AMC 10 · 2014 · #18
학년 8 geometry-2d좌표평면 위의 한 정사각형의 꼭짓점들의 y좌표가 0, 1, 4, 5이다. 이 정사각형의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 좌표평면 위에 정사각형이 기울어진 채로 놓여 있고, 변은 가로도 세로도 아니다. 네 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$, $1$, $4$, $5$일 때 정사각형의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$, $1$, $4$, $5$이다; 네 점은 정사각형을 이룬다(네 변의 길이가 같고 네 각이 직각); 선택지: (A) $16$, (B) $17$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $27$
구하는 것: 정사각형의 넓이
이해
문제 재정리: 좌표평면 위에 정사각형이 기울어진 채로 놓여 있고, 변은 가로도 세로도 아니다. 네 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$, $1$, $4$, $5$일 때 정사각형의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$, $1$, $4$, $5$이다; 네 점은 정사각형을 이룬다(네 변의 길이가 같고 네 각이 직각); 선택지: (A) $16$, (B) $17$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $27$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
$x$좌표가 숨겨져 있으므로 각 변이 얼마나 위로 올라가는지(높이 변화)만 추적한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 변의 가로 이동과 세로 이동에 이름을 붙인다. 다음 변은 그 변을 $90^\circ$ 돌린 것이므로, 그 가로·세로 이동은 같은 두 수를 맞바꾼 값이다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 높이를 아래 꼭짓점·위 꼭짓점·양옆 꼭짓점으로 정리한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 먼저 두 높이 변화를 구하고, 그다음 그 값을 피타고라스 정리에 넣어 넓이를 구하도록 나눈다.
실행 — 정답: B
6.NS.C.8 단계 1 높이를 정렬해 꼭짓점 배치하기
- 네 $y$좌표를 정렬하면 $0<1<4<5$이다.
- 기울어진 정사각형에서 가장 낮은 꼭짓점은 $y=0$에, 그 대각선 반대편인 가장 높은 꼭짓점은 $y=5$에 있다.
- 남은 두 높이 $1$과 $4$는 아래 꼭짓점 양옆의 두 꼭짓점에 해당한다.
- 정사각형이 아래 꼭짓점 위에 마름모처럼 서 있다고 상상하면 된다.
💡 높이를 정렬하면 어느 꼭짓점이 가장 낮고 가장 높으며 양옆인지 바로 알 수 있다.
8.G.A.1 단계 2 각 변의 높이 변화에 이름 붙이기
- 아래 꼭짓점에서 출발한다.
- 한 변을 따라가면 높이가 $q$만큼 변하고, 다른 변(첫 변을 직각으로 돌린 변)을 따라가면 높이가 $p$만큼 변한다.
- 선분을 $90^\circ$ 돌리면 가로 변화와 세로 변화가 맞바뀌므로, 양옆 두 꼭짓점은 아래 꼭짓점보다 각각 $p$, $q$만큼 높고, 대각선 반대편 꼭짓점은 $p+q$만큼 높다.
💡 한 변을 직각으로 돌리면 가로로 간 거리와 세로로 간 거리가 서로 맞바뀐다.
6.EE.B.7 단계 3 높이 변화를 주어진 값과 맞추기
- 아래 꼭짓점 위의 세 꼭짓점 높이는 $p$, $q$, $p+q$이다.
- 이 값들은 남은 값 $1$, $4$, $5$와 같아야 한다.
- 가장 큰 $5$는 합이어야 하므로 $p+q=5$이고, 따라서 두 낱개 변화는 $\{p,q\}=\{1,4\}$가 된다(실제로 $1+4=5$).
💡 가장 높은 옆 꼭짓점은 대각선 꼭짓점이므로 작은 두 높이 변화를 더한 값과 같아야 한다.
8.G.B.7 단계 4 직각삼각형으로 넓이 구하기
- 정사각형의 한 변은 가로 이동 $1$과 세로 이동 $4$를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다.
- 피타고라스 정리에 의해 $s^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$이다.
- 정사각형의 넓이는 정확히 한 변의 제곱이므로 넓이는 $s^2 = 17$이다.
- 이것이 선택지 (B)이다.
- 함정인 $16$과 $25$는 한쪽 변만 제곱하고($4^2$ 또는 $5^2$) 다른 쪽을 빠뜨렸을 때 나온다.
💡 기울어진 변은 가로·세로 이동을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이고, 넓이는 그 빗변의 제곱이다.
6.NS.C.8 네 $y$좌표를 정렬하면 $0<1<4<5$이다. 기울어진 정사각형에서 가장 낮은 꼭짓점은 $y=0$에, 그 대각선 반대편인 가장 높은 꼭짓점은 8.G.A.1 아래 꼭짓점에서 출발한다. 한 변을 따라가면 높이가 $q$만큼 변하고, 다른 변(첫 변을 직각으로 돌린 변)을 따라가면 높이가 $p$만큼 변한다 6.EE.B.7 아래 꼭짓점 위의 세 꼭짓점 높이는 $p$, $q$, $p+q$이다. 이 값들은 남은 값 $1$, $4$, $5$와 같아야 한다. 가장 큰 $5 8.G.B.7 정사각형의 한 변은 가로 이동 $1$과 세로 이동 $4$를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다. 피타고라스 정리에 의해 $s^2 = 1^2 + 검토
합리성 확인: 정사각형 전체 높이가 $5$이므로 한 변의 길이는 $5$보다 조금 작다(기울어진 정사각형은 한 변보다 키가 크다). 한 변이 $5$에 조금 못 미치면 넓이는 $25$에 조금 못 미치는데, $17$이 여기에 잘 맞는다(제곱근이 약 $4.12$). $\{p,q\}=\{1,4\}$로 두 값이 다르므로 정사각형은 실제로 기울어져 있다. 선택지 $16$과 $25$는 각각 $4^2$, $5^2$처럼 한쪽 변만 쓴 실수이고, $17$은 피타고라스 계산을 온전히 해야 나온다.
대안 접근: 좌표를 직접 지정할 수도 있다. 아래 꼭짓점을 $(0,0)$에 두고, 서로 수직이며 길이가 같은 변 벡터 $(4,1)$과 $(-1,4)$를 택한다. 그러면 꼭짓점이 $(0,0)$, $(4,1)$, $(-1,4)$, $(3,5)$가 되어 $y$값이 $0,1,4,5$로 문제와 일치한다. 한 변의 제곱은 $4^2+1^2=17$이므로 넓이는 $17$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.8Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (네 꼭짓점을 좌표평면 위의 점으로 읽고 높이순으로 정렬해 아래·위·양옆 꼭짓점을 찾는 데 사용.)8.G.A.1Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (한 변을 $90^\circ$ 돌리면 가로·세로 이동이 맞바뀐다는 성질로 양옆 꼭짓점이 각각 $p$, $q$만큼 높아짐을 밝히는 데 사용.)6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (꼭짓점 높이를 $1$, $4$, $5$에 맞추고 $p+q=5$를 풀어 $\{p,q\}=\{1,4\}$를 얻는 데 사용.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (한 변의 제곱 $s^2 = 1^2 + 4^2 = 17$을 구하고 이것이 곧 넓이임을 아는 데 사용.)
⭐ 기울어진 정사각형은 한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 위로 올라가는 정도를 따라가라. 그 두 값이 직각삼각형의 두 변이고, 한 변의 제곱(넓이)은 두 변을 각각 제곱해 더한 값이다.
⭐ 기울어진 정사각형은 한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 위로 올라가는 정도를 따라가라. 그 두 값이 직각삼각형의 두 변이고, 한 변의 제곱(넓이)은 두 변을 각각 제곱해 더한 값이다.
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