AMC 10 · 2013 · #2

학년 4 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

unit-conversionarea-rectanglesrate dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: unit-conversionarea-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

그린 씨는 직사각형 모양 텃밭의 두 변을 걸어서 크기를 재어 보니 $15$ 걸음 곱하기 $20$ 걸음이었다. 그린 씨의 한 걸음은 $2$ 피트이다. 그린 씨는 텃밭에서 $1$ 제곱피트당 감자 반 파운드를 수확할 것으로 예상한다. 그린 씨가 텃밭에서 예상하는 감자는 몇 파운드인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

600

(B)

800

(C)

1000

(D)

1200

(E)

1400

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 텃밭이 $15$ 걸음 $\times$ $20$ 걸음이고, 한 걸음은 $2$ 피트입니다. 텃밭은 $1$ 제곱피트마다 감자 $\tfrac12$ 파운드를 수확합니다. 예상되는 감자의 총 파운드를 구하세요.

주어진 것: 텃밭은 $15$ 걸음 $\times$ $20$ 걸음의 직사각형; 한 걸음은 $2$ 피트; 수확량은 $1$ 제곱피트마다 감자 $\tfrac12$ 파운드; 선택지: (A) $600$, (B) $800$, (C) $1000$, (D) $1200$, (E) $1400$

구하는 것: 텃밭에서 예상되는 감자의 총 파운드

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

단위가 문제 전체를 이끕니다: 걸음은 피트가 되고, 피트 $\times$ 피트는 제곱피트가 되며, 제곱피트당 파운드 $\times$ 제곱피트는 파운드가 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 이 사슬을 곧게 유지해 어떤 변환도 빠뜨리지 않게 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 세 단계로 나눕니다 — 변환, 넓이 구하기, 비율 적용. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 짚어 줍니다: 넓이 $1200$ 에서 멈추면(선택지 (D)) $\tfrac12$ 파운드 비율을 잊은 것입니다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.5 단계 1

걸음을 피트로 바꾸기

변의 길이는 걸음 단위인데 수확량은 제곱피트당이므로, 먼저 걸음을 피트로 바꿉니다.
한 걸음이 $2$ 피트이므로 각 변에 $2$ 를 곱합니다: $15$ 걸음 변은 $15\times2=30$ 피트, $20$ 걸음 변은 $20\times2=40$ 피트입니다.

$$15\text{ 걸음}\times2\tfrac{\text{ft}}{\text{걸음}}=30\text{ ft},\quad 20\times2=40\text{ ft}$$

💡 걸음 수에 한 걸음의 피트를 곱하면 걸음 개수가 실제 길이로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

텃밭의 넓이 구하기

텃밭은 직사각형이므로 넓이는 가로 $\times$ 세로입니다.
두 피트 길이를 곱합니다: $30\times40=1200$.
두 길이가 모두 피트이므로 넓이는 제곱피트 단위입니다.

$$30\text{ ft}\times40\text{ ft}=1200\text{ ft}^2$$

💡 가로 $\times$ 세로는 직사각형을 단위 정사각형으로 덮으며, 제곱피트 하나가 수확 단위 하나입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.B.4 단계 3

수확 비율 적용하기

제곱피트마다 $\tfrac12$ 파운드이므로 $1200$ 제곱피트에 $\tfrac12$ 을 곱합니다: $1200\times\tfrac12=600$.
즉 $600$ 파운드, 선택지 (A)입니다.
$1200$ 자체는 선택지 (D)인데, 넓이는 구했지만 $\tfrac12$ 파운드 비율을 잊은 사람을 위한 함정입니다.

$$1200\text{ ft}^2\times\tfrac12\tfrac{\text{lb}}{\text{ft}^2}=600\text{ lb}\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 제곱피트마다 $\tfrac12$ 파운드라는 것은 총 파운드가 제곱피트 수의 절반이라는 뜻입니다.

[1] #8 4.NBT.B.5 변의 길이는 걸음 단위인데 수확량은 제곱피트당이므로, 먼저 걸음을 피트로 바꿉니다. 한 걸음이 $2$ 피트이므로 각 변에 $2$ 를 곱합니다:

[2] #7 4.MD.A.3 텃밭은 직사각형이므로 넓이는 가로 $\times$ 세로입니다. 두 피트 길이를 곱합니다: $30\times40=1200$. 두 길이가 모두 피트

[3] #3 4.NF.B.4 제곱피트마다 $\tfrac12$ 파운드이므로 $1200$ 제곱피트에 $\tfrac12$ 을 곱합니다: $1200\times\tfrac12=600

검토

합리성 확인: 크기를 확인합니다: $1200$ 제곱피트에서 각각 $\tfrac12$ 파운드면 $1200$ 파운드보다 확실히 작아야 하고, $600$ 은 정확히 절반이므로 타당합니다. 더 큰 네 선택지($800$, $1000$, $1200$, $1400$)는 모두 원래 넓이 이상인데, 이는 비율이 제곱피트당 $\tfrac12$ 이 아니라 $1$ 파운드 이상일 때만 생깁니다. 가장 유혹적인 오답 $1200$ 은 절반 처리를 건너뛴 제곱피트 넓이입니다. 따라서 모든 단위를 존중하는 값은 $600$ 뿐입니다.

대안 접근: 먼저 절반을 취하고 나서 곱합니다. 수확량이 제곱피트당 $\tfrac12$ 파운드이므로 $30\times40$ 텃밭은 $\tfrac12\times30\times40$ 을 줍니다. $(\tfrac12\times40)\times30=20\times30=600$ 파운드로 묶으면 — 큰 곱을 만들거나 약분할 필요 없이 더 쉬운 계산으로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수에 한 자리 수를 곱한다 (각 변을 걸음에서 피트로 바꾸고($15\times2=30$, $20\times2=40$) 넓이를 위해 $30\times40$ 을 곱하는 데 사용.)
4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 적용한다 (넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로로 $30\times40=1200$ 제곱피트를 구하는 데 사용.)
4.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 자연수를 곱한다 ($1200$ 제곱피트에 제곱피트당 $\tfrac12$ 파운드 비율을 곱해 $600$ 파운드를 얻는 데 사용.)

⭐ 곱하기 전에 단위를 맞추세요: 걸음을 피트로, 피트를 제곱피트로 바꾼 뒤에야 제곱피트당 파운드 비율을 적용합니다.