AMC 10 · 2014 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrysystems-of-equationsarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $AB=1$ , $BC=2$ 이고, 점 $E$ , $F$ , $G$ 는 각각 $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ , $\overline{AD}$ 의 중점이다. 점 $H$ 는 $\overline{GE}$ 의 중점이다. 색칠된 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac1{12}$

(B)

$\dfrac{\sqrt3}{18}$

(C)

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

(D)

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

(E)

$\dfrac16$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 는 짧은 변 $AB=1$, 긴 변 $BC=2$ 입니다. 점 $E$, $F$, $G$ 는 각각 $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{AD}$ 의 중점이고, $H$ 는 $\overline{GE}$ 의 중점입니다. 선분 $\overline{GE}$, 꺾인 경로 $A\text{–}F\text{–}B$, 꺾인 경로 $D\text{–}H\text{–}C$ 가 그려져 있습니다. 이 선분들이 가운데 근처에서 서로 만나 만드는 작은 색칠된 연(kite) 모양의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $AB=1$, $BC=2$ 인 직사각형 $ABCD$; $E$, $F$, $G$ 는 각각 $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{AD}$ 의 중점; $H$ 는 $\overline{GE}$ 의 중점; 그려진 선분: $\overline{GE}$, $\overline{AF}$, $\overline{FB}$, $\overline{DH}$, $\overline{HC}$; 색칠된 영역은 $\overline{AF}, \overline{FB}, \overline{DH}, \overline{HC}$ 로 둘러싸인 연 모양이며, 위 꼭짓점은 $H$, 아래 꼭짓점은 $F$; 선택지: (A) $\dfrac1{12}$, (B) $\dfrac{\sqrt3}{18}$, (C) $\dfrac{\sqrt2}{12}$, (D) $\dfrac{\sqrt3}{12}$, (E) $\dfrac16$

구하는 것: 색칠된 연 모양의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 모든 점을 정확한 중점으로 못 박아 두었으니, 가장 깔끔한 수는 도구 #1(그림 그리기)를 좌표 격자로 끌어올리는 것입니다. 직사각형을 축 위에 올리면 모든 꼭짓점이 간단한 분수가 됩니다. 좌표가 생기면 도구 #4(변수 도입하기)가 연의 각 변을 직선의 식 $y=mx+b$ 로 바꾸고, 두 옆 꼭짓점은 그 직선들이 짝지어 만나는 점일 뿐입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 마무리를 세 작은 단계로 나눕니다 — 만나는 점 찾기, 두 대각선 읽기, 곱하기. 색칠된 도형은 두 대각선이 각각 세로·가로 선분인 연이라서, 원도 삼각비도 닮음 추적도 필요 없이 격자가 무거운 일을 대신해 줍니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

그림을 좌표 위에 올리기

긴 변이 위로 가도록 $D$ 를 원점에 둡니다.
$AB=1$, $BC=2$ 이므로 $D=(0,0)$, $C=(1,0)$, $B=(1,2)$, $A=(0,2)$.
그러면 중점은 $E=(1,1)$ ($\overline{BC}$ 의 중점), $F=(\tfrac12,0)$ ($\overline{CD}$ 의 중점), $G=(0,1)$ ($\overline{AD}$ 의 중점), $H=(\tfrac12,1)$ ($\overline{GE}$ 의 중점).
색칠된 연의 위 꼭짓점은 $H$, 아래 꼭짓점은 $F$ 입니다.

$$D=(0,0),\; C=(1,0),\; B=(1,2),\; A=(0,2),\; E=(1,1),\; F=(\tfrac12,0),\; G=(0,1),\; H=(\tfrac12,1)$$

💡 직사각형은 변이 서로 수직이라, 꼭짓점과 중점이 힘들이지 않고 깔끔한 격자 분수 위에 놓입니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

네 개의 경계 직선 세우기

연은 네 선분으로 둘러싸여 있습니다.
각 선분에 대해 기울기 $=\dfrac{\text{세로 변화}}{\text{가로 변화}}$ 와 $y$ 절편을 쓰면: $(0,2)$ 와 $(\tfrac12,0)$ 을 지나는 $\overline{AF}$ 는 기울기 $-4$; $(0,0)$ 과 $(\tfrac12,1)$ 을 지나는 $\overline{DH}$ 는 기울기 $2$; $(\tfrac12,1)$ 과 $(1,0)$ 을 지나는 $\overline{HC}$ 는 기울기 $-2$; $(\tfrac12,0)$ 과 $(1,2)$ 를 지나는 $\overline{FB}$ 는 기울기 $4$.

$$AF:\, y=2-4x,\quad DH:\, y=2x,\quad HC:\, y=2-2x,\quad FB:\, y=4x-2$$

💡 두 점이 직선을 하나로 정하고, 기울기-절편 꼴은 각 벽을 곧바로 교점 낼 준비 상태로 만듭니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 3

두 옆 꼭짓점 찾기

왼쪽 꼭짓점 $X$ 는 $\overline{AF}$ 와 $\overline{DH}$ 가 만나는 곳, 오른쪽 꼭짓점 $Y$ 는 $\overline{HC}$ 와 $\overline{FB}$ 가 만나는 곳입니다.
각 짝의 식을 같다고 놓고 작은 연립방정식을 풉니다.

$$X:\ 2-4x=2x\Rightarrow x=\tfrac13,\ X=(\tfrac13,\tfrac23);\qquad Y:\ 2-2x=4x-2\Rightarrow x=\tfrac23,\ Y=(\tfrac23,\tfrac23)$$

💡 꼭짓점은 서로 교차하는 두 선분 위에 동시에 놓인 단 하나의 점이므로, 두 직선의 식을 일치시키면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 4

두 대각선 읽어내기

연의 네 꼭짓점은 $H=(\tfrac12,1)$, $X=(\tfrac13,\tfrac23)$, $F=(\tfrac12,0)$, $Y=(\tfrac23,\tfrac23)$.
대각선 $\overline{HF}$ 는 위와 아래를 잇고, 대각선 $\overline{XY}$ 는 양옆을 잇습니다.
$H$ 와 $F$ 는 $x=\tfrac12$ 로 같으니 $\overline{HF}$ 는 세로 방향, 길이 $1-0=1$.
$X$ 와 $Y$ 는 $y=\tfrac23$ 으로 같으니 $\overline{XY}$ 는 가로 방향, 길이 $\tfrac23-\tfrac13=\tfrac13$.

$$HF:\ x=\tfrac12,\ \text{길이}=1-0=1;\qquad XY:\ y=\tfrac23,\ \text{길이}=\tfrac23-\tfrac13=\tfrac13$$

💡 두 점이 한 좌표를 공유하면 그 거리는 다른 좌표의 차이일 뿐 — 제곱근이 필요 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

두 대각선 곱하기

한 대각선은 세로, 다른 하나는 가로라서 직각으로 만납니다.
즉 연의 두 대각선은 서로 수직입니다.
대각선을 따라 자르면 네 개의 직각삼각형이 되고, 그 넓이의 합은 $\tfrac12 \cdot d_1 \cdot d_2$.
따라서 색칠된 넓이는 $\tfrac12\cdot 1\cdot\tfrac13=\tfrac16$, 곧 선택지 (E) 입니다.

$$\text{넓이}=\tfrac12\,(HF)(XY)=\tfrac12\cdot 1\cdot\tfrac13=\tfrac16 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 대각선이 직각으로 만나는 사각형의 넓이는 언제나 두 대각선 곱의 절반입니다.

[1] #1 6.G.A.3 긴 변이 위로 가도록 $D$ 를 원점에 둡니다. $AB=1$, $BC=2$ 이므로 $D=(0,0)$, $C=(1,0)$, $B=(1,2)$, $

[2] #4 8.EE.B.6 연은 네 선분으로 둘러싸여 있습니다. 각 선분에 대해 기울기 $=\dfrac{\text{세로 변화}}{\text{가로 변화}}$ 와 $y$ 절편

[3] #4 8.EE.C.8 왼쪽 꼭짓점 $X$ 는 $\overline{AF}$ 와 $\overline{DH}$ 가 만나는 곳, 오른쪽 꼭짓점 $Y$ 는 $\overline

[4] #7 6.NS.C.8 연의 네 꼭짓점은 $H=(\tfrac12,1)$, $X=(\tfrac13,\tfrac23)$, $F=(\tfrac12,0)$, $Y=(\tfra

[5] #7 6.G.A.1 한 대각선은 세로, 다른 하나는 가로라서 직각으로 만납니다. 즉 연의 두 대각선은 서로 수직입니다. 대각선을 따라 자르면 네 개의 직각삼각형이

검토

합리성 확인: 네 꼭짓점 $H(\tfrac12,1), X(\tfrac13,\tfrac23), F(\tfrac12,0), Y(\tfrac23,\tfrac23)$ 에 신발끈 공식을 적용하면 $\tfrac12|{-\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13}|=\tfrac16$ 으로 대각선 방법과 일치합니다. 직사각형 전체 넓이는 $1\times2=2$ 이므로 연은 그중 $\tfrac1{12}$ — 가운데에 끼인 작은 조각으로 그럴듯한 크기입니다. 또 연은 세로선 $x=\tfrac12$ 에 대해 대칭이고($X$ 와 $Y$ 가 서로 거울상), 그림 모습과 정확히 맞습니다.

대안 접근: 대각선 공식을 건너뛰고 대칭을 씁니다. 세로 대각선 $\overline{HF}$ 의 길이는 $1$, 왼쪽 꼭짓점 $X$ 는 선 $x=\tfrac12$ 에서 가로로 $\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$ 떨어져 있습니다. 그러면 삼각형 $HFX$ 의 넓이는 $\tfrac12\cdot 1\cdot\tfrac16=\tfrac1{12}$, 거울상 삼각형 $HFY$ 를 더해 두 배 하면 $\tfrac16$. 연 공식 없이도 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 꼭짓점의 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리기 (직사각형 $ABCD$ 를 축 위에 올리고 모든 중점($E,F,G,H$)을 정확한 격자 분수로 찾는 데 사용.)
8.EE.B.6 닮은 삼각형으로 두 점 사이 기울기가 일정함을 설명하고 $y=mx+b$ 세우기 (연의 각 경계 선분을 두 끝점으로부터 기울기-절편 직선의 식 $y=mx+b$ 로 바꾸는 데 사용.)
8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립을 분석하고 풀기 (경계 직선 짝들의 교점으로 옆 꼭짓점 $X$ 와 $Y$ 를 구하는 데 사용.)
6.NS.C.8 좌표평면 위 점을 이용해 실생활·수학 문제 해결하기 (같은 좌표를 공유하는 점 사이 거리 포함) ($H,F$ 는 $x$ 값을, $X,Y$ 는 $y$ 값을 공유하므로 두 대각선의 길이를 좌표 차이로 재는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (연을 서로 수직인 두 대각선을 따라 직각삼각형으로 분해해 넓이 $\tfrac12 d_1 d_2$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 직각으로 이루어진 도형을 좌표 격자에 올리고 각 선분을 직선의 식으로 바꾸면, 지저분한 색칠 영역이 두 대각선 곱의 절반으로 넓이가 나오는 연 모양이 됩니다.