AMC 10 · 2014 · #11

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 가전제품의 정가를 P라 하자. 구매자는 세 쿠폰 중 정확히 하나만 쓸 수 있다. 쿠폰 1은 정가의 10%를 깎아 준다(정가가 50달러 이상일 때). 쿠폰 2는 정가에서 정액 20달러를 깎아 준다(정가가 100달러 이상일 때). 쿠폰 3은 정가에서 100달러를 넘는 부분의 18%만 깎아 준다. 아래 정가 중에서 쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 2와 쿠폰 3보다 모두 더 큰 것은 어느 것인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar179.95$

(B)

$\textdollar199.95$

(C)

$\textdollar219.95$

(D)

$\textdollar239.95$

(E)

$\textdollar259.95$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

정가를 P로 두자(도구 #4). 변수를 하나 잡으면 다섯 개의 정가를 일일이 세 번씩 계산하는 대신 세 할인액을 식으로 쓸 수 있다. 그다음 도구 #13으로 "쿠폰 1의 할인이 더 크다"라는 말을 두 부등식 — 쿠폰 1 대 쿠폰 2, 쿠폰 1 대 쿠폰 3 — 으로 바꾸면 P가 하나의 구간으로 좁혀진다. 마지막으로 도구 #3으로 다섯 정가 중 어느 것이 그 구간 안에 들어오는지 확인한다. 답은 반드시 선택지 값이어야 하기 때문이다.

1STEP 1

세 할인액을 식으로 쓰기

정가를 P라 하면 쿠폰 1은 0.10P, 쿠폰 2는 20달러, 쿠폰 3은 0.18(P-100)을 깎아 준다.

C₁ = 0.10P, C₂ = 20, C₃ = 0.18(P-100)

2STEP 2

쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함

쿠폰 1이 쿠폰 2를 이기려면 0.10P ＞ 20이고, 0.10으로 나누면 P ＞ 200이다.

0.10P ＞ 20 → P ＞ 200

3STEP 3

쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함

쿠폰 1이 쿠폰 3을 이기려면 0.10P ＞ 0.18(P-100), 즉 18 ＞ 0.08P이므로 P ＜ 225이다.

0.10P ＞ 0.18(P-100) → 18 ＞ 0.08P → P ＜ 225

4STEP 4

구간 안의 정가 찾기

두 조건이 동시에 성립해야 하므로 200 ＜ P ＜ 225이고, 다섯 정가 중 219.95만 구간 안에 든다 — (C).

200 ＜ P ＜ 225 → P = 219.95달러 (C)

정답

219.95달러

P = 219.95를 직접 대입해 보자. 쿠폰 1은 0.10 · 219.95 = 21.995달러, 쿠폰 2는 20달러, 쿠폰 3은 0.18 · 119.95 ≈ 21.59달러를 깎는다. 쿠폰 1의 약 22.00달러가 셋 중 가장 크므로 두 쿠폰을 모두 이긴다 — (C)와 일치한다. 탈락한 선택지 P = 239.95도 확인하면, 쿠폰 3이 0.18 · 139.95 ≈ 25.19달러로 이미 쿠폰 1의 24.00달러를 넘어서므로 구간이 예측한 대로 (D)는 실패한다.

💡핵심 정리

각 쿠폰의 할인액을 정가에 대한 식으로 쓴 뒤, 두 부등식이 정가를 200 ＜ P ＜ 225로 좁혀 준다 — 그 안에 맞는 값은 219.95달러 하나뿐이다.

세 할인액을 식으로 쓰기
쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함
쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함
구간 안의 정가 찾기

세 할인액을 식으로 쓰기

쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함

쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함

구간 안의 정가 찾기

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