AMC 10 · 2014 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblemsspatial-visualization ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정삼각형 $\triangle ABC$ 의 변의 길이가 $1$ 이고, 정사각형 $ABDE$ , $BCHI$ , $CAFG$ 가 삼각형 바깥쪽에 놓여 있다. 육각형 $DEFGHI$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{12+3\sqrt3}4$

(B)

$\dfrac92$

(C)

$3+\sqrt3$

(D)

$\dfrac{6+3\sqrt3}2$

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 세 변마다 바깥쪽으로 정사각형을 하나씩 붙였다. 정사각형들의 바깥 꼭짓점들을 이으면 육각형이 만들어진다. 이 육각형의 넓이를 구하라.

주어진 것: 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다; 정사각형 ABDE, BCHI, CAFG가 각 변마다 하나씩 삼각형 바깥에 놓여 있다; 각 정사각형은 삼각형의 변과 같은 한 변의 길이 1을 갖는다; 육각형 DEFGHI는 정사각형들의 바깥 꼭짓점 여섯 개로 만들어진다

구하는 것: 육각형 DEFGHI의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

육각형은 여러 도형이 합쳐진 모양이다. 바깥 꼭짓점 좌표를 쫓는 대신, 넓이를 쉽게 구할 수 있는 조각들로 자른다: 가운데 삼각형, 정사각형 세 개, 각 꼭짓점에 끼어 있는 작은 삼각형 세 개. 그 조각들을 다시 더한다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

육각형을 조각으로 자르기

육각형 DEFGHI는 정확히 세 종류의 영역으로 덮인다: 가운데 정삼각형 ABC, 변에 붙은 정사각형 세 개, 그리고 꼭짓점의 빈 틈을 채우는 작은 삼각형 세 개(꼭짓점 A의 삼각형 AEF와 B, C에서의 대응 삼각형).
어느 것도 두 번 세지 않고 빠뜨리지도 않으므로, 육각형의 넓이는 이 일곱 조각의 합이다.

[DEFGHI] = [ABC] + 3\,[\text{정사각형}] + 3\,[\text{모서리 삼각형}]

💡 복잡한 도형도 이미 아는 도형들로 쪼개면 쉬워진다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

가운데 삼각형의 넓이

삼각형 ABC는 한 변이 1인 정삼각형이다.
높이를 내리면 직각삼각형 두 개로 나뉘고, 피타고라스 정리로 높이는 1에서 4분의 1을 뺀 것의 제곱근, 즉 2분의 루트 3이다.
따라서 넓이는 2분의 1 곱하기 밑변 1 곱하기 그 높이이다.

$$h=\sqrt{1^2-\left(\tfrac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2},\quad [ABC]=\frac12\cdot 1\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}$$

💡 정삼각형의 높이는 언제나 반으로 자르고 피타고라스 정리를 쓰면 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

정사각형 세 개의 넓이

각 정사각형은 길이 1인 변 위에 세워지므로 넓이는 1 곱하기 1 = 1이다.
그런 정사각형이 세 개 있다.

$$3\times(1\cdot 1)=3$$

💡 한 변이 1인 정사각형의 넓이는 1이므로 세 개면 정확히 3이 된다.

#17 공간 상상하기 7.G.B.5 단계 4

모서리 각 구하기

꼭짓점 A를 보자.
네 영역이 그곳에서 만나며 그 각들이 한 바퀴인 360도를 채운다: 삼각형 자신의 60도 각, 그리고 두 정사각형에서 각각 90도.
남는 것이 작은 모서리 삼각형의 각 EAF이므로, 360에서 60과 90과 90을 뺀 값이다.

$$\angle EAF = 360^\circ-60^\circ-90^\circ-90^\circ = 120^\circ$$

💡 한 점 둘레에 모인 각들은 반드시 360도를 이루므로 남는 각은 저절로 정해진다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 5

모서리 삼각형 하나의 넓이

삼각형 AEF는 AE = AF = 1(각각 정사각형의 변)이고 그 사이 각이 120도이다.
A에서 높이를 내리면 빗변이 1인 30-60-90 직각삼각형 두 개로 나뉜다.
각각 밑변의 절반인 2분의 루트 3과 높이 2분의 1을 주어 넓이는 4분의 루트 3이 된다.
모서리 삼각형 세 개면 그 세 배이다.

[AEF]=\frac12\cdot\underbrace{\sqrt3}_{\text{밑변}}\cdot\underbrace{\tfrac12}_{\text{높이}}=\frac{\sqrt3}{4},\quad 3\,[AEF]=\frac{3\sqrt3}{4}

💡 120도 쐐기를 반으로 자르면 익숙한 30-60-90 삼각형 두 개가 되어 잴 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 6

조각들을 더하기

일곱 영역을 더한다: 가운데 삼각형 4분의 루트 3, 정사각형 세 개 합 3, 모서리 삼각형 세 개 합 4분의 3루트 3.
두 루트 부분이 하나의 루트 3으로 합쳐지므로 총합은 3 더하기 루트 3이다.
이는 선택지 (C)와 일치한다.

$$\frac{\sqrt3}{4}+3+\frac{3\sqrt3}{4}=3+\sqrt3$$

💡 모든 조각을 재고 나면 전체는 그저 그 합일 뿐이다.

[1] #7 6.G.A.1 육각형 DEFGHI는 정확히 세 종류의 영역으로 덮인다: 가운데 정삼각형 ABC, 변에 붙은 정사각형 세 개, 그리고 꼭짓점의 빈 틈을 채우는

[2] #1 8.G.B.7 삼각형 ABC는 한 변이 1인 정삼각형이다. 높이를 내리면 직각삼각형 두 개로 나뉘고, 피타고라스 정리로 높이는 1에서 4분의 1을 뺀 것의 제

[3] #7 6.G.A.1 각 정사각형은 길이 1인 변 위에 세워지므로 넓이는 1 곱하기 1 = 1이다. 그런 정사각형이 세 개 있다.

[4] #17 7.G.B.5 꼭짓점 A를 보자. 네 영역이 그곳에서 만나며 그 각들이 한 바퀴인 360도를 채운다: 삼각형 자신의 60도 각, 그리고 두 정사각형에서 각각

[5] #1 8.G.B.7 삼각형 AEF는 AE = AF = 1(각각 정사각형의 변)이고 그 사이 각이 120도이다. A에서 높이를 내리면 빗변이 1인 30-60-90 직

[6] #7 7.G.B.6 일곱 영역을 더한다: 가운데 삼각형 4분의 루트 3, 정사각형 세 개 합 3, 모서리 삼각형 세 개 합 4분의 3루트 3. 두 루트 부분이 하나

검토

합리성 확인: 대략적인 크기 확인: 정사각형 세 개만으로도 3이고, 남는 삼각형들은 모두 얇은 조각이라 총합은 3보다 조금 위여야 한다. 답 3 더하기 루트 3은 약 4.73으로 이에 맞는다. 6이나 9/2 같은 선택지는 작은 모서리 삼각형이 주는 것보다 훨씬 많은 채움 넓이가 필요하다.

대안 접근: 바깥 정사각형 변들을 연장해 서로 만나게 하면, 도형을 한 변이 1 더하기 루트 3인 하나의 큰 정삼각형으로 감쌀 수 있다. 그 넓이에서 육각형 밖으로 튀어나온 둔각삼각형 세 개를 빼도 3 더하기 루트 3이 나와 분해를 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (육각형을 삼각형 하나, 정사각형 세 개, 모서리 삼각형 세 개로 분해하고 그 넓이들을 합하는 데 사용)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·인접각에 관한 사실 이용하기 (각 꼭짓점 둘레의 360도를 채우는 알려진 각들을 빼서 120도 모서리 각을 구하는 데 사용)
7.G.B.6 넓이·겉넓이·부피가 포함된 실제 문제 해결하기 (분해된 조각들을 합쳐 육각형의 최종 넓이를 구하는 데 사용)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 길이 구하기 (각 삼각형의 넓이를 주는 높이(2분의 루트 3, 그리고 모서리 삼각형의 높이)를 계산하는 데 사용)

⭐ 낯선 도형을 삼각형 하나, 정사각형 몇 개, 그리고 모서리 틈을 메우는 작은 삼각형들로 잘라서 조각을 모두 더하라.