AMC 10 · 2013 · #5

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

optimizationfactors extremal-construction ↑ 선수 지식: factors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 양의 정수 a와 b는 각각 6보다 작다. 따라서 각각 1, 2, 3, 4, 5 중 하나이다. 2·a - a·b가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ -20$

(B)

$\ -15$

(C)

$\ -10$

(D)

$\ 0$

(E)

$\ 2$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

작고 유한한 범위에서 최솟값을 묻는 것은 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 신호이다. 가장 작은 값은 경계에 있으므로 25개 쌍을 모두 따지지 말고 끝값만 확인한다. 먼저 식을 인수분해해서(도구 #4, 두 문자를 하나의 곱으로 묶기) 부호 구조를 눈에 보이게 만든다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 나온 값을 선택지와 대조하고, 솔깃한 -20이 실제로는 도달 불가능함을 확인한다.

1STEP 1

식을 인수분해하기

2a-ab의 두 항은 공통인수 a를 가지므로, 식 전체는 하나의 곱 a(2-b)가 된다.

2a-ab=a(2-b)

2STEP 2

부호 정하기

a는 1 이상이라 항상 양수이므로, b가 2보다 클 때만 값이 음수가 되고 이때 a(2-b)는 -a(b-2)이다.

b ＞ 2 → a(2-b)=-a(b-2)

3STEP 3

두 인수를 끝값으로 밀기

허용되는 가장 큰 값 a=5, b=5를 잡으면 2·5-5·5=10-25=-15가 된다.

a=b=5: 2·5-5·5=10-25=-15

4STEP 4

선택지와 대조하기

a(b-2)의 최대는 5·3=15이므로 -15보다 더 내려갈 수 없고, -20은 a(b-2)=20이 필요해 불가능하므로 답은 (B)이다.

a(b-2) ≤ 5·3=15 → 2a-ab ≥ -15 → (B)

정답

-15

결과 -15는 모서리 a=b=5에서 나오는데, 이는 최솟값이 경계에 있다는 직관과 일치한다. 함정도 피한다: -20은 a와 b가 모두 5에서 멈춘다는 사실을 잊어야만 도달 가능해 보이는데, a(b-2)는 5·3=15를 넘을 수 없다. 근처 모서리를 빠르게 훑어봐도 일치한다 — a=4,b=5는 -12, a=5,b=4는 -10으로 둘 다 -15보다 크므로, -15가 정말 가장 낮다.

💡핵심 정리

작은 범위에서 가장 작은 값을 묻는 문제는, 식을 인수분해한 뒤 각 문자를 허용되는 끝까지 밀어붙여라.

식을 인수분해하기
부호 정하기
두 인수를 끝값으로 밀기
선택지와 대조하기

식을 인수분해하기

부호 정하기

두 인수를 끝값으로 밀기

선택지와 대조하기

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