AMC 10 · 2013 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

centroid-2-to-1integer-pythagorean-triplesarea-triangles identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 $ABC$ 에서 중선 $AD$ 와 $CE$ 가 점 $P$ 에서 만나고, $PE=1.5$ , $PD=2$ , $DE=2.5$ 이다. $AEDC$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

13.5

(C)

(D)

14.5

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $ABC$에서 두 중선 $AD$와 $CE$가 점 $P$에서 만난다. $P$ 근처의 세 선분의 길이는 $PE=1.5$, $PD=2$, $DE=2.5$이다. 사각형 $AEDC$(꼭짓점 순서 $A$, $E$, $D$, $C$)의 넓이를 구하여라.

주어진 것: $AD$와 $CE$는 삼각형 $ABC$의 중선이므로 $D$는 $BC$의 중점, $E$는 $AB$의 중점이다; 두 중선은 $P$에서 만나고 $PE=1.5$, $PD=2$, $DE=2.5$이다; $AEDC$는 꼭짓점이 $A$, $E$, $D$, $C$인 사각형이다; 선택지: (A) $13$, (B) $13.5$, (C) $14$, (D) $14.5$, (E) $15$

구하는 것: 사각형 $AEDC$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기

그림이 복잡해 보이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $AEDC$를 익숙한 조각으로 나눈다. 먼저 중선의 나머지 반쪽 길이를 구하고, 그다음 $P$에서의 각을 확인한 뒤, 마지막으로 넓이를 만든다. 도구 #5(패턴 찾기)는 작은 삼각형 $PED$의 세 변 $1.5, 2, 2.5$가 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 반으로 줄인 것임을 알아채어 직각을 드러낸다. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 선분이 $AEDC$의 대각선인지, 그리고 그것들이 $P$에서 어떻게 교차하는지를 놓치지 않게 한다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

무게중심의 2:1 분할 이용

삼각형의 두 중선은 항상 한 점, 즉 무게중심 $P$에서 만난다.
무게중심은 각 중선을 나누어 꼭짓점에 닿는 부분이 중점에 닿는 부분의 두 배가 되게 한다.
중선 $AD$는 $AP$와 $PD$로, 중선 $CE$는 $CP$와 $PE$로 나뉜다.
$PD=2$와 $PE=1.5$가 짧은(중점 쪽) 조각이므로, 긴(꼭짓점 쪽) 조각은 $AP=2\cdot PD=4$, $CP=2\cdot PE=3$이다.

$$AP = 2\cdot PD = 2\cdot 2 = 4, \qquad CP = 2\cdot PE = 2\cdot 1.5 = 3$$

💡 무게중심은 삼각형의 균형점이며, 그 점은 언제나 반대편 꼭짓점보다 중점에서 두 배 더 멀리 있다.

#5 패턴 찾기 8.G.B.6 단계 2

P에서의 직각 찾기

주어진 변 $PE=1.5$, $PD=2$, $ED=2.5$를 가진 작은 삼각형 $PED$를 보자.
이 값들은 $3, 4, 5$를 각각 반으로 줄인 것이다.
$1.5^2+2^2 = 2.25+4 = 6.25 = 2.5^2$이므로, 피타고라스 정리의 역에 의해 가장 긴 변의 맞은편 각은 직각이다.
그 각이 바로 $\angle EPD$이므로 두 중선은 $P$에서 직각으로 만난다.

$$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = 2.5^2 \;\Rightarrow\; \angle EPD = 90^\circ$$

💡 세 변이 $a^2+b^2=c^2$을 만족하면 그 삼각형에는 반드시 직각이 있다. 자로 잴 필요가 없다.

#1 그림 그리기 7.NS.A.3 단계 3

AEDC의 대각선 찾기

$AEDC$를 순서대로 $A \to E \to D \to C$로 돌아보자.
대각선은 서로 이웃하지 않은 꼭짓점을 잇는다.
즉 $A$와 $D$, 그리고 $E$와 $C$이다.
그런데 이것들이 바로 두 중선이고, $P$에서 만난다.
그 전체 길이는 1단계의 두 조각을 더한 것으로, $AD = AP+PD = 4+2 = 6$, $EC = EP+PC = 1.5+3 = 4.5$이다.
2단계에서 이 두 대각선은 서로 수직이다.

$$AD = AP+PD = 4+2 = 6, \qquad EC = EP+PC = 1.5+3 = 4.5$$

💡 $AEDC$의 두 대각선은 곧 중선 그 자체이므로, 그 길이는 이미 구한 조각들을 다시 더한 값이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

수직인 대각선으로 넓이 구하기

점 $P$는 $AEDC$를 $P$에서 만나는 네 개의 직각삼각형으로 나눈다.
대각선이 $P$에서 $90^\circ$로 교차하기 때문이다.
네 삼각형의 넓이를 더하는 것은, 대각선이 수직인 임의의 사각형에 쓰는 지름길인 넓이 $= \tfrac{1}{2}\,d_1\,d_2$와 같다.
대각선 길이 $6$과 $4.5$를 넣으면 $\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4.5 = 13.5$이고, 이는 선택지 (B)이다.

$$[AEDC] = \tfrac{1}{2}\cdot AD \cdot EC = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4.5 = 13.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 대각선이 직각으로 만나면 사각형은 네 개의 직각삼각형이 되고, 그 넓이의 합은 두 대각선 곱의 절반이다.

[1] #7 6.RP.A.3 삼각형의 두 중선은 항상 한 점, 즉 무게중심 $P$에서 만난다. 무게중심은 각 중선을 나누어 꼭짓점에 닿는 부분이 중점에 닿는 부분의 두 배가

[2] #5 8.G.B.6 주어진 변 $PE=1.5$, $PD=2$, $ED=2.5$를 가진 작은 삼각형 $PED$를 보자. 이 값들은 $3, 4, 5$를 각각 반으로 줄

[3] #1 7.NS.A.3 $AEDC$를 순서대로 $A \to E \to D \to C$로 돌아보자. 대각선은 서로 이웃하지 않은 꼭짓점을 잇는다. 즉 $A$와 $D$,

[4] #7 6.G.A.1 점 $P$는 $AEDC$를 $P$에서 만나는 네 개의 직각삼각형으로 나눈다. 대각선이 $P$에서 $90^\circ$로 교차하기 때문이다. 네 삼

검토

합리성 확인: 답 $13.5$는 선택지 $13$부터 $15$의 한가운데에 있어 크기가 타당하다. 빠른 확인: 네 직각삼각형의 두 변은 각각 $(4,3)$, $(4,1.5)$, $(2,3)$, $(2,1.5)$이고 넓이는 $6$, $3$, $3$, $1.5$로 합이 $13.5$가 되어, $\tfrac{1}{2}\,d_1 d_2$ 지름길과 정확히 일치한다. $P$에서의 직각은 $3$-$4$-$5$ 패턴이 보장하므로 측정이 필요 없다.

대안 접근: 지름길을 쓰지 않고 네 삼각형을 직접 더할 수도 있다. $P$에서 직각이므로 $\triangle APC$, $\triangle APE$, $\triangle DPC$, $\triangle DPE$는 각각 두 변이 중선의 조각인 직각삼각형이다. 넓이는 $\tfrac12(4)(3)=6$, $\tfrac12(4)(1.5)=3$, $\tfrac12(2)(3)=3$, $\tfrac12(2)(1.5)=1.5$이고, 합하면 $6+3+3+1.5=13.5$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (무게중심의 $2:1$ 분할을 적용해 $AP=2\cdot PD=4$, $CP=2\cdot PE=3$을 구함.)
8.G.B.6 Explain a proof of the Pythagorean theorem and its converse ($1.5, 2, 2.5$에 피타고라스 정리의 역을 써서 $\angle EPD=90^\circ$, 즉 두 중선이 수직임을 보임.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (중선 조각을 더해 대각선 길이 $AD=4+2=6$, $EC=1.5+3=4.5$를 구함.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($AEDC$를 네 직각삼각형으로 쪼개고 $\tfrac12 d_1 d_2$로 넓이 $13.5$를 구함.)

⭐ 두 중선이 곧 $AEDC$의 대각선이고 직각으로 만나므로, 넓이는 두 중선 전체 길이 곱의 절반일 뿐이다.