AMC 10 · 2014 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrysystems-of-equationsarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 ABCD 는 짧은 변 AB=1, 긴 변 BC=2 입니다. 점 E, F, G 는 각각 BC, CD, AD 의 중점이고, H 는 GE 의 중점입니다. 선분 GE, 꺾인 경로 A–F–B, 꺾인 경로 D–H–C 가 그려져 있습니다. 이 두 꺾인 경로로 둘러싸이고 위 꼭짓점이 H, 아래 꼭짓점이 F 인 색칠된 연(kite) 모양의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac1{12}$

(B)

$\dfrac{\sqrt3}{18}$

(C)

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

(D)

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

(E)

$\dfrac16$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 모든 점을 정확한 중점으로 못 박아 두었으니, 가장 깔끔한 수는 도구 #1(그림 그리기)를 좌표 격자로 끌어올리는 것입니다. 직사각형을 축 위에 올리면 모든 꼭짓점이 간단한 분수가 됩니다. 좌표가 생기면 도구 #4(변수 도입하기)가 연의 각 변을 직선의 식 y=mx+b 로 바꾸고, 두 옆 꼭짓점은 그 직선들이 짝지어 만나는 점일 뿐입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 마무리를 세 작은 단계로 나눕니다 — 만나는 점 찾기, 두 대각선 읽기, 곱하기. 색칠된 도형은 두 대각선이 각각 세로·가로 선분인 연이라서, 원도 삼각비도 닮음 추적도 필요 없이 격자가 무거운 일을 대신해 줍니다.

1STEP 1

그림을 좌표 위에 올리기

긴 변이 위로 가게 D=(0,0)으로 두면 A=(0,2), F=(1/2,0), G=(0,1), E=(1,1), H=(1/2,1).

D=(0,0), C=(1,0), B=(1,2), A=(0,2), E=(1,1), F=(1/2,0), G=(0,1), H=(1/2,1)

2STEP 2

네 개의 경계 직선 세우기

두 점이 연의 각 벽을 정합니다: AF 는 기울기 -4, DH 는 2, HC 는 -2, FB 는 4.

AF: y=2-4x, DH: y=2x, HC: y=2-2x, FB: y=4x-2

3STEP 3

두 옆 꼭짓점 찾기

AF=DH 를 풀면 왼쪽 꼭짓점 X=(1/3,2/3), HC=FB 를 풀면 오른쪽 꼭짓점 Y=(2/3,2/3).

X: 2-4x=2x→ x=1/3, X=(1/3,2/3); Y: 2-2x=4x-2→ x=2/3, Y=(2/3,2/3)

4STEP 4

두 대각선 읽어내기

H, F 는 x=1/2로 같아 대각선 HF 는 세로 길이 1, X, Y 는 y=2/3로 같아 대각선 XY 는 가로 길이 1/3.

HF: x=1/2, 길이=1-0=1; XY: y=2/3, 길이=2/3-1/3=1/3

5STEP 5

두 대각선 곱하기

두 대각선이 직각으로 만나므로 넓이는 그 곱의 절반, 1/2·1·1/3=1/6 곧 선택지 (E)입니다.

넓이=1/2 (HF)(XY)=1/2 · 1·1/3=1/6 → (E)

정답

1/6

네 꼭짓점 H(1/2,1), X(1/3,2/3), F(1/2,0), Y(2/3,2/3)에 신발끈 공식을 적용하면 1/2|{-1/3+1/3+1/3}|=1/6 으로 대각선 방법과 일치합니다. 직사각형 전체 넓이는 1×2=2 이므로 연은 그중 1/12 — 가운데에 끼인 작은 조각으로 그럴듯한 크기입니다. 또 연은 세로선 x=1/2에 대해 대칭이고(X 와 Y 가 서로 거울상), 그림 모습과 정확히 맞습니다.

💡핵심 정리

직각으로 이루어진 도형을 좌표 격자에 올리고 각 선분을 직선의 식으로 바꾸면, 지저분한 색칠 영역이 두 대각선 곱의 절반으로 넓이가 나오는 연 모양이 됩니다.

그림을 좌표 위에 올리기
네 개의 경계 직선 세우기
두 옆 꼭짓점 찾기
두 대각선 읽어내기
두 대각선 곱하기

그림을 좌표 위에 올리기

네 개의 경계 직선 세우기

두 옆 꼭짓점 찾기

두 대각선 읽어내기

두 대각선 곱하기

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