AMC 10 · 2014 · #19

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometrysimilar-trianglespythagorean-theorem spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrysimilar-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

모서리 길이가 1, 2, 3, 4인 정육면체 네 개를 하나의 세로 모서리(기둥)를 공유하도록 계단 모양으로 쌓았다. X는 가장 작은 정육면체의 꼭대기 꼭짓점(기둥의 맨 위)이고, Y는 가장 큰 정육면체의 밑면에서 대각선 반대쪽 꼭짓점이다. 선분 XY 중에서 모서리가 3인 정육면체 안을 지나는 부분의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{3\sqrt{33}}5$

(B)

$2\sqrt3$

(C)

$\dfrac{2\sqrt{33}}3$

(D)

(E)

$3\sqrt2$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

그림이 입체 계단 모양이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이다. 숫자를 쓰기 전에 X, Y, 가운데 정육면체가 공간에서 어디에 있는지 먼저 머릿속에 그려야 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 심상을 xyz 좌표로 옮겨 길이를 계산 가능하게 만든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 과제를 두 조각으로 나눈다 — 먼저 XY 전체 길이, 그다음 모서리 3 정육면체 안의 조각. 도구 #4(변수 도입하기)는 XY 위의 점을 미끄러뜨려 어느 부분이 모서리 3 정육면체 높이에 걸치는지 정확히 보게 해 준다.

1STEP 1

좌표를 잡고 X와 Y 위치 정하기

공유 기둥을 z축에 두면 정육면체가 높이 0~~4, 4~~7, 7~~9, 9~~10을 채우고 X=(0,0,10), Y=(4,4,0)이다.

X=(0,0,10), Y=(4,4,0)

2STEP 2

XY 전체 길이 구하기

X에서 Y까지 x로 4, y로 4, 아래로 10 이동하므로 XY=√(4²+4²+10²)=√(132)=2√(33)이다.

XY=√(4²+4²+10²)=√(132)=2√(33)

3STEP 3

모서리 3 정육면체 높이에서 조각 떼어내기

모서리 3 정육면체는 낙하 10 중 3을 차지하고 x,y도 3 미만이므로 조각은 3/10·2√(33)=3√(33)/5이다.

3/10 · 2√(33)=3√(33)/5 (A)

정답

3√(33)/5

전체 선분은 2√(33)≈ 11.5이고, 모서리 3 정육면체는 탑 높이 10 중 3을 차지하므로 그 조각은 11.5의 삼분의 일보다 조금 작은 약 3.4여야 한다. 답 3√(33)/5≈ 3.45가 이와 맞는다. 또한 같은 기울어진 선에서 키가 큰 정육면체가 더 긴 조각을 잡으므로, 이 값이 모서리 1이나 2 조각보다 크고 모서리 4 조각보다 작은 것도 옳다. 바닥 범위 확인(x,y가 최대 2.4 ＜ 3)은 선분이 옆면으로 새지 않아 높이 구간 전체가 계산에 들어감을 확인해 준다.

💡핵심 정리

곧게 기울어진 선은 높이에 맞춰 길이를 잃으므로, 높이 10 중 3을 차지하는 정육면체는 선분의 정확히 3/10을 삼킨다: 3/10 · 2√(33)=3√(33)/5.

좌표를 잡고 X와 Y 위치 정하기
XY 전체 길이 구하기
모서리 3 정육면체 높이에서 조각 떼어내기

좌표를 잡고 X와 Y 위치 정하기

XY 전체 길이 구하기

모서리 3 정육면체 높이에서 조각 떼어내기

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