AMC 10 · 2013 · #19

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sequences-arithmeticquadratic-equationscompleting-the-square convert-to-algebracompleting-the-square ↑ 선수 지식: quadratic-equationssequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

c, b, a 순서로 놓인 세 실수가 등차수열을 이루고, a ≥ b ≥ c ≥ 0 을 만족한다. 이차식 ax² + bx + c 가 근을 정확히 하나만 가질 때, 그 근을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-7-4\sqrt{3}$

(B)

$-2-\sqrt{3}$

(C)

-1

(D)

$-2+\sqrt{3}$

(E)

$-7+4\sqrt{3}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

'등차수열'과 '근이 하나뿐'이라는 두 조건은 모두 말로 되어 있다. 각각을 식으로 바꾼 뒤 합친다. a 로 나누어 크기를 맞추면 미지수 셋이 비율 둘로 줄어, 한 변수의 이차방정식 하나로 정리된다. 마지막으로 a ≥ b ≥ c 순서가 두 해 중 어느 것이 맞는지 골라 준다.

1STEP 1

수열을 식으로 바꾸기

간격이 일정하므로 b - c = a - b, 정리하면 2b = a + c 즉 가운데 항은 이웃의 평균이다.

b - c = a - b → 2b = a + c

2STEP 2

'근이 하나'의 의미 적기

근이 하나면 완전제곱식 a(x - r)²이 되고, 계수를 비교하면 b² = 4ac 이며 r = -b/(2a)이다.

a(x-r)² = ax² - 2ar x + ar² → b² = 4ac, r = -b/2a

3STEP 3

a = 1로 크기 맞추기

a 로 나눠도 근은 같으니 p = b/a, q = c/a 로 두면 조건은 2p = 1 + q, p² = 4q 이고 근은 -p/2이다.

p = b/a, q = c/a: 2p = 1 + q, p² = 4q, r = -p/2

4STEP 4

하나의 식으로 합치기

q = 2p - 1을 p² = 4q 에 대입해 q 를 없애면 p² - 8p + 4 = 0 만 남는다.

q = 2p - 1 → p² = 8p - 4 → p² - 8p + 4 = 0

5STEP 5

완전제곱으로 풀기

양변에 16을 더하면 (p - 4)² = 12 이므로 p - 4 = ±2√(3), 즉 p = 4 ± 2√(3) 이다.

(p-4)² = 12 → p = 4 ± 2√(3)

6STEP 6

맞는 비율 고르기

a ≥ b 이므로 p ≤ 1, 7.46 쪽은 탈락하고 p = 4 - 2√(3) ≈ 0.54 만 남으며 q ≈ 0.07이다.

p ≤ 1 → p = 4 - 2√(3) ≈ 0.54, q = 7 - 4√(3) ≈ 0.07

7STEP 7

근 읽어내기

p 를 반으로 나누고 부호를 바꾸면 유일한 근 r = -p/2 = -2 + √(3), 답은 (D)이다.

r = -p/2 = -(4 - 2√(3))/2 = -2 + √(3)

정답

-2+√(3)

a = 1이라 하면 p = 4 - 2√(3) 이므로 b = 4 - 2√(3) ≈ 0.54, c = q = 7 - 4√(3) ≈ 0.07이다. 그러면 1 ≥ 0.54 ≥ 0.07 ≥ 0이 성립하고, c, b, a = 0.07, 0.54, 1은 간격이 일정하다 (간격 ≈ 0.46). 판별식 b² - 4ac = (4 - 2√(3))² - 4(7 - 4√(3)) = (28 - 16√(3)) - (28 - 16√(3)) = 0 이므로 근이 정확히 하나이고, 그 근은 -b/(2a) = -2 + √(3) ≈ -0.27이다.

💡핵심 정리

말로 된 조건 하나하나를 식으로 바꾸고, 그것들을 이차식 하나로 합친 뒤, 크기 규칙 a ≥ b ≥ c 가 맞는 답을 골라내게 하라.

수열을 식으로 바꾸기
'근이 하나'의 의미 적기
a = 1로 크기 맞추기
하나의 식으로 합치기
완전제곱으로 풀기
맞는 비율 고르기
근 읽어내기