AMC 10 · 2013 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-trianglearea-regular-hexagonratio-proportion convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesperimeter

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

철사를 두 조각으로 자르는데, 하나는 길이가 $a$ 이고 다른 하나는 길이가 $b$ 이다. 길이가 $a$ 인 조각은 구부려서 정삼각형을 만들고, 길이가 $b$ 인 조각은 구부려서 정육각형을 만든다. 이 삼각형과 육각형의 넓이가 같다. $\frac{a}{b}$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

(C)

$\sqrt{3}$

(D)

(E)

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 철사를 길이가 $a$인 조각과 $b$인 조각으로 자른다. 길이 $a$인 조각은 정삼각형을 만들고, 길이 $b$인 조각은 정육각형을 만든다. 두 도형의 넓이가 같을 때 비 $\frac{a}{b}$를 구하여라.

주어진 것: 길이 $a$인 조각이 정삼각형의 둘레 전체를 이룬다; 길이 $b$인 조각이 정육각형의 둘레 전체를 이룬다; 정삼각형과 정육각형의 넓이가 같다; 선택지: (A) $1$, (B) $\frac{\sqrt{6}}{2}$, (C) $\sqrt{3}$, (D) $2$, (E) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

구하는 것: 두 철사 조각의 비 $\frac{a}{b}$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

"넓이가 같다"는 말은 사실 숨겨진 방정식이다. 그래서 핵심 동작(도구 #13)은 각 넓이를 $a$와 $b$로 나타내어 같다고 놓는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 도형을 한꺼번에 다루는 대신 삼각형 넓이 먼저, 정육각형 넓이 나중으로 일을 깔끔하게 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)는 각 둘레를 한 변의 길이($\frac{a}{3}$와 $\frac{b}{6}$)로 바꿔 넓이를 비교할 수 있는 식으로 만든다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

철사 길이를 변으로 바꾸기

길이 $a$인 철사를 정삼각형으로 구부리므로 $a$가 둘레이고, 같은 변 $3$개 각각은 $\frac{a}{3}$이다.
길이 $b$인 철사를 정육각형으로 구부리므로 $b$가 둘레이고, 같은 변 $6$개 각각은 $\frac{b}{6}$이다.
이제부터는 철사 길이가 아니라 이 변의 길이로 계산한다.

$$\text{삼각형 한 변} = \frac{a}{3}, \qquad \text{육각형 한 변} = \frac{b}{6}$$

💡 정다각형은 둘레가 고르게 나뉘므로 변의 개수로 나누면 한 변이 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

삼각형의 넓이

한 변이 $s$인 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$이다.
높이를 내리면 정삼각형이 두 개의 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형으로 나뉘고, 피타고라스 정리로 높이가 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$가 되어 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}s=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$이다.
$s=\frac{a}{3}$을 대입해 삼각형 넓이를 얻는다.

$$A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{a}{3}\right)^2=\frac{\sqrt{3}\,a^2}{36}$$

💡 높이를 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리가 그 높이를 정확히 알려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

육각형의 넓이

정육각형은 중심을 공유하는 작은 정삼각형 $6$개로 나뉘며, 각 삼각형의 한 변은 육각형의 한 변 $\frac{b}{6}$과 같다.
따라서 육각형 넓이는 같은 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 공식을 쓴 작은 삼각형 하나 넓이의 $6$배이다.
곱한 뒤 정리한다.

$$A_{\text{hex}}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{b}{6}\right)^2=\frac{6\sqrt{3}\,b^2}{4\cdot 36}=\frac{\sqrt{3}\,b^2}{24}$$

💡 정육각형은 중심을 둘러싼 똑같은 정삼각형 여섯 개일 뿐이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

넓이를 같다고 놓기

넓이가 같다는 것은 두 식이 같다는 뜻이다.
두 식을 같다고 놓고 양변의 공통 인수 $\sqrt{3}$을 지운 뒤 $a^2$과 $b^2$ 부분을 비교한다.
분수를 교차로 곱하면 $a^2$과 $b^2$ 사이의 깔끔한 관계가 나온다.

$$\frac{\sqrt{3}\,a^2}{36}=\frac{\sqrt{3}\,b^2}{24}\;\Rightarrow\;\frac{a^2}{36}=\frac{b^2}{24}\;\Rightarrow\;\frac{a^2}{b^2}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$$

💡 "넓이가 같다"는 곧 방정식이고, 공통의 $\sqrt{3}$이 지워져 제곱한 길이만 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

제곱근 씌우기

$\frac{a^2}{b^2}=\frac{3}{2}$이므로 $\frac{a}{b}$는 $\frac{3}{2}$의 양의 제곱근이다.
근호 안에 $\frac{2}{2}$를 곱해 유리화하면 $\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$이다.
따라서 $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$이고, 이는 선택지 (B)이다.

$$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 비를 제곱하는 것과 제곱근을 씌우는 것은 서로 반대이므로 제곱근이 $a^2/b^2$을 되돌린다.

[1] #4 6.EE.B.6 길이 $a$인 철사를 정삼각형으로 구부리므로 $a$가 둘레이고, 같은 변 $3$개 각각은 $\frac{a}{3}$이다. 길이 $b$인 철사를 정

[2] #7 8.G.B.7 한 변이 $s$인 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$이다. 높이를 내리면 정삼각형이 두 개의 $30$-$60$-$90$

[3] #7 6.G.A.1 정육각형은 중심을 공유하는 작은 정삼각형 $6$개로 나뉘며, 각 삼각형의 한 변은 육각형의 한 변 $\frac{b}{6}$과 같다. 따라서 육각

[4] #13 8.EE.C.7 넓이가 같다는 것은 두 식이 같다는 뜻이다. 두 식을 같다고 놓고 양변의 공통 인수 $\sqrt{3}$을 지운 뒤 $a^2$과 $b^2$ 부분을

[5] #4 8.EE.A.2 $\frac{a^2}{b^2}=\frac{3}{2}$이므로 $\frac{a}{b}$는 $\frac{3}{2}$의 양의 제곱근이다. 근호 안에 $

검토

합리성 확인: 답 $\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.22$는 $1$보다 조금 크다. 이는 타당하다. 같은 넓이를 만들려면 (덜 효율적인 모양인) 삼각형이 육각형보다 철사가 조금 더 필요하므로 $a>b$, 즉 $\frac{a}{b}>1$이다. 크기 확인: $\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$가 넓이 방정식과 정확히 일치하며, 제곱해서 $\frac{3}{2}$이 되는 다른 선택지는 없다 — (A)는 $1$, (C)는 $3$, (D)는 $4$, (E)는 $\frac{9}{2}$이므로 오직 (B)만 맞다.

대안 접근: 닮음 지름길을 쓸 수도 있다. 두 도형은 같은 작은 정삼각형으로 이루어져 있으므로 넓이가 같다는 것은 큰 삼각형의 넓이가 작은 삼각형 $6$개와 같다는 뜻이다. 넓이는 길이의 제곱에 비례하므로 큰 삼각형의 변은 작은 삼각형 변의 $\sqrt{6}$배이다. 삼각형 한 변은 $\frac{a}{3}$, 육각형 한 변은 $\frac{b}{6}$이므로 $\frac{a/3}{b/6}=\sqrt{6}$, 즉 $\frac{2a}{b}=\sqrt{6}$이 되어 $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (각 도형의 한 변 길이를 철사 길이의 식으로 나타내기: 삼각형은 $\frac{a}{3}$, 육각형은 $\frac{b}{6}$.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (정삼각형의 높이 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$를 유도해 넓이 공식 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$을 얻기.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (정육각형을 정삼각형 $6$개로 분해해 넓이를 계산하기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (두 넓이 식을 같다고 놓고 $\sqrt{3}$을 지워 $\frac{a^2}{b^2}=\frac{3}{2}$을 얻기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($\frac{3}{2}$의 제곱근을 구하고 유리화해 $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$에 이르기.)

⭐ 두 도형 모두 같은 작은 정삼각형으로 만들어지므로 "넓이가 같다"가 하나의 깔끔한 방정식이 된다 — 넓이를 같다고 놓고 지운 뒤 제곱근을 씌우면 비가 나온다.