AMC 10 · 2014 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-regular-hexagoncircular-sectorarea-difference complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 정육각형의 변의 길이가 6이다. 반지름이 3인 합동인 호들이 각 꼭짓점을 중심으로 그려져, 그림과 같이 부채꼴을 이룬다. 그림과 같이 육각형 내부이면서 부채꼴 외부인 영역이 색칠되어 있다. 색칠된 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$27\sqrt{3}-9\pi$

(B)

$27\sqrt{3}-6\pi$

(C)

$54\sqrt{3}-18\pi$

(D)

$54\sqrt{3}-12\pi$

(E)

$108\sqrt{3}-9\pi$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 6인 정육각형이 있다. 여섯 꼭짓점 각각을 중심으로 반지름 3인 원호를 그려, 각 모서리에서 부채꼴 하나씩을 잘라낸다. 육각형 안쪽이면서 여섯 부채꼴 바깥쪽인 부분의 넓이를 구하라.

주어진 것: 육각형은 한 변의 길이가 6인 정육각형이다.; 여섯 꼭짓점 각각을 중심으로 반지름 3인 원호를 그린다.; 각 원호는 그 꼭짓점에서 만나는 두 변과 함께 육각형 안쪽에 부채꼴을 이룬다.; 색칠된 영역은 육각형 안쪽이면서 모든 부채꼴의 바깥쪽이다.

구하는 것: 색칠된 영역의 넓이.

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

색칠된 영역은 경계가 울퉁불퉁해서 곧바로 재기 어렵다. 직접 재는 대신 육각형 전체에서 잘려 나간 조각을 빼면 된다. 그러면 지저분한 한 영역이 육각형 넓이와 부채꼴 전체 넓이라는 깔끔한 두 조각으로 나뉜다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 1

전체에서 잘린 부분 빼기

부채꼴은 육각형 안쪽에서 잘려 나간 부분 그 자체이므로, 색칠된 넓이는 육각형의 넓이에서 여섯 부채꼴의 넓이 합을 뺀 값과 같다.

\text{색칠} = \text{Area}_{\text{hexagon}} - \text{Area}_{\text{6 sectors}}

💡 남은 부분을 직접 따라 그리기보다, 전체를 재고 구멍을 빼는 편이 더 쉽다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

육각형의 넓이

정육각형을 한 변이 6인 정삼각형 6개로 나눈다.
각 삼각형의 넓이는 (sqrt(3)/4) 곱하기 한 변의 제곱이며, 높이는 피타고라스 정리로 구한다.
따라서 각 삼각형은 (sqrt(3)/4)(36) = 9 sqrt(3)이고, 6개를 더하면 54 sqrt(3)이다.

$$6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2 = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$$

💡 정육각형은 중심 둘레로 펼쳐진 똑같은 정삼각형 6개다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

여섯 부채꼴의 넓이

각 부채꼴은 120도인 내각 안에 놓이므로 반지름 3인 원의 120/360 = 1/3이다.
한 부채꼴은 (1/3)(pi)(3^2) = 3 pi이고, 여섯 부채꼴을 합하면 6 곱하기 3 pi = 18 pi이다.

$$6 \cdot \frac{120}{360}\cdot \pi \cdot 3^2 = 6 \cdot 3\pi = 18\pi$$

💡 부채꼴은 360도 중 자기 몫만큼 잘라 낸 원의 한 조각일 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 7.NS.A.3 단계 4

빼서 마무리

육각형의 넓이에서 부채꼴 전체 넓이를 뺀다: 54 sqrt(3) 빼기 18 pi.
이는 보기 (C)와 일치한다.

$$54\sqrt{3} - 18\pi$$

💡 둥근 모서리를 덜어 내고 남는 것이 바로 색칠된 넓이다.

[1] #16 7.G.B.6 부채꼴은 육각형 안쪽에서 잘려 나간 부분 그 자체이므로, 색칠된 넓이는 육각형의 넓이에서 여섯 부채꼴의 넓이 합을 뺀 값과 같다.

[2] #7 8.G.B.7 정육각형을 한 변이 6인 정삼각형 6개로 나눈다. 각 삼각형의 넓이는 (sqrt(3)/4) 곱하기 한 변의 제곱이며, 높이는 피타고라스 정리로

[3] #7 7.G.B.4 각 부채꼴은 120도인 내각 안에 놓이므로 반지름 3인 원의 120/360 = 1/3이다. 한 부채꼴은 (1/3)(pi)(3^2) = 3 pi이

[4] #16 7.NS.A.3 육각형의 넓이에서 부채꼴 전체 넓이를 뺀다: 54 sqrt(3) 빼기 18 pi. 이는 보기 (C)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 수로 보면 54 sqrt(3)은 약 93.5, 18 pi는 약 56.5이므로 색칠된 넓이는 약 37이다. 이는 양수이면서 육각형 넓이보다 작아, 구멍 뚫린 영역이 마땅히 가져야 할 값이며 보기 (C)와 일치한다.

대안 접근: 부채꼴 각을 먼저 더하면, 120도짜리 여섯 부채꼴은 합쳐서 720도로 반지름 3인 원 두 개에 해당한다. 그래서 부채꼴 전체는 한 번에 2(pi)(3^2) = 18 pi가 되고, 이를 54 sqrt(3)에서 빼면 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (색칠된 영역을 육각형 넓이에서 잘린 부채꼴을 뺀 것으로 재구성하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (정삼각형의 높이를 구해 육각형 넓이 54 sqrt(3)을 계산하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (각 120도 부채꼴을 반지름 3인 원의 3분의 1로 계산하는 데 사용.)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (육각형 넓이와 부채꼴 넓이를 합쳐 최종 식을 만드는 데 사용.)

⭐ 둥글게 베어 문 자국이 있는 남은 영역을 구할 때는, 전체 모양을 재고 잘려 나간 조각을 빼면 된다.