AMC 10 · 2014 · #11

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 가전제품을 사려는 손님이 쿠폰 세 장을 가지고 있는데, 그중 한 장만 사용할 수 있다:

쿠폰 1: 정가가 $\textdollar50$ 이상이면 정가의 $10\%$ 할인

쿠폰 2: 정가가 $\textdollar100$ 이상이면 정가에서 $\textdollar 20$ 할인

쿠폰 3: 정가가 $\textdollar100$ 을 초과하는 금액의 $18\%$ 할인

다음 정가 중에서 쿠폰 $1$ 이 쿠폰 $2$ 나 쿠폰 $3$ 보다 더 큰 가격 인하를 제공하는 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar179.95$

(B)

$\textdollar199.95$

(C)

$\textdollar219.95$

(D)

$\textdollar239.95$

(E)

$\textdollar259.95$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 가전제품의 정가가 $P$이다. 구매자는 세 쿠폰 중 정확히 하나만 쓸 수 있다. 쿠폰 1은 정가의 $10\%$ 할인($P \ge \textdollar 50$일 때), 쿠폰 2는 정액 $\textdollar 20$ 할인($P \ge \textdollar 100$일 때), 쿠폰 3은 정가에서 $\textdollar 100$을 넘는 부분의 $18\%$만 할인해 준다. 어느 정가일 때 쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 2와 쿠폰 3보다 모두 더 큰가?

주어진 것: 쿠폰 1의 할인액은 정가의 $10\%$이다; 쿠폰 2의 할인액은 정액 $\textdollar 20$이다; 쿠폰 3의 할인액은 $\textdollar 100$을 넘는 부분의 $18\%$이다; 선택지: (A) $\textdollar 179.95$, (B) $\textdollar 199.95$, (C) $\textdollar 219.95$, (D) $\textdollar 239.95$, (E) $\textdollar 259.95$; 모든 선택지가 $\textdollar 100$보다 크므로 세 쿠폰 모두 사용 가능하다

구하는 것: 쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 2와 쿠폰 3보다 모두 더 커지는 정가

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

정가를 $P$로 두자(도구 #4). 변수를 하나 잡으면 다섯 개의 정가를 일일이 세 번씩 계산하는 대신 세 할인액을 식으로 쓸 수 있다. 그다음 도구 #13으로 "쿠폰 1의 할인이 더 크다"라는 말을 두 부등식 — 쿠폰 1 대 쿠폰 2, 쿠폰 1 대 쿠폰 3 — 으로 바꾸면 $P$가 하나의 구간으로 좁혀진다. 마지막으로 도구 #3으로 다섯 정가 중 어느 것이 그 구간 안에 들어오는지 확인한다. 답은 반드시 선택지 값이어야 하기 때문이다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 7.RP.A.3 단계 1

세 할인액을 식으로 쓰기

정가를 $P$라 하자.
쿠폰 1은 $P$의 $10\%$인 $0.10P$를 깎는다.
쿠폰 2는 정액 $\textdollar 20$을 깎는다.
쿠폰 3은 $\textdollar 100$을 넘는 부분의 $18\%$인 $0.18(P-100)$을 깎는다.
이제 세 제안이 미지수 $P$ 하나로 이루어진 세 식이 되었다.

$$C_1 = 0.10P,\quad C_2 = 20,\quad C_3 = 0.18(P-100)$$

💡 정가를 $P$ 하나로 이름 붙이면 모든 쿠폰이 같은 언어로 말하게 되어 곧바로 비교할 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함

쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 2보다 커야 하므로 $0.10P > 20$을 요구한다.
양변을 $0.10$으로 나누면 $P > 200$이다.
즉 백분율 할인이 정액 $\textdollar 20$을 이기려면 정가가 $\textdollar 200$을 넘어야 한다.

$$0.10P > 20 \;\Rightarrow\; P > 200$$

💡 고정된 $\textdollar 20$은 정가가 $\textdollar 200$을 넘어서야 비로소 $10\%$에게 진다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함

쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 3보다 커야 하므로 $0.10P > 0.18(P-100)$을 요구한다.
우변을 전개하면 $0.10P > 0.18P - 18$이다.
양변에서 $0.10P$를 빼면 $0 > 0.08P - 18$, 즉 $0.08P < 18$이 되어 $P < 225$이다.

$$0.10P > 0.18(P-100) \;\Rightarrow\; 18 > 0.08P \;\Rightarrow\; P < 225$$

💡 정가가 오를수록 쿠폰 3이 쿠폰 1보다 빠르게 커지므로, 쿠폰 1은 정가가 $\textdollar 225$ 아래일 때만 이긴다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 4

구간 안의 정가 찾기

두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $200 < P < 225$이다.
선택지를 확인하면 $\textdollar 179.95$와 $\textdollar 199.95$는 $200$보다 작고, $\textdollar 239.95$와 $\textdollar 259.95$는 $225$보다 크며, 오직 $\textdollar 219.95$만 $200$과 $225$ 사이에 들어온다.
따라서 답은 (C)이다.

$$200 < P < 225 \;\Rightarrow\; P = \textdollar 219.95\ \textbf{(C)}$$

💡 두 부등식이 좁은 창 하나를 만들고, 그 안에 들어오는 정가는 단 하나뿐이다.

[1] #4 7.RP.A.3 정가를 $P$라 하자. 쿠폰 1은 $P$의 $10\%$인 $0.10P$를 깎는다. 쿠폰 2는 정액 $\textdollar 20$을 깎는다. 쿠폰

[2] #13 7.EE.B.4 쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 2보다 커야 하므로 $0.10P > 20$을 요구한다. 양변을 $0.10$으로 나누면 $P > 200$이다. 즉 백분율

[3] #13 7.EE.B.4 쿠폰 1의 할인액이 쿠폰 3보다 커야 하므로 $0.10P > 0.18(P-100)$을 요구한다. 우변을 전개하면 $0.10P > 0.18P -

[4] #3 6.EE.B.5 두 조건이 동시에 성립해야 하므로 $200 < P < 225$이다. 선택지를 확인하면 $\textdollar 179.95$와 $\textdoll

검토

합리성 확인: $P = 219.95$를 직접 대입해 보자. 쿠폰 1은 $0.10 \cdot 219.95 = \textdollar 21.995$, 쿠폰 2는 $\textdollar 20$, 쿠폰 3은 $0.18 \cdot 119.95 \approx \textdollar 21.59$를 깎는다. 쿠폰 1의 약 $\textdollar 22.00$이 셋 중 가장 크므로 두 쿠폰을 모두 이긴다 — (C)와 일치한다. 탈락한 선택지 $P = 239.95$도 확인하면, 쿠폰 3이 $0.18 \cdot 139.95 \approx \textdollar 25.19$로 이미 쿠폰 1의 $\textdollar 24.00$을 넘어서므로 구간이 예측한 대로 (D)는 실패한다.

대안 접근: 대수 대신 다섯 정가 각각에 대해 세 할인액을 모두 계산해 열끼리 비교할 수도 있다. 이 방식도 $\textdollar 219.95$에서 같은 승자를 주지만, 부등식 구간 $200 < P < 225$는 *왜* 그런지를 설명하고 선택지가 달랐어도 답이 유일함을 보여 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비와 백분율 문제 풀기 (각 쿠폰의 백분율 할인 규칙을 식 $0.10P$와 $0.18(P-100)$으로 바꾸는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 수량을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세우기 (두 부등식 $0.10P > 20$과 $0.10P > 0.18(P-100)$을 세우고 풀어 $P > 200$과 $P < 225$를 얻는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식이나 부등식을 푸는 것을 참이 되게 하는 값을 찾는 과정으로 이해하기 (두 조건을 $200 < P < 225$로 교차시키고 어느 정가가 이를 만족하는지 확인하는 데 사용.)

⭐ 각 쿠폰의 할인액을 정가에 대한 식으로 쓴 뒤, 두 부등식이 정가를 $200 < P < 225$로 좁혀 준다 — 그 안에 맞는 값은 $\textdollar 219.95$ 하나뿐이다.