AMC 10 · 2013 · #14

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
polynomial-factoringcoordinate-geometry convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: polynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
새로 정의한 연산 a ♣ b = a²b - ab² 가 있다. x 를 먼저 쓴 결과와 y 를 먼저 쓴 결과가 같아지는, 즉 x ♣ y = y ♣ x 를 만족하는 모든 점 (x, y)를 찾고 그 집합이 어떤 모양인지 답한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a finite set of points
(B)
one line
(C)
two parallel lines
(D)
two intersecting lines
(E)
three lines

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

낯선 ♣ 기호는 사실 대수식의 줄임말일 뿐이므로, 도구 #13 (대수로 바꾸기)로 x ♣ y = y ♣ x 를 정리하고 인수분해할 수 있는 평범한 방정식으로 바꾼다. 0이 되는 곱으로 인수분해하고 나면, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 각 인수마다 하나씩 작은 방정식으로 나눈다. 그다음 도구 #1 (그림 그리기)로 그 방정식들을 평면 위의 직선으로 읽으면, 직선의 개수를 세어 답을 얻는다.

1STEP 1

규칙으로 양변 쓰기

각 ♣ 를 규칙대로 바꾸면 x ♣ y = x²y - xy², y ♣ x = xy² - x²y 로 부호만 뒤집힌 같은 식이다.

x ♣ y = x²y - xy², y ♣ x = y²x - yx² = xy² - x²y
2STEP 2

같게 놓고 인수분해하기

같게 놓고 모두 왼쪽으로 모으면 2x²y - 2xy² = 0, 공통인수 2xy 를 빼내면 2xy(x - y) = 0 이다.

x²y - xy² = xy² - x²y → 2x²y - 2xy² = 0 → 2xy(x - y) = 0
3STEP 3

세 가지 경우로 나누기

곱이 0이려면 인수 하나가 0이어야 하는데 2는 아니므로 x = 0, y = 0, 또는 x = y 이다.

2xy(x - y) = 0 ⇔ x = 0 또는 y = 0 또는 x = y
4STEP 4

각 경우를 직선으로 읽기

각각 y-축, x-축, 원점을 지나는 45° 직선 y = x 이므로 해집합은 세 직선의 합집합, 즉 (E)이다.

x = 0, y = 0, y = x → (E)
정답
세 직선
세 직선에서 모두 벗어난 점, 예를 들어 (2, 1)을 넣어 보자: x ♣ y = 4·1 - 2·1 = 2 인데 y ♣ x = 1·2 - 1·4 = -2로 서로 다르다. (2,1)은 x=0, y=0, y=x 중 어디에도 없으니 당연하다. 이제 직선 y=x 위의 점 (3, 3)을 넣으면 양변 모두 9·3 - 3·9 = 0으로 같다. 세 직선은 모두 원점을 지나므로 평행이 아니라 교차한다. 그래서 (C)와 (D)가 제외되고, 직선이 세 개이므로 (A)와 (B)도 제외되어 (E)가 남는다.
💡핵심 정리

이상한 기호를 평범한 대수로 바꾸고, 한쪽을 0으로 만들어 인수분해하자. 0이 될 수 있는 인수 하나하나가 곧 직선이고, 여기서는 그런 직선이 셋이다.

  • 규칙으로 양변 쓰기
  • 같게 놓고 인수분해하기
  • 세 가지 경우로 나누기
  • 각 경우를 직선으로 읽기

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