AMC 10 · 2013 · #15

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
equilateral-trianglearea-regular-hexagonratio-proportion convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesperimeter
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
철사를 길이가 a인 조각과 b인 조각으로 자른다. 길이 a인 조각은 정삼각형을 만들고, 길이 b인 조각은 정육각형을 만든다. 두 도형의 넓이가 같을 때 비 a/b를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
(C)
$\sqrt{3}$
(D)
2
(E)
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

"넓이가 같다"는 말은 사실 숨겨진 방정식이다. 그래서 핵심 동작(도구 #13)은 각 넓이를 a와 b로 나타내어 같다고 놓는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 도형을 한꺼번에 다루는 대신 삼각형 넓이 먼저, 정육각형 넓이 나중으로 일을 깔끔하게 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)는 각 둘레를 한 변의 길이(a/3와 b/6)로 바꿔 넓이를 비교할 수 있는 식으로 만든다.

1STEP 1

철사 길이를 변으로 바꾸기

a는 정삼각형의 둘레이므로 한 변은 a/3, b는 정육각형의 둘레이므로 한 변은 b/6이다.

삼각형 한 변 = a/3, 육각형 한 변 = b/6
2STEP 2

삼각형의 넓이

한 변이 s인 정삼각형의 넓이는 √(3)/4s²이므로, s=a/3을 넣으면 삼각형 넓이는 √(3)a²/36이다.

A_△=√(3)/4(a/3)²=√(3) a²/36
3STEP 3

육각형의 넓이

정육각형은 한 변이 b/6인 작은 정삼각형 6개이므로 넓이는 6·√(3)/4(b/6)², 즉 √(3)b²/24이다.

A_hex=6·√(3)/4(b/6)²=6√(3) b²/(4 · 36)=√(3) b²/24
4STEP 4

넓이를 같다고 놓기

넓이가 같으므로 √(3)a²/36=√(3)b²/24이고, √(3)을 지우고 교차로 곱하면 a²/b²=3/2이다.

√(3) a²/36=√(3) b²/24 → a²/36=b²/24 → a²/b²=36/24=3/2
5STEP 5

제곱근 씌우기

양의 제곱근을 씌우면 a/b=√(3/2)=√(6/4)=√(6)/2이고, 이는 선택지 (B)이다.

a/b=√(3/2)=√(6/4)=√(6)/2 → (B)
정답
√(6)/2
답 √(6)/2≈ 1.22는 1보다 조금 크다. 이는 타당하다. 같은 넓이를 만들려면 (덜 효율적인 모양인) 삼각형이 육각형보다 철사가 조금 더 필요하므로 a ＞ b, 즉 a/b ＞ 1이다. 크기 확인: (a/b)²=6/4=3/2가 넓이 방정식과 정확히 일치하며, 제곱해서 3/2이 되는 다른 선택지는 없다 — (A)는 1, (C)는 3, (D)는 4, (E)는 9/2이므로 오직 (B)만 맞다.
💡핵심 정리

두 도형 모두 같은 작은 정삼각형으로 만들어지므로 "넓이가 같다"가 하나의 깔끔한 방정식이 된다 — 넓이를 같다고 놓고 지운 뒤 제곱근을 씌우면 비가 나온다.

  • 철사 길이를 변으로 바꾸기
  • 삼각형의 넓이
  • 육각형의 넓이
  • 넓이를 같다고 놓기
  • 제곱근 씌우기

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