AMC 10 · 2014 · #19

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometrysimilar-trianglespythagorean-theorem spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrysimilar-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

모서리 길이가 각각 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 인 정육면체 네 개가 그림과 같이 쌓여 있다. $\overline{XY}$ 중에서 모서리 길이가 $3$ 인 정육면체 안에 포함된 부분의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{3\sqrt{33}}5$

(B)

$2\sqrt3$

(C)

$\dfrac{2\sqrt{33}}3$

(D)

(E)

$3\sqrt2$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모서리 길이가 $1$, $2$, $3$, $4$인 정육면체 네 개를 하나의 세로 모서리(기둥)를 공유하도록 계단 모양으로 쌓았다. $X$는 가장 작은 정육면체의 꼭대기 꼭짓점(기둥의 맨 위)이고, $Y$는 가장 큰 정육면체의 밑면에서 대각선 반대쪽 꼭짓점이다. 선분 $\overline{XY}$ 중에서 모서리가 $3$인 정육면체 안을 지나는 부분의 길이를 구하라.

주어진 것: 정육면체의 모서리 길이는 $1$, $2$, $3$, $4$이고, 작은 것이 위, 큰 것이 아래로 쌓여 있다; 네 정육면체는 하나의 공통 세로 모서리(기둥)를 공유하도록 정렬되어 있다; $X$는 기둥의 맨 위 꼭짓점, $Y$는 모서리 $4$인 정육면체 밑면의 대각선 반대쪽 꼭짓점이다; 선택지: (A) $\dfrac{3\sqrt{33}}{5}$, (B) $2\sqrt3$, (C) $\dfrac{2\sqrt{33}}{3}$, (D) $4$, (E) $3\sqrt2$

구하는 것: $\overline{XY}$ 중 모서리 $3$인 정육면체를 지나는 부분의 길이

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 입체 계단 모양이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이다. 숫자를 쓰기 전에 $X$, $Y$, 가운데 정육면체가 공간에서 어디에 있는지 먼저 머릿속에 그려야 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 심상을 $xyz$ 좌표로 옮겨 길이를 계산 가능하게 만든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 과제를 두 조각으로 나눈다 — 먼저 $\overline{XY}$ 전체 길이, 그다음 모서리 $3$ 정육면체 안의 조각. 도구 #4(변수 도입하기)는 $\overline{XY}$ 위의 점을 미끄러뜨려 어느 부분이 모서리 $3$ 정육면체 높이에 걸치는지 정확히 보게 해 준다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 6.NS.C.8 단계 1

좌표를 잡고 X와 Y 위치 정하기

공유하는 세로 기둥을 $z$축에 두고, 각 정육면체가 $x$, $y$ 방향으로 뻗어 나가게 한다.
큰 것을 아래에 쌓으면 모서리 $4$ 정육면체는 높이 $0$~$4$, 모서리 $3$은 $4$~$7$, 모서리 $2$는 $7$~$9$, 모서리 $1$은 $9$~$10$을 채운다.
따라서 기둥의 맨 위 $X$는 $(0,0,10)$, 모서리 $4$ 정육면체의 대각선 반대쪽 밑 꼭짓점 $Y$는 $(4,4,0)$이다.

$$X=(0,0,10),\qquad Y=(4,4,0)$$

💡 탑을 좌표축에 고정하면 "어느 꼭짓점"이라는 말이 잴 수 있는 정확한 숫자로 바뀐다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

XY 전체 길이 구하기

$X$에서 $Y$까지 점은 $x$ 방향으로 $4$, $y$ 방향으로 $4$ 움직이고 높이로 $10$ 내려간다.
수평 이동만 보면 모서리 $4$ 정육면체 밑면의 대각선인 $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$이다.
이 수평 이동과 $10$의 낙하를 3차원 피타고라스 정리로 합치면 전체 길이가 나온다.
$XY=\sqrt{(4\sqrt2)^2+10^2}=\sqrt{32+100}=\sqrt{132}=2\sqrt{33}$.

$$XY=\sqrt{4^2+4^2+10^2}=\sqrt{132}=2\sqrt{33}$$

💡 공간 속 직선 선분은 직각 상자의 대각선이므로, 세 방향 이동을 각각 제곱해 더하면 길이가 나온다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 3

모서리 3 정육면체 높이에서 조각 떼어내기

선분은 일정하게 내려가므로 길이는 낙하한 높이에 비례해서 늘어난다.
모서리 $3$ 정육면체는 높이 $4$~$7$, 즉 전체 낙하 $10$ 중 세로 폭 $3$을 차지한다.
그 구간은 선분의 $\tfrac{3}{10}$에 해당하므로 안쪽 조각은 $\tfrac{3}{10}\cdot 2\sqrt{33}=\tfrac{3\sqrt{33}}{5}$이다.
바닥 범위를 확인하면, 점이 이 구간을 지날 때 $x$, $y$가 $(1.2,1.2)$에서 $(2.4,2.4)$로 움직여 둘 다 $3$보다 작으므로 정말로 내내 모서리 $3$ 정육면체 안에 머문다.
길이는 $\dfrac{3\sqrt{33}}{5}$, 선택지 (A)이다.

$$\dfrac{3}{10}\cdot 2\sqrt{33}=\dfrac{3\sqrt{33}}{5}\ \textbf{(A)}$$

💡 직선의 길이와 낙하 높이가 일정한 비를 유지하므로, 높이 $10$ 중 $3$짜리 조각은 길이의 $\tfrac{3}{10}$이다.

[1] #17 6.NS.C.8 공유하는 세로 기둥을 $z$축에 두고, 각 정육면체가 $x$, $y$ 방향으로 뻗어 나가게 한다. 큰 것을 아래에 쌓으면 모서리 $4$ 정육면체

[2] #1 8.G.B.7 $X$에서 $Y$까지 점은 $x$ 방향으로 $4$, $y$ 방향으로 $4$ 움직이고 높이로 $10$ 내려간다. 수평 이동만 보면 모서리 $4$

[3] #4 7.RP.A.2 선분은 일정하게 내려가므로 길이는 낙하한 높이에 비례해서 늘어난다. 모서리 $3$ 정육면체는 높이 $4$~$7$, 즉 전체 낙하 $10$ 중 세

검토

합리성 확인: 전체 선분은 $2\sqrt{33}\approx 11.5$이고, 모서리 $3$ 정육면체는 탑 높이 $10$ 중 $3$을 차지하므로 그 조각은 $11.5$의 삼분의 일보다 조금 작은 약 $3.4$여야 한다. 답 $\tfrac{3\sqrt{33}}{5}\approx 3.45$가 이와 맞는다. 또한 같은 기울어진 선에서 키가 큰 정육면체가 더 긴 조각을 잡으므로, 이 값이 모서리 $1$이나 $2$ 조각보다 크고 모서리 $4$ 조각보다 작은 것도 옳다. 바닥 범위 확인($x,y$가 최대 $2.4<3$)은 선분이 옆면으로 새지 않아 높이 구간 전체가 계산에 들어감을 확인해 준다.

대안 접근: 비율 대신 선분을 $t$가 $0$에서 $1$까지 움직이는 $(4t,4t,10-10t)$로 매개변수화한다. 모서리 $3$ 정육면체의 높이 조건 $4\le 10-10t\le 7$은 $0.3\le t\le 0.6$을 주어 $t$ 구간 길이가 $0.3$이다. 전체 선분은 $t$가 길이 $1$만큼 움직이며 $2\sqrt{33}$을 재므로, 조각은 $0.3\cdot 2\sqrt{33}=\tfrac{3\sqrt{33}}{5}$로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 좌표평면에 점을 나타내어 실생활 및 수학 문제를 해결하기 (탑에 $xyz$ 좌표를 부여해 $X=(0,0,10)$, $Y=(4,4,0)$을 잴 수 있는 정확한 점으로 만들기.)
8.G.B.7 이차원 및 삼차원에서 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (수평 이동 $4\sqrt2$와 세로 낙하 $10$을 합쳐 전체 길이 $XY=2\sqrt{33}$ 구하기.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계를 인식하고 표현하기 (선분 길이가 낙하 높이에 비례함을 이용해 높이 $3$ 구간이 길이의 $\tfrac{3}{10}$을 차지함을 알아내기.)

⭐ 곧게 기울어진 선은 높이에 맞춰 길이를 잃으므로, 높이 $10$ 중 $3$을 차지하는 정육면체는 선분의 정확히 $\tfrac{3}{10}$을 삼킨다: $\tfrac{3}{10}\cdot 2\sqrt{33}=\tfrac{3\sqrt{33}}{5}$.