AMC 10 · 2014 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

paper-foldingarea-trianglesarea-difference spatial-visualizationreflection-unfolding ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

어떤 직사각형은 세로(너비)보다 가로(길이)가 √3 배 길고 넓이는 A이다. 두 긴 변을 각각 삼등분하고, 한 긴 변의 첫 번째 분할점에서 맞은편 긴 변의 두 번째 분할점까지 곧은 접는 선을 긋는다. 이 선을 따라 종이를 납작하게 접으면 접힌 모양의 넓이는 B가 된다. 비 B/A를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{3}{5}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{3}{4}$

(E)

$\frac{4}{5}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

접는 선과 접기는 실제로 일어나는 공간적 동작이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이다. 숫자를 대기 전에 날개가 접는 선을 넘어 뒤집히는 모습을 먼저 그려 보아야 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 상상을 좌표로 바꿔 '모서리가 어디에 놓이는가'를 계산할 수 있게 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 B=A-겹친 부분임을 보고, 다음으로 겹친 부분을 잰다. 도구 #4(변수 도입하기)는 편한 세로 길이 1을 정해 모든 넓이를 구체적인 수로 만든다.

1STEP 1

세로를 정하고 좌표 놓기

세로를 1로 잡고 좌표축에 얹으면 가로는 √3, A=√3. 접는 선은 P=(√3/3,0)에서 Q=(2√3/3,1)까지.

A=√3, P=(√3/3,0), Q=(2√3/3,1)

2STEP 2

접기를 '넓이 빼기 겹친 부분'으로 바꾸기

접기는 거울이므로 B=A-겹친 부분. 접는 선 PQ는 D=(0,1)과 R=(√3,0)을 잇는 대각선의 수직이등분선이라 D가 R로 간다.

B=A-겹친 부분; 기울기_PQ·기울기_DR=√3·(-1/√3)=-1

3STEP 3

두 겹이 된 삼각형 재기

두 겹은 삼각형 PQR이고, 밑변 PR=2√3/3, 높이 1이므로 넓이는 √3/3이다.

[PQR]=1/2·2√3/3 · 1=√3/3

4STEP 4

B 대 A의 비 구하기

빼면 B=√3-√3/3=2√3/3이고, A=√3으로 나누면 근호가 약분되어 2/3, 즉 (C)이다.

B/A=(√3-√3/3)/√3=2√3/3/√3=2/3 (C)

정답

2/3

접기는 모서리 하나만 안쪽으로 접어 넣으므로 종이의 대부분이 아니라 적당한 조각만 없앤다. 따라서 1/2보다 넉넉히 크고 1보다 작은 비가 예상되며 2/3이 알맞다. 겹친 삼각형을 변으로 확인하면, 두 빗변 PQ와 QR은 각각 √((√3/3)²+1²)=2/√3=2√3/3이고 밑변 PR도 2√3/3이므로 삼각형 PQR은 정삼각형이다. 이는 60° 접는 선이 만들어 낼 대칭적인 모양과 정확히 일치하여 겹친 넓이 √3/3과 최종 2/3을 뒷받침한다.

💡핵심 정리

모서리를 접으면 겹치는 삼각형 하나가 가려질 뿐이고, 여기서 그 잃은 삼각형은 종이의 삼분의 일이므로 삼분의 이가 남는다: B/A=2/3.

세로를 정하고 좌표 놓기
접기를 '넓이 빼기 겹친 부분'으로 바꾸기
두 겹이 된 삼각형 재기
B 대 A의 비 구하기

세로를 정하고 좌표 놓기

접기를 '넓이 빼기 겹친 부분'으로 바꾸기

두 겹이 된 삼각형 재기

B 대 A의 비 구하기

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