AMC 10 · 2014 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblemsspatial-visualization ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정삼각형

ABC

의 한 변의 길이가 1이고, 세 변마다 바깥쪽으로 정사각형

ABDE

BCHI

CAFG

를 세웠다. 이 정사각형들의 바깥 꼭짓점 여섯 개가 육각형을 이룬다. 육각형

DEFGHI

의 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{12+3\sqrt3}4$

(B)

$\dfrac92$

(C)

$3+\sqrt3$

(D)

$\dfrac{6+3\sqrt3}2$

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

육각형은 여러 도형이 합쳐진 모양이다. 바깥 꼭짓점 좌표를 쫓는 대신, 넓이를 쉽게 구할 수 있는 조각들로 자른다: 가운데 삼각형, 정사각형 세 개, 각 꼭짓점에 끼어 있는 작은 삼각형 세 개. 그 조각들을 다시 더한다.

1STEP 1

육각형을 조각으로 자르기

육각형은 가운데 정삼각형, 정사각형 세 개, 모서리 틈을 메우는 작은 삼각형 세 개로 정확히 나뉜다.

[DEFGHI] = [ABC] + 3 [정사각형] + 3 [모서리 삼각형]

2STEP 2

가운데 삼각형의 넓이

높이를 내리면 $ABC$ 는 30-60-90 삼각형이 되어 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 이다.

h=√(1²-(1/2)²)=√3/2, [ABC]=1/2 · 1·√3/2=√3/4

3STEP 3

정사각형 세 개의 넓이

각 정사각형은 한 변이 1이라 넓이가 1이고, 세 개를 합치면 $3$ 이다.

3×(1 · 1)=3

4STEP 4

모서리 각 구하기

꼭짓점 $A$ 에 모인 네 각이 $360^\circ$ 를 채우므로 남는 모서리 각은 $120^\circ$ 이다.

∠ EAF = 360°-60°-90°-90° = 120°

5STEP 5

모서리 삼각형 하나의 넓이

끼인각이 $120^\circ$ 인 삼각형 $AEF$ 는 넓이가 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 이고, 세 개면 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 이다.

[AEF]=1/2·√3_밑변·1/2_높이=√3/4, 3 [AEF]=3√3/4

6STEP 6

조각들을 더하기

조각들을 모두 더하면 두 루트 항이 하나로 합쳐져 총합은 $3+\sqrt{3}$ 이다.

√3/4+3+3√3/4=3+√3

정답

3+√3

대략적인 크기 확인: 정사각형 세 개만으로도 3이고, 남는 삼각형들은 모두 얇은 조각이라 총합은 3보다 조금 위여야 한다. 답 3 더하기 루트 3은 약 4.73으로 이에 맞는다. 6이나 9/2 같은 선택지는 작은 모서리 삼각형이 주는 것보다 훨씬 많은 채움 넓이가 필요하다.

💡핵심 정리

낯선 도형을 삼각형 하나, 정사각형 몇 개, 그리고 모서리 틈을 메우는 작은 삼각형들로 잘라서 조각을 모두 더하라.

육각형을 조각으로 자르기
가운데 삼각형의 넓이
정사각형 세 개의 넓이
모서리 각 구하기
모서리 삼각형 하나의 넓이
조각들을 더하기