AMC 10 · 2014 · #15
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제의 핵심은 첫 1시간 뒤에 남은 거리이다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 그 남은 거리를 d라 두고 각 속도에서의 이동 시간을 쓴다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 속도를 바르게 다루게 해 준다. 마일을 시속(마일/시간)으로 나누면 시간이 되므로 d/35와 d/50은 비교할 수 있는 시간이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "1시간 늦음에서 30분 이름"이라는 말을 절약된 시간에 대한 하나의 식으로 바꾼다.
두 속도를 읽어내기
1시간에 35마일이니 시속 35마일, 여기에 15를 올려 남은 길은 시속 50마일로 달린다.
정확히 1시간에 35마일을 달린다는 것이 곧 "시속 35마일"이므로, 첫 1시간이 속도와 거리를 동시에 알려 준다.
6.RP.A.3Analyze The Units남은 거리에 이름 붙이기
첫 1시간 뒤 남은 거리를 d라 하면, 같은 d가 시속 35마일로는 d/35시간, 시속 50마일로는 d/50시간 걸린다.
남은 거리를 문자 하나로 두면 시간 = 거리 / 속도라는 규칙으로 두 이동 시간을 모두 쓸 수 있다.
6.EE.B.6Introduce A Variable시간 차이를 식으로 만들기
1시간 늦음이 30분 이름으로 바뀌니 1.5시간을 아낀 것, 곧 d/35-d/50=1.5이다.
늦음에서 이름으로 바뀌는 것은 결국 아낀 시간이므로, 두 이동 시간의 차이가 그 절약과 같다.
늦는 데서 이른 데로 바뀌는 것은 아낀 시간일 뿐이므로, 두 시간의 차가 그 아낀 만큼이다.
▸ 왜?
속도가 일정하면 각 이동 시간은 거리를 제 속도로 나눈 것이다.
▸ 왜?
두 시간 모두 같은 약속 시각에 견주어 재어지므로, 그 기준을 옮겨도 차이는 달라지지 않는다.
남은 거리 구하기
공통분모 350으로 맞추면 차는 3d/350이므로 3d/350=3/2에서 d=175마일이 남는다.
두 시간이 같은 분모를 가지면 식은 분수 하나 = 수 하나로 줄어들어 한 단계로 d가 풀린다.
6.EE.B.7Introduce A Variable첫 1시간 거리를 더하기
175는 첫 1시간 이후의 길일 뿐이니 처음 35마일을 더하면 35+175=210마일, 곧 (C)이다.
변수는 첫 1시간 이후의 길만 나타냈으므로 첫 1시간의 거리는 아직 더해 주어야 한다.
6.RP.A.3Analyze The Units늦음에서 이름으로 바뀌는 건 결국 아낀 시간이니, 남은 길이 각 속도에서 얼마나 걸리는지 견주어 남은 거리를 구한 뒤 첫 1시간의 거리를 다시 더하면 된다.
- 두 속도를 읽어내기
- 남은 거리에 이름 붙이기
- 시간 차이를 식으로 만들기
- 남은 거리 구하기
- 첫 1시간 거리를 더하기