AMC 10 · 2013 · #5

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

optimizationfactors extremal-construction ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수 $a$ 와 $b$ 는 각각 $6$ 보다 작다. $2 \cdot a - a \cdot b$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ -20$

(B)

$\ -15$

(C)

$\ -10$

(D)

$\ 0$

(E)

$\ 2$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 양의 정수 $a$와 $b$는 각각 $6$보다 작다. 따라서 각각 $1,2,3,4,5$ 중 하나이다. 식 $2\cdot a-a\cdot b$가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

주어진 것: $a$와 $b$는 양의 정수이다; 각각 $6$보다 작으므로 $a,b\in\{1,2,3,4,5\}$이다; 최소로 만들 식은 $2\cdot a-a\cdot b$이다; 선택지: (A) $-20$, (B) $-15$, (C) $-10$, (D) $0$, (E) $2$

구하는 것: 허용되는 모든 $a$, $b$에 대해 $2a-ab$가 가질 수 있는 가장 작은 값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

작고 유한한 범위에서 최솟값을 묻는 것은 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 신호이다. 가장 작은 값은 경계에 있으므로 $25$개 쌍을 모두 따지지 말고 끝값만 확인한다. 먼저 식을 인수분해해서(도구 #4, 두 문자를 하나의 곱으로 묶기) 부호 구조를 눈에 보이게 만든다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 나온 값을 선택지와 대조하고, 솔깃한 $-20$이 실제로는 도달 불가능함을 확인한다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 1

식을 인수분해하기

$2a-ab$의 두 항은 공통인수 $a$를 가진다.
$a$를 밖으로 빼내어 식을 $a(2-b)$로 바꾼다.
같은 식이지만, 이제 값이 $a$와 $(2-b)$라는 두 조각의 하나의 곱으로 정리된다.

$$2a-ab=a(2-b)$$

💡 $a$를 인수로 빼내면 더하고 빼는 식이 하나의 곱이 되어 부호를 읽기 쉬워진다.

#14 극단의 원리 7.NS.A.2 단계 2

부호 정하기

곱은 한 인수가 양수, 다른 인수가 큰 음수일 때 가장 작아진다(가장 음수가 된다).
여기서 $a$는 $a\ge1$이므로 항상 양수이다.
따라서 전체가 음수가 되려면 $(2-b)$가 음수여야 하고, 이는 $b>2$일 때이다.
이 경우 $a(2-b)=-a(b-2)$이므로, 값을 아주 음수로 만들려면 양수인 곱 $a(b-2)$를 아주 크게 만들면 된다.

$$b>2\;\Rightarrow\;a(2-b)=-a(b-2)$$

💡 양수 곱하기 음수는 음수이므로, 양수 짝이 클수록 곱은 더 아래로 내려간다.

#14 극단의 원리 7.NS.A.1 단계 3

두 인수를 끝값으로 밀기

$a(b-2)$를 가능한 한 크게 만들려면 허용되는 가장 큰 값 $a=5$, $b=5$를 잡는다.
그러면 $b-2=3$이고 $a(b-2)=5\cdot3=15$이므로 식은 $-15$가 된다.
직접 확인하면 $2\cdot5-5\cdot5=10-25=-15$이다.

$$a=b=5:\;\;2\cdot5-5\cdot5=10-25=-15$$

💡 극단값은 두 문자가 모두 최대가 되는 범위의 모서리에 놓인다.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.7 단계 4

선택지와 대조하기

값이 $-15$보다 더 내려갈 수 있을까?
$a(b-2)$가 $15$를 넘어야만 가능하지만, $a$의 최대는 $5$, $b-2$의 최대는 $3$이므로 그 곱의 상한은 $15$이고 식의 하한은 $-15$이다.
따라서 $a(b-2)=20$이 필요한 (A)의 $-20$은 배제된다.
$-15,-10,0,2$ 중 가장 작은 것은 $-15$이므로 답은 (B)이다.

$$a(b-2)\le5\cdot3=15\;\Rightarrow\;2a-ab\ge-15\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 양수 곱이 $15$를 넘을 수 없으므로 아래에서 $-15$를 이기는 값은 없다.

[1] #4 6.EE.A.3 $2a-ab$의 두 항은 공통인수 $a$를 가진다. $a$를 밖으로 빼내어 식을 $a(2-b)$로 바꾼다. 같은 식이지만, 이제 값이 $a$와

[2] #14 7.NS.A.2 곱은 한 인수가 양수, 다른 인수가 큰 음수일 때 가장 작아진다(가장 음수가 된다). 여기서 $a$는 $a\ge1$이므로 항상 양수이다. 따라서

[3] #14 7.NS.A.1 $a(b-2)$를 가능한 한 크게 만들려면 허용되는 가장 큰 값 $a=5$, $b=5$를 잡는다. 그러면 $b-2=3$이고 $a(b-2)=5\c

[4] #3 6.NS.C.7 값이 $-15$보다 더 내려갈 수 있을까? $a(b-2)$가 $15$를 넘어야만 가능하지만, $a$의 최대는 $5$, $b-2$의 최대는 $3$

검토

합리성 확인: 결과 $-15$는 모서리 $a=b=5$에서 나오는데, 이는 최솟값이 경계에 있다는 직관과 일치한다. 함정도 피한다: $-20$은 $a$와 $b$가 모두 $5$에서 멈춘다는 사실을 잊어야만 도달 가능해 보이는데, $a(b-2)$는 $5\cdot3=15$를 넘을 수 없다. 근처 모서리를 빠르게 훑어봐도 일치한다 — $a=4,b=5$는 $-12$, $a=5,b=4$는 $-10$으로 둘 다 $-15$보다 크므로, $-15$가 정말 가장 낮다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 $2a-ab=a(2-b)$ 꼴을 그대로 따져도 된다. 가능한 한 낮추려면 큰 양수 $a$에 큰 음수 $(2-b)$를 곱해야 한다. $(2-b)$가 가장 음수인 것은 $b=5$일 때($-3$)이고 가장 큰 $a$는 $5$이므로, 다른 쌍을 시험하지 않아도 곱은 $5\cdot(-3)=-15$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (공통인수 $a$를 빼내어 $2a-ab$를 하나의 곱 $a(2-b)$로 다시 쓰기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (양수 $a$와 음수 $(2-b)$의 곱이 음수이며, 양수 짝이 커질수록 더 음수가 됨을 추론하기.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (끝값에서 $2\cdot5-5\cdot5=10-25=-15$을 계산하기.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (음수 후보들을 비교해 $-15$가 가장 작고 $-20$은 도달 불가능함을 확인하기.)

⭐ 작은 범위에서 가장 작은 값을 묻는 문제는, 식을 인수분해한 뒤 각 문자를 허용되는 끝까지 밀어붙여라.