수 $x$, $y$, $x-y$ 의 곱이며, 전체 곱은 적어도 한 인수가 0일 때 정확히 0이 된다. 각 인수를 0으로 놓은 것이 하나의 일차방정식이고, 세 인수는 서로 진짜 다르므로 서로 다른 세 직선을 준다. 서로 다른 일차 인수의 개수를 세면 곧바로 세 직선이 되어 (E)를 확인한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (규칙 $a \clubsuit b = a^2b - ab^2$ 에 대입하여 $x \clubsuit y = x^2y - xy^2$ 와 $y \clubsuit x = xy^2 - x^2y$ 를 쓴다.)7.EE.A.1Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions (같은 항을 모아 $2x^2y - 2xy^2 = 0$ 으로 만들고 $2xy$ 를 인수로 빼내 $2xy(x - y) = 0$ 을 얻는다.)6.EE.B.5Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($2xy(x-y)=0$ 이 정확히 $x=0$, $y=0$, 또는 $x=y$ 일 때 성립함을 안다.)8.F.A.3Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function ($x=0$, $y=0$, $y=x$ 를 좌표평면 위의 세 직선으로 읽는다.)
⭐ 이상한 기호를 평범한 대수로 바꾸고, 한쪽을 0으로 만들어 인수분해하자. 0이 될 수 있는 인수 하나하나가 곧 직선이고, 여기서는 그런 직선이 셋이다.
⭐ 이상한 기호를 평범한 대수로 바꾸고, 한쪽을 0으로 만들어 인수분해하자. 0이 될 수 있는 인수 하나하나가 곧 직선이고, 여기서는 그런 직선이 셋이다.
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