AMC 10 · 2013 · #22

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

systematic-enumerationpermutations-basicdivisibility-rules systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: permutations-basicdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔각형 $ABCDEFGH$ 의 중심이 $J$ 이다. 각 꼭짓점과 중심에 $1$ 부터 $9$ 까지의 숫자를 하나씩, 각 숫자를 한 번씩만 써서, 직선 $AJE$ , $BJF$ , $CJG$ , $DJH$ 위의 수들의 합이 모두 같도록 대응시키려고 한다. 이렇게 할 수 있는 방법은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

384

(B)

576

(C)

1152

(D)

1680

(E)

3456

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정팔각형 ABCDEFGH의 중심이 J입니다. 네 직선 AJE, BJF, CJG, DJH는 각각 마주 보는 두 꼭짓점과 중심을 지나는 지름입니다. 1부터 9까지의 숫자를 각각 한 번씩 여덟 꼭짓점과 중심에 놓아, 네 직선 각각에 있는 세 숫자의 합이 모두 같도록 만듭니다. 가능한 배치의 개수를 구합니다.

주어진 것: 자리는 모두 9개입니다: 꼭짓점 8개와 중심 J; 숫자 1부터 9까지를 각각 정확히 한 번씩 사용합니다; 네 직선은 AE, BF, CG, DH이며, 각 직선은 마주 보는 두 꼭짓점과 중심 J를 지납니다; 각 직선 위 세 숫자의 합이 모두 같아야 합니다

구하는 것: 숫자를 놓는 올바른 배치의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 '몇 가지 방법'을 묻는 세기 문제이므로, 구조를 먼저 확정한 뒤 서로 독립인 선택의 수를 곱하는 것이 계획입니다. 먼저 공통 직선 합을 변수로 두어 그 값과 중심 숫자를 잇는 식을 세우면, 중심에 올 수 있는 숫자가 몇 개로 줄어듭니다. 각 중심 숫자에 대해 남은 여덟 숫자는 합이 같은 짝으로 묶이고, 그 짝들을 네 직선에 배정하고 양 끝을 뒤집는 경우의 수를 셉니다. 독립인 경우의 수를 곱하면 전체가 나옵니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

네 직선 합을 더하기

공통 합을 S라 합시다.
네 직선 합을 모두 더합니다.
각 꼭짓점은 정확히 한 직선에만 있으므로 여덟 꼭짓점은 한 번씩 세어지고, 중심 J는 네 직선 모두에 있으므로 네 번 세어집니다.
여덟 꼭짓점과 중심은 1부터 9까지 모든 숫자를 쓰고 그 합은 45입니다.
따라서 S의 네 배는 45에 중심 숫자 J를 세 번 더한 값과 같습니다.

$$4S = (1+2+\cdots+9) + 3J = 45 + 3J$$

💡 직선들을 더하면 공유된 중심이 네 번 세어지므로, 중심 숫자만이 기본 합 45를 바꾸는 유일한 요소입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

가능한 중심 숫자 찾기

4S는 4의 배수이므로 45 + 3J도 4로 나누어떨어져야 합니다.
1부터 9까지 대입해 보면 45 + 3J가 4의 배수가 되는 경우는 J가 1, 5, 9일 때뿐입니다(각각 48, 60, 72).
다른 숫자는 모두 실패합니다.
따라서 중심은 이 3개 숫자 중 하나여야 합니다.

$$45 + 3J \equiv 0 \pmod 4 \;\Rightarrow\; J \in \{1,\,5,\,9\}$$

💡 전체 합을 4의 배수로 만드는 중심 숫자만이 네 직선 합을 똑같이 나눌 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

남은 여덟 숫자를 짝짓기

중심 J를 정하면, 각 직선의 두 꼭짓점은 모든 직선에서 같은 목표값인 S에서 J를 뺀 값으로 더해져야 합니다.
그 목표값은 (45 - J)/4입니다: J=1이면 11, J=5이면 10, J=9이면 9입니다.
각 경우에 남은 여덟 숫자는 그 합을 가지는 네 짝으로 오직 한 가지 방법으로만 나뉩니다.
예를 들어 J=1이면 짝은 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)입니다.

\text{짝의 합} = S - J = \dfrac{45 - J}{4}; \quad J=1\to 11,\; J=5\to 10,\; J=9\to 9

💡 남은 여덟 숫자는 합이 같은 짝으로 딱 한 벌만 만들어지므로 이 단계에서는 고를 것이 없습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

네 짝을 배치하고 뒤집기

이제 한 중심 숫자에 대한 배치를 셉니다.
네 짝을 네 직선 AE, BF, CG, DH에 대응시키는 방법은 4!
= 24가지입니다.
각 직선에서 짝의 두 숫자를 마주 보는 두 꼭짓점에 놓는 순서는 2가지이고, 네 직선이 서로 독립으로 뒤집히므로 2의 네 제곱 = 16가지입니다.
곱하면 24 곱하기 16 = 384로, 각 중심 숫자마다 384가지 배치가 나옵니다.

$$4! \times 2^4 = 24 \times 16 = 384$$

💡 어느 짝을 어느 직선에 놓을지와 각 숫자를 어느 끝에 둘지는 서로 독립이므로 경우의 수를 곱합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

세 가지 중심 경우를 합치기

가능한 중심 숫자는 3개이고 각각 384가지 배치를 주며, 중심 숫자가 서로 다르므로 경우끼리 겹치지 않습니다.
세 경우를 더하거나, 같은 뜻으로 384에 3을 곱하면 전체가 나옵니다.
3 곱하기 384 = 1152이므로 답은 (C)입니다.

$$3 \times 384 = 1152$$

💡 각 중심 숫자가 독립적인 셈을 하나씩 만들므로, 같은 크기의 세 경우를 합칩니다.

[1] #4 6.EE.B.6 공통 합을 S라 합시다. 네 직선 합을 모두 더합니다. 각 꼭짓점은 정확히 한 직선에만 있으므로 여덟 꼭짓점은 한 번씩 세어지고, 중심 J는 네

[2] #3 4.OA.B.4 4S는 4의 배수이므로 45 + 3J도 4로 나누어떨어져야 합니다. 1부터 9까지 대입해 보면 45 + 3J가 4의 배수가 되는 경우는 J가 1

[3] #2 4.OA.A.3 중심 J를 정하면, 각 직선의 두 꼭짓점은 모든 직선에서 같은 목표값인 S에서 J를 뺀 값으로 더해져야 합니다. 그 목표값은 (45 - J)/4

[4] #2 7.SP.C.8 이제 한 중심 숫자에 대한 배치를 셉니다. 네 짝을 네 직선 AE, BF, CG, DH에 대응시키는 방법은 4! = 24가지입니다. 각 직선에서

[5] #2 7.SP.C.8 가능한 중심 숫자는 3개이고 각각 384가지 배치를 주며, 중심 숫자가 서로 다르므로 경우끼리 겹치지 않습니다. 세 경우를 더하거나, 같은 뜻으

검토

합리성 확인: 전체 1152는 3 x 24 x 16으로 인수분해되어, 중심 3가지 선택, 짝을 직선에 배정하는 4!가지, 짝을 양 끝으로 뒤집는 2^4가지라는 세 독립 단계와 정확히 맞아떨어집니다. 보기 사이에서도 타당합니다: 384(중심 하나에 대한 수)는 한 중심의 경우의 수이므로 3을 곱하는 것을 잊으면 (A)에 도달하고, 1152는 384의 세 배로 (C)를 확인해 줍니다. 이 값은 전체 9!개의 배치보다 훨씬 작아, 합이 같아야 한다는 제약이 대부분의 배치를 걸러낸 결과로 자연스럽습니다.

대안 접근: 짝을 먼저 만들지 않고 시계 방향으로 자리를 하나씩 채워도 됩니다. 중심을 고르고(3가지) 꼭짓점 A를 채웁니다(8가지). A가 정해지면 목표 합을 맞추기 위해 마주 보는 E가 결정됩니다. 꼭짓점 B는 남은 6개 중 하나이고 F가 결정되며, 꼭짓점 C는 남은 4개 중 하나이고 G가 결정되고, D는 남은 2개 중 하나이고 H가 결정됩니다. 그러면 3 x 8 x 6 x 4 x 2 = 1152로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 변수로 나타내고 식을 세우기 (공통 직선 합 S를 이름 붙이고 네 직선 합을 더해 4S = 45 + 3J를 이끌어내기)
4.OA.B.4 어떤 수가 주어진 수의 배수인지 판정하기 (45 + 3J를 4의 배수로 만드는 중심 숫자를 대입해 J = 1, 5, 9만 남기기)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문제를 풀고 타당성 점검하기 (고정된 짝의 합 목표값 (45 - J)/4와 합이 같은 네 짝의 유일한 조합 찾기)
7.SP.C.8 정리된 목록과 곱셈 원리로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (짝을 직선에 배정하는 4!, 뒤집는 2^4, 그리고 중심 3가지 선택을 곱하기)

⭐ 중심 숫자는 모든 직선에 있으므로 1, 5, 9만이 네 합을 맞출 수 있고, 그다음 남은 숫자는 한 가지로 짝지어져 배치하고 뒤집는 방법만 세면 3 x 24 x 16 = 1152가 됩니다.