AMC 10 · 2014 · #14

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometryslope-interceptarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 수직인 두 직선이 점 A(6,8)에서 만난다. 한 직선은 y축과 P에서, 다른 직선은 Q에서 만나며, 두 y절편의 합은 0이다. 삼각형 △ APQ의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
45
(B)
48
(C)
54
(D)
60
(E)
72

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 문제의 핵심은 절편의 높이라는 미지수에 달려 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 위쪽 절편을 b, 아래쪽 절편을 -b라고 부른다. "합이 0"이라는 조건이 이 짝을 그냥 알려 준 셈이다. 도구 #1(그림 그리기)로 말을 좌표평면 위의 점으로 옮기면 A에서의 직각이 눈에 보인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 두 조각으로 나눈다. 먼저 직각을 이용해 b를 정하고, 그다음 밑변과 높이로 넓이를 구한다.

1STEP 1

점들을 좌표평면에 놓기

A=(6,8). 두 절편은 y축 위에 있고 합이 0이므로 서로 반대 부호다: P=(0,b), Q=(0,-b).

A=(6,8), P=(0,b), Q=(0,-b)
2STEP 2

세 변의 길이 적기

거리 공식으로 AP²=36+(8-b)², AQ²=36+(8+b)²이고, PQ는 y축을 따라 내려가므로 PQ²=(2b)²이다.

AP²=36+(8-b)², AQ²=36+(8+b)², PQ²=4b²
3STEP 3

직각이 피타고라스를 준다

A에서 직각이므로 AP²+AQ²=PQ². 전개하면 -16b와 +16b가 상쇄되어 200+2b²=4b²이 된다.

AP²+AQ²=PQ² → 200+2b²=4b²
4STEP 4

절편 구하기

양변에서 2b²을 빼면 200=2b², 즉 b²=100이고 b=10. 절편은 P=(0,10), Q=(0,-10)이다.

200=2b² → b²=100 → b=10
5STEP 5

넓이 계산하기

PQ=20을 밑변으로, 높이는 A의 x좌표 6이다. 20 곱하기 6의 절반이 넓이 60이다.

넓이=1/2 · PQ · 6=1/2 · 20 · 6=60 → (D)
정답
60
직각을 직접 확인해 본다. P=(0,10), Q=(0,-10)일 때 직선 AP의 기울기는 8−106=−13\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3}, 직선 AQ의 기울기는 8+106=3\frac{8+10}{6}=3이다. 두 기울기의 곱이 −13⋅3=−1-\frac{1}{3}\cdot 3=-1이므로 두 직선은 실제로 수직이다. 밑변 20과 높이 6으로 넓이는 60, 곧 (D)이며 선택지 안에서 자연스러운 값이다.
💡핵심 정리

합이 0인 두 절편은 y축에 대칭으로 놓이고, A에서의 직각이 세 변을 피타고라스 식으로 바꿔 준다. 그다음 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누면 넓이가 나온다.

  • 점들을 좌표평면에 놓기
  • 세 변의 길이 적기
  • 직각이 피타고라스를 준다
  • 절편 구하기
  • 넓이 계산하기

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