AMC 10 · 2014 · #2
학년 6 arithmetic로이의 고양이는 매일 아침 고양이 사료 한 캔의 31을 먹고, 매일 저녁 한 캔의 41을 먹는다. 월요일 아침에 고양이에게 먹이를 주기 전, 로이는 사료 6캔이 들어 있는 상자를 열었다. 고양이가 상자 안의 사료를 모두 먹어 치운 날은 무슨 요일인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 고양이가 아침마다 캔의 $\frac{1}{3}$ 을, 저녁마다 캔의 $\frac{1}{4}$ 을 먹습니다. 월요일 아침에 $6$ 캔이 든 상자를 새로 열었을 때, 마지막 사료를 다 먹는 요일을 구하세요.
주어진 것: 고양이는 아침마다 캔의 $\frac{1}{3}$ 을 먹음; 고양이는 저녁마다 캔의 $\frac{1}{4}$ 을 먹음; 상자에는 $6$ 캔이 가득 들어 있음; 첫 급식은 월요일 아침; 선택지: (A) 화요일, (B) 수요일, (C) 목요일, (D) 금요일, (E) 토요일
구하는 것: 상자가 비는 요일
이해
문제 재정리: 고양이가 아침마다 캔의 $\frac{1}{3}$ 을, 저녁마다 캔의 $\frac{1}{4}$ 을 먹습니다. 월요일 아침에 $6$ 캔이 든 상자를 새로 열었을 때, 마지막 사료를 다 먹는 요일을 구하세요.
주어진 것: 고양이는 아침마다 캔의 $\frac{1}{3}$ 을 먹음; 고양이는 저녁마다 캔의 $\frac{1}{4}$ 을 먹음; 상자에는 $6$ 캔이 가득 들어 있음; 첫 급식은 월요일 아침; 선택지: (A) 화요일, (B) 수요일, (C) 목요일, (D) 금요일, (E) 토요일
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기
이 문제는 비율 문제입니다: 사료가 하루에 일정한 양씩 줄어드므로, 도구 #8(단위 살펴보기)이 '캔'과 '하루당 캔'을 날짜 수로 바꿔 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 하루를 아침과 저녁 두 조각으로 나눠 하루치 양을 먼저 만듭니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 반복되는 $7$ 일 주기를 이용해 날짜 수를 실제 요일로 바꿉니다.
실행 — 정답: C
5.NF.A.1 단계 1 하루 먹는 양 합치기
- 먼저 아침과 저녁의 양을 더해 하루에 먹는 양을 구합니다.
- 분모 $3$ 과 $4$ 는 모두 $12$ 를 나누므로 각 분수를 $12$ 로 통분합니다: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$.
- 더하면 하루에 캔의 $\frac{7}{12}$ 입니다.
💡 하루의 두 급식은 결국 하나로 합친 급식이므로, 더해서 하루치 양 하나로 만듭니다.
6.NS.A.1 단계 2 캔을 날짜로 바꾸기
- 상자에 $6$ 캔이 있고 고양이는 하루에 캔의 $\frac{7}{12}$ 을 쓰므로, 날짜 수는 $6$ 을 $\frac{7}{12}$ 로 나눈 값입니다.
- 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것이므로 $6\times\frac{12}{7}=\frac{72}{7}=10\frac{2}{7}$ 입니다.
- 따라서 사료는 $10$ 일보다 조금 더 가지만 $11$ 일을 꽉 채우지는 못합니다.
💡 전체 양을 하루당 양으로 나누면 며칠 동안 이어지는지 알 수 있습니다.
5.NF.B.4 단계 3 10일 뒤 남은 양 보기
- $10$ 일을 온전히 지나면 고양이는 $10\times\frac{7}{12}=\frac{70}{12}=5\frac{5}{6}$ 캔을 먹었습니다.
- $6$ 캔에서 빼면 남은 사료는 $6-\frac{70}{12}=\frac{72}{12}-\frac{70}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ 캔입니다.
- 즉 $11$ 일째가 시작될 때 캔의 $\frac{1}{6}$ 이라는 적은 양이 남아 있습니다.
💡 이미 먹은 양을 가득 찬 상자에서 빼면 아직 남은 양이 보입니다.
4.NF.A.2 단계 4 11일째 아침에 다 먹기
- $11$ 일째 아침에 고양이는 캔의 $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ 을 먹으려 하지만 남은 것은 캔의 $\frac{2}{12}$ 뿐입니다.
- $\frac{2}{12}<\frac{4}{12}$ 이므로 그 아침에 남은 것을 모두 써 버려 상자는 $11$ 일째에 비게 됩니다(저녁 급식은 필요 없음).
💡 남은 양이 평소 한 번 먹는 양보다 적으면, 바로 그 급식에서 상자가 빕니다.
4.OA.C.5 단계 5 11일째를 요일로 바꾸기
- $1$ 일째는 월요일이고 요일은 $7$ 일마다 반복되므로 $8$ 일째는 다시 월요일입니다.
- 이어서 세면 $8$ 일째 월요일, $9$ 일째 화요일, $10$ 일째 수요일, $11$ 일째 목요일입니다.
- 상자는 $11$ 일째, 곧 목요일에 비므로 선택지 (C)입니다.
💡 일주일이 $7$ 일마다 반복되므로 꽉 찬 주는 빼고 월요일부터 남은 날만 셉니다.
5.NF.A.1 먼저 아침과 저녁의 양을 더해 하루에 먹는 양을 구합니다. 분모 $3$ 과 $4$ 는 모두 $12$ 를 나누므로 각 분수를 $12$ 로 통분합니 6.NS.A.1 상자에 $6$ 캔이 있고 고양이는 하루에 캔의 $\frac{7}{12}$ 을 쓰므로, 날짜 수는 $6$ 을 $\frac{7}{12}$ 로 나눈 5.NF.B.4 $10$ 일을 온전히 지나면 고양이는 $10\times\frac{7}{12}=\frac{70}{12}=5\frac{5}{6}$ 캔을 먹었습니다. 4.NF.A.2 $11$ 일째 아침에 고양이는 캔의 $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ 을 먹으려 하지만 남은 것은 캔의 $\frac{2}{12}$ 4.OA.C.5 $1$ 일째는 월요일이고 요일은 $7$ 일마다 반복되므로 $8$ 일째는 다시 월요일입니다. 이어서 세면 $8$ 일째 월요일, $9$ 일째 화요일 검토
합리성 확인: 어림값 $\frac{72}{7}\approx10.3$ 일이 이미 $10$ 일과 $11$ 일 사이를 가리키고, 남은 양 $\frac{1}{6}$ 캔이 사료가 $11$ 일째 저녁까지 가지 않고 $11$ 일째 이른 시각에 떨어짐을 확인해 줍니다. 월요일부터 $11$ 일을 세면 목요일에 닿아 선택지 (C)와 일치합니다.
대안 접근: 요일별 누적 합을 만듭니다: 월요일 뒤 $\frac{7}{12}$, 화요일 뒤 $\frac{14}{12}$, 이렇게 매일 $\frac{7}{12}$ 씩 더합니다. 이 합은 $11$ 일째(목요일)에 처음으로 $6=\frac{72}{12}$ 에 도달하거나 넘습니다. $10$ 일째 뒤 $\frac{70}{12}$ 은 아직 $6$ 미만이지만 다음 날 아침에 넘어서기 때문입니다. 같은 답, 목요일 (C)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ 을 더해 하루치 양 $\frac{7}{12}$ 을 구하는 데 사용.)6.NS.A.1분수의 나눗셈의 몫을 해석하고 계산한다 ($6$ 캔을 하루당 $\frac{7}{12}$ 캔으로 나눠 $\frac{72}{7}$ 일을 구하는 데 사용.)5.NF.B.4분수 또는 자연수에 분수를 곱한다 ($10\times\frac{7}{12}$ 을 계산하고 빼서 남은 $\frac{1}{6}$ 캔을 구하는 데 사용.)4.NF.A.2분자와 분모가 다른 두 분수를 비교한다 (남은 $\frac{2}{12}$ 가 아침 급식 $\frac{4}{12}$ 보다 적음을 확인하는 데 사용.)4.OA.C.5규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만들고 분석한다 (반복되는 $7$ 일 주기를 이용해 $11$ 일째를 목요일로 바꾸는 데 사용.)
⭐ 하루에 먹는 양을 합치고, 전체를 그 양으로 나눠 날짜 수를 구한 뒤, 그 날짜를 일주일 주기로 세면 정확한 요일에 닿습니다.
⭐ 하루에 먹는 양을 합치고, 전체를 그 양으로 나눠 날짜 수를 구한 뒤, 그 날짜를 일주일 주기로 세면 정확한 요일에 닿습니다.
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