AMC 10 · 2014 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrypythagorean-theorem convert-to-algebraspatial-visualization ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

좌표평면 위에 정사각형이 기울어진 채로 놓여 있고, 변은 가로도 세로도 아니다. 네 꼭짓점의 y좌표가 0, 1, 4, 5일 때 정사각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

x좌표가 숨겨져 있으므로 각 변이 얼마나 위로 올라가는지(높이 변화)만 추적한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 변의 가로 이동과 세로 이동에 이름을 붙인다. 다음 변은 그 변을 90° 돌린 것이므로, 그 가로·세로 이동은 같은 두 수를 맞바꾼 값이다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 높이를 아래 꼭짓점·위 꼭짓점·양옆 꼭짓점으로 정리한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 먼저 두 높이 변화를 구하고, 그다음 그 값을 피타고라스 정리에 넣어 넓이를 구하도록 나눈다.

1STEP 1

높이를 정렬해 꼭짓점 배치하기

높이를 정렬하면 0, 1, 4, 5다. 맨 아래 꼭짓점은 0, 대각선 반대편은 5, 양옆 두 꼭짓점은 1과 4다.

정렬한 높이: 0, 1, 4, 5

2STEP 2

각 변의 높이 변화에 이름 붙이기

아래 꼭짓점에서 한 변은 p, 다른 변은 q만큼 오르고, 90° 회전이 가로·세로를 맞바꾸므로 반대편은 p+q만큼 오른다.

아래 꼭짓점 기준 높이: p, q, p+q

3STEP 3

높이 변화를 주어진 값과 맞추기

위쪽 세 꼭짓점 높이 p, q, p+q가 1, 4, 5와 같으니 가장 큰 5가 합이므로 p+q=5, 따라서 {p,q}={1,4}.

p+q=5, {p,q}={1,4}

4STEP 4

직각삼각형으로 넓이 구하기

한 변은 가로 1, 세로 4인 직각삼각형의 빗변이므로 넓이는 s² = 1² + 4² = 17, 즉 (B)다.

s² = 1² + 4² = 17 → (B)

정답

정사각형 전체 높이가 5이므로 한 변의 길이는 5보다 조금 작다(기울어진 정사각형은 한 변보다 키가 크다). 한 변이 5에 조금 못 미치면 넓이는 25에 조금 못 미치는데, 17이 여기에 잘 맞는다(제곱근이 약 4.12). {p,q}={1,4}로 두 값이 다르므로 정사각형은 실제로 기울어져 있다. 선택지 16과 25는 각각 4², 5²처럼 한쪽 변만 쓴 실수이고, 17은 피타고라스 계산을 온전히 해야 나온다.

💡핵심 정리

기울어진 정사각형은 한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 위로 올라가는 정도를 따라가라. 그 두 값이 직각삼각형의 두 변이고, 한 변의 제곱(넓이)은 두 변을 각각 제곱해 더한 값이다.

높이를 정렬해 꼭짓점 배치하기
각 변의 높이 변화에 이름 붙이기
높이 변화를 주어진 값과 맞추기
직각삼각형으로 넓이 구하기

높이를 정렬해 꼭짓점 배치하기

각 변의 높이 변화에 이름 붙이기

높이 변화를 주어진 값과 맞추기

직각삼각형으로 넓이 구하기

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