AMC 10 · 2013 · #16
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
그림이 복잡해 보이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 AEDC를 익숙한 조각으로 나눈다. 먼저 중선의 나머지 반쪽 길이를 구하고, 그다음 P에서의 각을 확인한 뒤, 마지막으로 넓이를 만든다. 도구 #5(패턴 찾기)는 작은 삼각형 PED의 세 변 1.5, 2, 2.5가 3-4-5 직각삼각형을 반으로 줄인 것임을 알아채어 직각을 드러낸다. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 선분이 AEDC의 대각선인지, 그리고 그것들이 P에서 어떻게 교차하는지를 놓치지 않게 한다.
무게중심의 2:1 분할 이용
두 중선은 무게중심 P에서 만나고, P는 각 중선을 2:1로 나눈다(긴 쪽이 꼭짓점). 즉 AP=4, CP=3이다.
무게중심은 삼각형의 균형점이며, 그 점은 언제나 반대편 꼭짓점보다 중점에서 두 배 더 멀리 있다.
삼각형의 균형점은 언제나 중점에서 꼭짓점까지의 거리의 두 배만큼 떨어져 있다.
▸ 왜?
중점들이 삼각형의 축소판을 만들며, 그 배율이 2대 1의 나뉨을 정한다.
▸ 왜?
중점은 두 꼭짓점의 평균이며, 그것이 균형점을 그 자리에 놓는다.
P에서의 직각 찾기
삼각형 PED의 세 변 1.5, 2, 2.5는 3-4-5의 절반이므로, 피타고라스 역에 의해 두 중선은 P에서 90°로 만난다.
세 변이 a²+b²=c²을 만족하면 그 삼각형에는 반드시 직각이 있다. 자로 잴 필요가 없다.
8.G.B.6Look For A PatternAEDC의 대각선 찾기
A, E, D, C 순서로 돌면 대각선은 곧 두 중선이다. 즉 AD=6, EC=4.5이고 서로 수직이다.
AEDC의 두 대각선은 곧 중선 그 자체이므로, 그 길이는 이미 구한 조각들을 다시 더한 값이다.
7.NS.A.3Draw A Diagram수직인 대각선으로 넓이 구하기
대각선이 수직이면 넓이는 두 대각선 곱의 절반이다. 6과 4.5의 곱의 절반은 13.5, 곧 (B)이다.
대각선이 직각으로 만나면 사각형은 네 개의 직각삼각형이 되고, 그 넓이의 합은 두 대각선 곱의 절반이다.
6.G.A.1Identify Subproblems두 중선이 곧 AEDC의 대각선이고 직각으로 만나므로, 넓이는 두 중선 전체 길이 곱의 절반일 뿐이다.
- 무게중심의 2:1 분할 이용
- P에서의 직각 찾기
- AEDC의 대각선 찾기
- 수직인 대각선으로 넓이 구하기
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