AMC 10 · 2013 · #19

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sequences-arithmeticquadratic-equationscompleting-the-square convert-to-algebracompleting-the-square ↑ 선수 지식: quadratic-equationssequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 $c,b,a$ 가 $a \geq b \geq c \geq 0$ 인 등차수열을 이룬다. 이차식 $ax^2+bx+c$ 가 근을 정확히 하나 가진다. 이 근은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-7-4\sqrt{3}$

(B)

$-2-\sqrt{3}$

(C)

-1

(D)

$-2+\sqrt{3}$

(E)

$-7+4\sqrt{3}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: c, b, a 순서로 놓인 세 실수가 등차수열을 이루고, a ≥ b ≥ c ≥ 0 을 만족한다. 이차식 ax^2 + bx + c 가 근을 정확히 하나만 가질 때, 그 근을 구하여라.

주어진 것: c, b, a 는 등차수열이다 (이웃한 항 사이 간격이 일정하다); a ≥ b ≥ c ≥ 0; ax^2 + bx + c 는 근을 정확히 하나만 가진다

구하는 것: 이차식 ax^2 + bx + c 의 유일한 근

이해

주어진 것: c, b, a 는 등차수열이다 (이웃한 항 사이 간격이 일정하다); a ≥ b ≥ c ≥ 0; ax^2 + bx + c 는 근을 정확히 하나만 가진다

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #14 극단의 원리

'등차수열'과 '근이 하나뿐'이라는 두 조건은 모두 말로 되어 있다. 각각을 식으로 바꾼 뒤 합친다. a 로 나누어 크기를 맞추면 미지수 셋이 비율 둘로 줄어, 한 변수의 이차방정식 하나로 정리된다. 마지막으로 a ≥ b ≥ c 순서가 두 해 중 어느 것이 맞는지 골라 준다.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 1

수열을 식으로 바꾸기

등차수열에서는 이웃한 항 사이 간격이 일정하다.
c, b, a 에서는 b - c = a - b 가 되고, 정리하면 2b = a + c 이다.
즉 가운데 항은 양옆 두 항의 평균이다.

$$b - c = a - b \;\Rightarrow\; 2b = a + c$$

💡 일정한 간격으로 놓인 수열에서 가운데 수는 두 이웃의 정확히 한가운데에 있다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 2

'근이 하나'의 의미 적기

이차식이 근을 정확히 하나만 가지는 것은 그래프가 x축에 한 점에서만 닿을 때뿐이므로, 완전제곱식이 된다: ax^2 + bx + c = a(x - r)^2.
전개하면 ax^2 - 2ar x + ar^2 이므로 계수를 비교하면 b = -2ar, c = ar^2 이다.
따라서 유일한 근은 r = -b/(2a) 이고 b^2 = 4ac 가 성립한다.

$$a(x-r)^2 = ax^2 - 2ar\,x + ar^2 \;\Rightarrow\; b^2 = 4ac,\quad r = -\frac{b}{2a}$$

💡 근이 하나라는 건 포물선이 축에 살짝 스치기만 한다는 뜻이라 이차식이 제곱꼴이 된다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.C.8 단계 3

a = 1 로 크기 맞추기

이차식 전체를 (0이 아닌) a 로 나누어도 근은 변하지 않는다.
그래서 비율 p = b/a, q = c/a 로 다룬다.
두 조건은 2p = 1 + q (2b = a + c 에서), p^2 = 4q (b^2 = 4ac 에서) 가 된다.
구하려는 근은 r = -b/(2a) = -p/2 이다.

$$p = \frac{b}{a},\; q = \frac{c}{a}:\quad 2p = 1 + q,\quad p^2 = 4q,\quad r = -\frac{p}{2}$$

💡 근에는 비율만 영향을 주므로 a 를 1 로 고정하고 세 수 대신 두 수만 좇는다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4

하나의 식으로 합치기

2p = 1 + q 에서 q = 2p - 1 을 얻는다.
이를 p^2 = 4q 에 대입해 q 를 없앤다.
그러면 p^2 = 4(2p - 1) = 8p - 4 가 되고, 정리하면 p^2 - 8p + 4 = 0 이다.

$$q = 2p - 1 \;\Rightarrow\; p^2 = 8p - 4 \;\Rightarrow\; p^2 - 8p + 4 = 0$$

💡 한 조건으로 변수 하나를 지우면 풀어야 할 식이 하나만 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

완전제곱으로 풀기

p^2 - 8p + 4 = 0 에서 완전제곱을 만든다.
상수를 옮기고 양변에 16 을 더하면 p^2 - 8p + 16 = 12, 즉 (p - 4)^2 = 12 이다.
양변에 제곱근을 취하면 p - 4 = ±\sqrt{12} = ±2\sqrt{3} 이므로 p = 4 ± 2\sqrt{3} 이다.

$$(p-4)^2 = 12 \;\Rightarrow\; p = 4 \pm 2\sqrt{3}$$

💡 제곱꼴로 다시 쓰면 제곱근 한 번으로 되돌릴 수 있다.

#14 극단의 원리 8.NS.A.2 단계 6

맞는 비율 고르기

a ≥ b 이므로 b/a = p ≤ 1 이다.
2\sqrt{3} ≈ 3.46 이므로 4 + 2\sqrt{3} ≈ 7.46 은 너무 크고, 4 - 2\sqrt{3} ≈ 0.54 가 알맞다.
나머지도 확인하면 q = 2p - 1 = 7 - 4\sqrt{3} ≈ 0.07 로 b ≥ c ≥ 0 을 지킨다.
따라서 p = 4 - 2\sqrt{3} 이다.

$$p \le 1 \;\Rightarrow\; p = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.54,\quad q = 7 - 4\sqrt{3} \approx 0.07$$

💡 더 작은 해만이 b 가 a 를 넘지 않게 해 준다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 7

근 읽어내기

유일한 근은 r = -p/2 = -(4 - 2\sqrt{3})/2 = -2 + \sqrt{3} 이다.
따라서 이차식의 유일한 근은 -2 + \sqrt{3} 이고, 답은 (D) 이다.

$$r = -\frac{p}{2} = -\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = -2 + \sqrt{3}$$

💡 완전제곱식의 중근은 그냥 -b/(2a), 여기서는 -p/2 이다.

[1] #13 8.EE.C.7 등차수열에서는 이웃한 항 사이 간격이 일정하다. c, b, a 에서는 b - c = a - b 가 되고, 정리하면 2b = a + c 이다. 즉

[2] #4 8.EE.A.2 이차식이 근을 정확히 하나만 가지는 것은 그래프가 x축에 한 점에서만 닿을 때뿐이므로, 완전제곱식이 된다: ax^2 + bx + c = a(x

[3] #9 8.EE.C.8 이차식 전체를 (0이 아닌) a 로 나누어도 근은 변하지 않는다. 그래서 비율 p = b/a, q = c/a 로 다룬다. 두 조건은 2p = 1

[4] #13 8.EE.C.8 2p = 1 + q 에서 q = 2p - 1 을 얻는다. 이를 p^2 = 4q 에 대입해 q 를 없앤다. 그러면 p^2 = 4(2p - 1) =

[5] #4 8.EE.A.2 p^2 - 8p + 4 = 0 에서 완전제곱을 만든다. 상수를 옮기고 양변에 16 을 더하면 p^2 - 8p + 16 = 12, 즉 (p - 4

[6] #14 8.NS.A.2 a ≥ b 이므로 b/a = p ≤ 1 이다. 2\sqrt{3} ≈ 3.46 이므로 4 + 2\sqrt{3} ≈ 7.46 은 너무 크고, 4 -

[7] #4 8.EE.C.7 유일한 근은 r = -p/2 = -(4 - 2\sqrt{3})/2 = -2 + \sqrt{3} 이다. 따라서 이차식의 유일한 근은 -2 + \s

검토

합리성 확인: a = 1 이라 하면 p = 4 - 2\sqrt{3} 이므로 b = 4 - 2\sqrt{3} ≈ 0.54, c = q = 7 - 4\sqrt{3} ≈ 0.07 이다. 그러면 1 ≥ 0.54 ≥ 0.07 ≥ 0 이 성립하고, c, b, a = 0.07, 0.54, 1 은 간격이 일정하다 (간격 ≈ 0.46). 판별식 b^2 - 4ac = (4 - 2\sqrt{3})^2 - 4(7 - 4\sqrt{3}) = (28 - 16\sqrt{3}) - (28 - 16\sqrt{3}) = 0 이므로 근이 정확히 하나이고, 그 근은 -b/(2a) = -2 + \sqrt{3} ≈ -0.27 이다.

대안 접근: 완전제곱 대신 p^2 - 8p + 4 = 0 에 근의 공식을 쓰면 p = (8 ± \sqrt{64 - 16})/2 = 4 ± 2\sqrt{3} 이고, p ≤ 1 을 고른 뒤 -p/2 를 계산하면 같다. 또는 보기를 직접 대입해 볼 수도 있는데, -1 과 0 사이의 근만이 1 보다 작은 양수 b/a 와 맞으므로 -2 + \sqrt{3} 을 뺀 모든 보기가 제외된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.7 일차방정식 풀기 (등차수열 조건을 2b = a + c 로 정리하고 근 -p/2 를 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근 기호로 해를 나타내고 제곱근 계산하기 (근이 하나라는 조건을 완전제곱식으로 나타내고 완전제곱을 풀 때 제곱근을 취하는 데 사용.)
8.EE.C.8 연립방정식 분석하고 풀기 (a 로 나누어 두 비율로 줄이고 한 식을 다른 식에 대입해 p^2 - 8p + 4 = 0 을 얻는 데 사용.)
8.NS.A.2 무리수를 유리수로 근사해 크기 비교하기 (4 ± 2\sqrt{3} 를 어림해 a ≥ b ≥ c ≥ 0 을 만족하는 근을 고르는 데 사용.)

⭐ 말로 된 조건 하나하나를 식으로 바꾸고, 그것들을 이차식 하나로 합친 뒤, 크기 규칙 a ≥ b ≥ c 가 맞는 답을 골라내게 하라.