AMC 10 · 2013 · #22

학년 7 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role
systematic-enumerationpermutations-basicdivisibility-rules systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: permutations-basicdivisibility-rules
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
정팔각형 ABCDEFGH의 중심이 J입니다. 네 직선 AJE, BJF, CJG, DJH는 각각 마주 보는 두 꼭짓점과 중심 J를 지납니다. 1부터 9까지의 숫자를 각각 정확히 한 번씩 여덟 꼭짓점과 중심에 놓아, 네 직선 각각에 있는 세 숫자의 합이 모두 같도록 만듭니다. 이렇게 하는 방법은 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
384
(B)
576
(C)
1152
(D)
1680
(E)
3456

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

이 문제는 '몇 가지 방법'을 묻는 세기 문제이므로, 구조를 먼저 확정한 뒤 서로 독립인 선택의 수를 곱하는 것이 계획입니다. 먼저 공통 직선 합을 변수로 두어 그 값과 중심 숫자를 잇는 식을 세우면, 중심에 올 수 있는 숫자가 몇 개로 줄어듭니다. 각 중심 숫자에 대해 남은 여덟 숫자는 합이 같은 짝으로 묶이고, 그 짝들을 네 직선에 배정하고 양 끝을 뒤집는 경우의 수를 셉니다. 독립인 경우의 수를 곱하면 전체가 나옵니다.

1STEP 1

네 직선 합을 더하기

공통 합을 S라 하면, 네 직선 합을 더할 때 꼭짓점은 한 번, 중심 J는 네 번 세어져 4S = 45 + 3J입니다.

4S = (1+2+…+9) + 3J = 45 + 3J
2STEP 2

가능한 중심 숫자 찾기

4S가 4의 배수이려면 45 + 3J도 그래야 하므로, 대입해 보면 J = 1, 5, 9뿐입니다.

45 + 3J ≡ 0 (mod 4) → J ∈ {1, 5, 9}
3STEP 3

남은 여덟 숫자를 짝짓기

J를 정하면 각 직선의 두 꼭짓점 합은 11, 10, 9 중 하나로 같아야 하고, 남은 여덟 숫자는 한 가지로만 짝지어집니다.

짝의 합 = S - J = (45 - J)/4; J=1→ 11, J=5→ 10, J=9→ 9
4STEP 4

네 짝을 배치하고 뒤집기

네 짝을 네 직선에 배정하는 4! = 24가지에 각 직선을 뒤집는 2⁴ = 16가지를 곱해 384가지입니다.

4! × 2⁴ = 24 × 16 = 384
5STEP 5

세 가지 중심 경우를 합치기

세 중심 숫자는 서로 겹치지 않는 경우를 만들므로 3 × 384 = 1152, 즉 (C)입니다.

3 × 384 = 1152
정답
1152
전체 1152는 3 x 24 x 16으로 인수분해되어, 중심 3가지 선택, 짝을 직선에 배정하는 4!가지, 짝을 양 끝으로 뒤집는 2⁴가지라는 세 독립 단계와 정확히 맞아떨어집니다. 보기 사이에서도 타당합니다: 384(중심 하나에 대한 수)는 한 중심의 경우의 수이므로 3을 곱하는 것을 잊으면 (A)에 도달하고, 1152는 384의 세 배로 (C)를 확인해 줍니다. 이 값은 전체 9!개의 배치보다 훨씬 작아, 합이 같아야 한다는 제약이 대부분의 배치를 걸러낸 결과로 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

중심 숫자는 모든 직선에 있으므로 1, 5, 9만이 네 합을 맞출 수 있고, 그다음 남은 숫자는 한 가지로 짝지어져 배치하고 뒤집는 방법만 세면 3 x 24 x 16 = 1152가 됩니다.

  • 네 직선 합을 더하기
  • 가능한 중심 숫자 찾기
  • 남은 여덟 숫자를 짝짓기
  • 네 짝을 배치하고 뒤집기
  • 세 가지 중심 경우를 합치기

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