AMC 10 · 2014 · #15

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

ratelinear-equations-one-var convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

데이비드는 비행기를 타기 위해 집에서 공항까지 운전해 간다. 그는 첫 한 시간 동안 $35$ 마일을 운전하지만, 이 속력을 유지하면 $1$ 시간 늦을 것임을 깨닫는다. 그는 공항까지 남은 거리 동안 속력을 시속 $15$ 마일 높였고 $30$ 분 일찍 도착한다. 공항은 그의 집에서 몇 마일 떨어져 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

140

(B)

175

(C)

210

(D)

245

(E)

280

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 데이비드는 첫 $1$시간 동안 $35$마일을 달린다. 이 속도를 유지하면 $1$시간 늦게 도착하므로, 남은 길에서는 속도를 시속 $15$마일 올린다. 그러자 $30$분 일찍 도착한다. 집에서 공항까지의 전체 거리를 구하여라.

주어진 것: 첫 $1$시간 동안 $35$마일을 달리므로 처음 속도는 시속 $35$마일이다; 시속 $35$마일을 계속 유지하면 $1$시간 늦게 도착한다; 남은 길에서는 속도를 시속 $15$마일 올려 시속 $50$마일로 달린다; 시속 $50$마일로 남은 길을 달리면 $30$분 일찍 도착한다; 선택지: (A) $140$, (B) $175$, (C) $210$, (D) $245$, (E) $280$

구하는 것: 집에서 공항까지의 전체 거리(마일)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

이 문제의 핵심은 첫 $1$시간 뒤에 남은 거리이다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 그 남은 거리를 $d$라 두고 각 속도에서의 이동 시간을 쓴다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 속도를 바르게 다루게 해 준다. 마일을 시속(마일/시간)으로 나누면 시간이 되므로 $d/35$와 $d/50$은 비교할 수 있는 시간이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "$1$시간 늦음에서 $30$분 이름"이라는 말을 절약된 시간에 대한 하나의 식으로 바꾼다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

두 속도를 읽어내기

첫 $1$시간 동안 $35$마일을 달리므로 처음 속도는 시속 $35$마일이다.
여기서 시속 $15$마일을 올리면 $35+15=50$, 곧 남은 길은 시속 $50$마일로 달린다.
첫 $1$시간의 $35$마일은 이미 지나갔고, 남은 거리만 시속 $50$마일로 달린다.

$$35+15=50\text{ mph}$$

💡 정확히 $1$시간에 $35$마일을 달린다는 것이 곧 "시속 $35$마일"이므로, 첫 $1$시간이 속도와 거리를 동시에 알려 준다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

남은 거리에 이름 붙이기

첫 $1$시간 뒤에 남은 거리를 $d$라 하자.
예전 속도 시속 $35$마일로 $d$를 달리면 $d/35$시간이 걸리고, 같은 $d$를 새 속도 시속 $50$마일로 달리면 $d/50$시간이 걸린다.
두 식은 같은 길을 속도만 달리하여 나타낸 것이다.

$$t_{35}=\dfrac{d}{35},\qquad t_{50}=\dfrac{d}{50}$$

💡 남은 거리를 문자 하나로 두면 시간 = 거리 / 속도라는 규칙으로 두 이동 시간을 모두 쓸 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

시간 차이를 식으로 만들기

시속 $35$마일이면 $1$시간 늦고, 시속 $50$마일이면 $30$분(반 시간) 이르다.
그러니 속도를 바꿔 남은 거리에서 $1+\tfrac12=1.5$시간을 아낀 것이다.
아낀 시간은 느린 시간에서 빠른 시간을 뺀 값이므로 식 $\dfrac{d}{35}-\dfrac{d}{50}=1.5$를 얻는다.

$$\dfrac{d}{35}-\dfrac{d}{50}=1.5$$

💡 늦음에서 이름으로 바뀌는 것은 결국 아낀 시간이므로, 두 이동 시간의 차이가 그 절약과 같다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

남은 거리 구하기

두 분수를 공통분모 $350$으로 맞추면 $\dfrac{d}{35}=\dfrac{10d}{350}$, $\dfrac{d}{50}=\dfrac{7d}{350}$이므로 차이는 $\dfrac{3d}{350}$이다.
$\dfrac{3d}{350}=1.5=\dfrac{3}{2}$로 두면 $d=350\cdot\dfrac{1}{2}=175$, 곧 첫 $1$시간 뒤에 남은 거리는 $175$마일이다.

$$\dfrac{3d}{350}=\dfrac{3}{2}\;\Rightarrow\;d=175$$

💡 두 시간이 같은 분모를 가지면 식은 분수 하나 = 수 하나로 줄어들어 한 단계로 $d$가 풀린다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

첫 $1$시간 거리를 더하기

$175$마일은 첫 $1$시간 이후의 거리일 뿐이다.
그 첫 $1$시간에 이미 달린 $35$마일을 더하면 전체 거리가 된다: $35+175=210$마일.
이는 선택지 (C)와 맞는다.
선택지 (B) $175$는 첫 $1$시간의 거리를 빠뜨린 함정이다.

$$35+175=210\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 변수는 첫 $1$시간 이후의 길만 나타냈으므로 첫 $1$시간의 거리는 아직 더해 주어야 한다.

[1] #8 6.RP.A.3 첫 $1$시간 동안 $35$마일을 달리므로 처음 속도는 시속 $35$마일이다. 여기서 시속 $15$마일을 올리면 $35+15=50$, 곧 남은

[2] #4 6.EE.B.6 첫 $1$시간 뒤에 남은 거리를 $d$라 하자. 예전 속도 시속 $35$마일로 $d$를 달리면 $d/35$시간이 걸리고, 같은 $d$를 새 속도

[3] #13 7.EE.B.4 시속 $35$마일이면 $1$시간 늦고, 시속 $50$마일이면 $30$분(반 시간) 이르다. 그러니 속도를 바꿔 남은 거리에서 $1+\tfrac1

[4] #4 6.EE.B.7 두 분수를 공통분모 $350$으로 맞추면 $\dfrac{d}{35}=\dfrac{10d}{350}$, $\dfrac{d}{50}=\dfrac{7

[5] #8 6.RP.A.3 $175$마일은 첫 $1$시간 이후의 거리일 뿐이다. 그 첫 $1$시간에 이미 달린 $35$마일을 더하면 전체 거리가 된다: $35+175=21

검토

합리성 확인: $210$을 곧바로 확인하자. 첫 $35$마일 뒤에 $175$마일이 남는다. 시속 $50$마일이면 $175/50=3.5$시간이 걸리므로 전체 여정은 $1+3.5=4.5$시간이다. 예전 시속 $35$마일이면 남은 거리는 $175/35=5$시간이 걸려 전체 $6$시간이 되고, $1$시간 늦다는 것은 출발 후 $5$시간이 정시임을 뜻한다. $4.5$시간에 도착하면 $5$시간보다 정확히 $0.5$시간 이른 것, 곧 $30$분 이르다. 문제와 완전히 맞으므로 (C)가 옳다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 대입해 본다. $210$의 경우: 남은 거리 $=175$, 느린 시간 $=175/35=5$시간, 빠른 시간 $=175/50=3.5$시간, 차이 $=1.5$시간으로 늦음에서 이름으로의 $1.5$시간 변화와 정확히 같다. $140$처럼 더 작은 값은 남은 거리가 $105$가 되어 차이가 $0.9$시간뿐이라 너무 작으므로, $210$만이 맞는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시속 $35$마일과 $50$마일을 비율(속도)로 읽고, 거리 = 속도 x 시간으로 거리와 이동 시간을 잇는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (남은 거리를 $d$로 두고 두 이동 시간 $d/35$와 $d/50$을 쓰는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ("$1$시간 늦음에서 $30$분 이름"을 식 $d/35 - d/50 = 1.5$로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($3d/350 = 3/2$를 풀어 $d = 175$를 구하는 데 사용.)

⭐ 늦음에서 이름으로 바뀌는 건 결국 아낀 시간이니, 남은 길이 각 속도에서 얼마나 걸리는지 견주어 남은 거리를 구한 뒤 첫 $1$시간의 거리를 다시 더하면 된다.