AMC 10 · 2014 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryslope-interceptarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 $A(6,8)$ 에서 만나는 서로 수직인 두 직선의 $y$ 절편 $P$ 와 $Q$ 의 합이 $0$ 이다. $\triangle APQ$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 수직인 두 직선이 점 $A(6,8)$에서 만난다. 한 직선은 $y$축과 $P$에서, 다른 직선은 $Q$에서 만나며, 두 $y$절편의 합은 $0$이다. 삼각형 $\triangle APQ$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 두 직선은 모두 점 $A(6,8)$을 지난다; 두 직선은 서로 수직이다; $P$와 $Q$는 각 직선의 $y$절편이므로 둘 다 $y$축 위에 있다; $P$와 $Q$의 $y$좌표의 합은 $0$이다; 선택지: (A) $45$, (B) $48$, (C) $54$, (D) $60$, (E) $72$

구하는 것: 삼각형 $APQ$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 핵심은 절편의 높이라는 미지수에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 위쪽 절편을 $b$, 아래쪽 절편을 $-b$라고 부른다. "합이 0"이라는 조건이 이 짝을 그냥 알려 준 셈이다. 도구 #1(그림 그리기)로 말을 좌표평면 위의 점으로 옮기면 $A$에서의 직각이 눈에 보인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 두 조각으로 나눈다. 먼저 직각을 이용해 $b$를 정하고, 그다음 밑변과 높이로 넓이를 구한다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

점들을 좌표평면에 놓기

$A$를 $(6,8)$에 놓는다.
두 절편은 모두 $y$축 위에 있으므로 $(0,\text{높이})$ 꼴이다.
두 높이의 합이 $0$이므로 서로 반대 부호다.
위쪽을 $P=(0,b)$, 아래쪽을 $Q=(0,-b)$라고 하면 $P$와 $Q$는 원점을 기준으로 서로 대칭이다.

$$A=(6,8),\quad P=(0,b),\quad Q=(0,-b)$$

💡 합이 0인 두 수는 원점에서 같은 거리만큼 하나는 위로, 하나는 아래로 떨어져 있다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 2

세 변의 길이 적기

삼각형 $APQ$의 각 변을 두 점 사이의 거리로 나타낸다.
$A=(6,8)$에서 $P=(0,b)$까지는 가로 $6$, 세로 $8-b$이므로 $AP^2=6^2+(8-b)^2$이다.
$Q=(0,-b)$까지는 가로 $6$, 세로 $8+b$이므로 $AQ^2=6^2+(8+b)^2$이다.
변 $PQ$는 $y$축을 따라 $(0,b)$에서 $(0,-b)$까지 곧게 내려가므로 길이가 $2b$, 즉 $PQ^2=(2b)^2$이다.

$$AP^2=36+(8-b)^2,\quad AQ^2=36+(8+b)^2,\quad PQ^2=4b^2$$

💡 두 점 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이로 만든 작은 직각삼각형의 빗변이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

직각이 피타고라스를 준다

두 직선은 수직이고 $A$에서 만나므로 $A$에서의 각은 $90^\circ$이고 $PQ$가 직각삼각형의 빗변이다.
따라서 $AP^2+AQ^2=PQ^2$이다.
대입해서 전개하면 $36+(8-b)^2+36+(8+b)^2=4b^2$이 $72+(64-16b+b^2)+(64+16b+b^2)=4b^2$이 되고, $-16b$와 $+16b$가 상쇄된다.

$$AP^2+AQ^2=PQ^2\;\Rightarrow\;200+2b^2=4b^2$$

💡 직각은 세 변을 피타고라스 식으로 바꿔 주는 바로 그 조건이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

절편 구하기

$200+2b^2=4b^2$에서 양변에서 $2b^2$을 빼면 $200=2b^2$, 즉 $b^2=100$이고 $b=10$이다.
그러면 절편은 $P=(0,10)$, $Q=(0,-10)$이다.
($b=-10$을 택하면 $P$와 $Q$의 이름만 바뀔 뿐 같은 삼각형이 된다.)

$$200=2b^2\;\Rightarrow\;b^2=100\;\Rightarrow\;b=10$$

💡 $b^2$ 항을 한쪽으로 모으면 제곱근으로 풀 수 있는 간단한 식만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

넓이 계산하기

$PQ$를 밑변으로 잡는다.
$(0,10)$에서 $(0,-10)$까지이므로 길이는 $20$이다.
이에 대응하는 높이는 $A$가 이 밑변, 즉 $y$축에서 얼마나 떨어져 있는가인데, 바로 $A$의 $x$좌표인 $6$이다.
삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로 $\tfrac12\cdot 20\cdot 6=60$이다.
이것이 선택지 (D)이다.

$$\text{넓이}=\tfrac12\cdot PQ\cdot 6=\tfrac12\cdot 20\cdot 6=60\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 밑변이 $y$축에 평평하게 놓이면 높이는 그냥 꼭짓점 $A$가 옆으로 뻗은 거리다.

[1] #1 6.NS.C.8 $A$를 $(6,8)$에 놓는다. 두 절편은 모두 $y$축 위에 있으므로 $(0,\text{높이})$ 꼴이다. 두 높이의 합이 $0$이므로 서로

[2] #4 8.G.B.8 삼각형 $APQ$의 각 변을 두 점 사이의 거리로 나타낸다. $A=(6,8)$에서 $P=(0,b)$까지는 가로 $6$, 세로 $8-b$이므로 $

[3] #7 8.G.B.7 두 직선은 수직이고 $A$에서 만나므로 $A$에서의 각은 $90^\circ$이고 $PQ$가 직각삼각형의 빗변이다. 따라서 $AP^2+AQ^2=P

[4] #4 8.EE.C.7 $200+2b^2=4b^2$에서 양변에서 $2b^2$을 빼면 $200=2b^2$, 즉 $b^2=100$이고 $b=10$이다. 그러면 절편은 $P

[5] #7 6.G.A.1 $PQ$를 밑변으로 잡는다. $(0,10)$에서 $(0,-10)$까지이므로 길이는 $20$이다. 이에 대응하는 높이는 $A$가 이 밑변, 즉 $

검토

합리성 확인: 직각을 직접 확인해 본다. $P=(0,10)$, $Q=(0,-10)$일 때 직선 $AP$의 기울기는 $\frac{8-10}{6}=-\frac13$, 직선 $AQ$의 기울기는 $\frac{8+10}{6}=3$이다. 두 기울기의 곱이 $-\frac13\cdot 3=-1$이므로 두 직선은 실제로 수직이다. 밑변 $20$과 높이 $6$으로 넓이는 $60$, 곧 (D)이며 선택지 안에서 자연스러운 값이다.

대안 접근: 빗변의 중점을 쓰는 지름길이 있다. $P$와 $Q$가 서로 반대 부호이므로 $PQ$의 중점은 원점 $O$이다. 직각삼각형에서 직각인 꼭짓점부터 빗변의 중점까지의 거리는 빗변의 절반과 같으므로 $OA=OP=OQ$이다. 그런데 $OA=\sqrt{6^2+8^2}=10$이므로 빗변 $PQ=2\cdot 10=20$이다. 높이 $6$($A$의 $x$좌표)으로 넓이는 다시 $\tfrac12\cdot 20\cdot 6=60$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 네 사분면에 점을 좌표로 나타내어 실생활 문제 풀기 ($A=(6,8)$과 짝을 이루는 절편 $P=(0,b)$, $Q=(0,-b)$을 좌표평면에 놓기.)
8.G.B.8 피타고라스 정리로 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 구하기 ($A$, $P$, $Q$의 좌표로부터 $AP^2$, $AQ^2$, $PQ^2$을 적기.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지의 변의 길이 구하기 ($A$에서의 직각을 이용해 $AP^2+AQ^2=PQ^2$을 세우기.)
8.EE.C.7 일차방정식(일변수) 풀기 ($200+2b^2=4b^2$을 풀어 $b=10$ 구하기.)
6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (밑변 $PQ$와 높이 $6$으로 넓이 $\tfrac12\cdot 20\cdot 6=60$ 계산하기.)

⭐ 합이 0인 두 절편은 $y$축에 대칭으로 놓이고, $A$에서의 직각이 세 변을 피타고라스 식으로 바꿔 준다. 그다음 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누면 넓이가 나온다.