AMC 10 · 2014 · #12
학년 8 geometry-2d area-regular-hexagoncircular-sectorarea-difference complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
한 변의 길이가 6인 정육각형이 있다. 여섯 꼭짓점 각각을 중심으로 반지름 3인 원호를 그려, 각 모서리에서 부채꼴 하나씩을 잘라낸다. 육각형 안쪽이면서 여섯 부채꼴 바깥쪽인 부분의 넓이를 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$27\sqrt{3}-9\pi$
(B)
$27\sqrt{3}-6\pi$
(C)
$54\sqrt{3}-18\pi$
(D)
$54\sqrt{3}-12\pi$
(E)
$108\sqrt{3}-9\pi$
AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기
색칠된 영역은 경계가 울퉁불퉁해서 곧바로 재기 어렵다. 직접 재는 대신 육각형 전체에서 잘려 나간 조각을 빼면 된다. 그러면 지저분한 한 영역이 육각형 넓이와 부채꼴 전체 넓이라는 깔끔한 두 조각으로 나뉜다.
1STEP 1
전체에서 잘린 부분 빼기
부채꼴은 육각형 안에서 잘려 나간 부분이므로, 색칠 넓이는 육각형 넓이에서 여섯 부채꼴을 뺀 값이다.
색칠 = Area_hexagon - Area₆ sectors
남은 부분을 직접 따라 그리기보다, 전체를 재고 구멍을 빼는 편이 더 쉽다.
7.G.B.6Change Focus Count The Complement2STEP 2
육각형의 넓이
한 변 6인 정삼각형 6개로 쪼개면 각각 이므로, 육각형은 이다.
6 · √(3)/4 · 6² = 6 · 9√(3) = 54√(3)
정육각형은 중심 둘레로 펼쳐진 똑같은 정삼각형 6개다.
정육각형은 중심을 둘러싸고 펼쳐진 똑같은 정삼각형 여섯이다.
▸ 왜?
중심 둘레의 각이 한 바퀴를 채우므로, 같은 여섯 조각은 각각 그 6분의 1이다.
한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
▸ 왜?
같은 두 반지름과 그 조각의 각이 셋째 변까지 같게 만들어, 각 조각이 정삼각형이 된다.
같은 변은 같은 각을 마주 본다이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개지므로 두 밑각은 같다 — 거꾸로도 성립한다.
3STEP 3
여섯 부채꼴의 넓이
각 부채꼴은 내각 120도를 채우니 반지름 3인 원의 , 하나가 , 여섯이면 이다.
6 · 120/360 · π · 3² = 6 · 3π = 18π
부채꼴은 360도 중 자기 몫만큼 잘라 낸 원의 한 조각일 뿐이다.
7.G.B.4Identify Subproblems4STEP 4
빼서 마무리
에서 를 덜어 , 곧 보기 (C)이다.
54√(3) - 18π
둥근 모서리를 덜어 내고 남는 것이 바로 색칠된 넓이다.
7.NS.A.3Change Focus Count The Complement정답
54√(3)-18π
수로 보면 은 약 93.5, 는 약 56.5이므로 색칠된 넓이는 약 37이다. 이는 양수이면서 육각형 넓이보다 작아, 구멍 뚫린 영역이 마땅히 가져야 할 값이며 보기 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리
둥글게 베어 문 자국이 있는 남은 영역을 구할 때는, 전체 모양을 재고 잘려 나간 조각을 빼면 된다.
- 전체에서 잘린 부분 빼기
- 육각형의 넓이
- 여섯 부채꼴의 넓이
- 빼서 마무리
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