AMC 10 · 2014 · #23
학년 8 geometry-2d긴 변의 길이가 짧은 변의 3배인 직사각형 종이의 넓이가 A이다. 이 종이를 마주 보는 두 긴 변을 따라 세 등분하고, 그림과 같이 한쪽의 첫 번째 분할선에서 반대쪽의 두 번째 분할선까지 점선을 긋는다. 그런 다음 이 점선을 따라 종이를 평평하게 접어 넓이가 B인 새로운 모양을 만든다. 비 AB는 얼마인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 직사각형은 세로(너비)보다 가로(길이)가 $\sqrt3$ 배 길고 넓이는 $A$이다. 두 긴 변을 각각 삼등분하고, 한 긴 변의 첫 번째 분할점에서 맞은편 긴 변의 두 번째 분할점까지 곧은 접는 선을 긋는다. 이 선을 따라 종이를 납작하게 접으면 접힌 모양의 넓이는 $B$가 된다. 비 $\frac{B}{A}$를 구하여라.
주어진 것: 직사각형의 가로는 세로의 $\sqrt3$ 배이고 넓이는 $A$이다.; 두 긴 변을 각각 세 개의 같은 조각으로 나눈다.; 접는 선은 한 긴 변의 첫 번째 분할점에서 맞은편 긴 변의 두 번째 분할점까지 이어진다.; 이 선을 따라 납작하게 접으면 넓이가 $B$인 새 모양이 만들어진다.; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{3}{5}$, (C) $\frac{2}{3}$, (D) $\frac{3}{4}$, (E) $\frac{4}{5}$.
구하는 것: 접힌 모양의 넓이와 처음 넓이의 비 $\frac{B}{A}$.
이해
문제 재정리: 어떤 직사각형은 세로(너비)보다 가로(길이)가 $\sqrt3$ 배 길고 넓이는 $A$이다. 두 긴 변을 각각 삼등분하고, 한 긴 변의 첫 번째 분할점에서 맞은편 긴 변의 두 번째 분할점까지 곧은 접는 선을 긋는다. 이 선을 따라 종이를 납작하게 접으면 접힌 모양의 넓이는 $B$가 된다. 비 $\frac{B}{A}$를 구하여라.
주어진 것: 직사각형의 가로는 세로의 $\sqrt3$ 배이고 넓이는 $A$이다.; 두 긴 변을 각각 세 개의 같은 조각으로 나눈다.; 접는 선은 한 긴 변의 첫 번째 분할점에서 맞은편 긴 변의 두 번째 분할점까지 이어진다.; 이 선을 따라 납작하게 접으면 넓이가 $B$인 새 모양이 만들어진다.; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{3}{5}$, (C) $\frac{2}{3}$, (D) $\frac{3}{4}$, (E) $\frac{4}{5}$.
계획
주요 도구: #17 공간 상상하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
접는 선과 접기는 실제로 일어나는 공간적 동작이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이다. 숫자를 대기 전에 날개가 접는 선을 넘어 뒤집히는 모습을 먼저 그려 보아야 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 상상을 좌표로 바꿔 '모서리가 어디에 놓이는가'를 계산할 수 있게 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 $B=A-\text{겹친 부분}$임을 보고, 다음으로 겹친 부분을 잰다. 도구 #4(변수 도입하기)는 편한 세로 길이 $1$을 정해 모든 넓이를 구체적인 수로 만든다.
실행 — 정답: C
6.NS.C.8 단계 1 세로를 정하고 좌표 놓기
- 비 $B/A$는 종이의 실제 크기에 무관하므로 세로를 $1$로 정한다.
- 그러면 가로는 $\sqrt3$, 넓이는 $A=\sqrt3\cdot 1=\sqrt3$이다.
- 종이의 네 꼭짓점을 $(0,0)$, $(\sqrt3,0)$, $(\sqrt3,1)$, $(0,1)$에 놓는다.
- 아래위 긴 변의 길이는 $\sqrt3$이므로 분할점은 $x=\tfrac{\sqrt3}{3}$과 $x=\tfrac{2\sqrt3}{3}$에 있다.
- 접는 선은 아래쪽 첫 분할점 $P=\left(\tfrac{\sqrt3}{3},0\right)$에서 위쪽 둘째 분할점 $Q=\left(\tfrac{2\sqrt3}{3},1\right)$까지 이어진다.
💡 세로를 $1$로 잡고 그림을 좌표축에 얹으면 모든 꼭짓점과 접는 선이 잴 수 있는 정확한 수가 된다.
8.G.A.1 단계 2 접기를 '넓이 빼기 겹친 부분'으로 바꾸기
- 접는 선을 따라 접으면 한쪽 날개가 반대쪽으로 반사된다.
- 반사는 종이를 늘이지 않으므로 종이 전체 넓이는 여전히 $\sqrt3$이다.
- 그러나 날개가 종이 위에 얹히고, 두 겹이 쌓인 곳은 겉모양에 새로 더해 주는 것이 없다.
- 따라서 접힌 넓이는 전체 넓이에서 두 겹이 된 부분을 뺀 값이다: $B=A-\text{겹친 부분}$.
- 그 부분을 찾으려면 접힌 모서리가 어디에 놓이는지 보면 된다.
- 접는 선은 왼쪽 위 꼭짓점 $D=(0,1)$과 오른쪽 아래 꼭짓점 $R=(\sqrt3,0)$을 잇는 대각선의 수직이등분선이다.
- 접는 선 $PQ$와 그 대각선은 중점 $\left(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\right)$을 공유하고, 기울기 $\sqrt3$과 $-\tfrac{1}{\sqrt3}$의 곱이 $-1$이기 때문이다.
- 그러므로 $DR$의 수직이등분선에 대한 반사는 $D$를 정확히 $R$로 보낸다.
💡 접는 선은 거울선이고, 두 꼭짓점을 수직이등분하는 거울선은 그 둘을 서로 맞바꾼다.
6.G.A.1 단계 3 두 겹이 된 삼각형 재기
- 겹친 부분은 날개가 내려앉을 때 덮는 영역이다.
- 빗변은 접는 선 $PQ$이고, 접힌 위쪽 변 $QD$는 $QR$ 위로 내려오며, 아래 변이 $R$에서 $P$까지 모양을 닫는다.
- 따라서 두 겹은 $P=\left(\tfrac{\sqrt3}{3},0\right)$, $Q=\left(\tfrac{2\sqrt3}{3},1\right)$, $R=(\sqrt3,0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PQR$이다.
- 밑변 $PR$는 아래 변 위에 놓여 길이가 $\sqrt3-\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac{2\sqrt3}{3}$이고, 꼭짓점 $Q$는 높이 $1$에 있다.
- 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 반이다: $\tfrac12\cdot\tfrac{2\sqrt3}{3}\cdot 1=\tfrac{\sqrt3}{3}$.
💡 겹친 부분이 아래 변에 놓인 평범한 삼각형임을 알면 밑변 곱하기 높이 나누기 $2$로 끝난다.
6.RP.A.1 단계 4 B 대 A의 비 구하기
- 전체 넓이에서 겹친 부분을 뺀다: $B=\sqrt3-\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac{2\sqrt3}{3}$.
- 이를 $A=\sqrt3$으로 나누면 공통의 $\sqrt3$이 약분된다: $\dfrac{B}{A}=\dfrac{2\sqrt3/3}{\sqrt3}=\dfrac{2}{3}$.
- 비는 $\tfrac{2}{3}$이고, 이것은 선택지 (C)이다.
💡 두 넓이가 같은 $\sqrt3$을 품고 있으므로 그 복잡한 근호가 약분되고 깔끔한 비만 남는다.
6.NS.C.8 비 $B/A$는 종이의 실제 크기에 무관하므로 세로를 $1$로 정한다. 그러면 가로는 $\sqrt3$, 넓이는 $A=\sqrt3\cdot 1=\ 8.G.A.1 접는 선을 따라 접으면 한쪽 날개가 반대쪽으로 반사된다. 반사는 종이를 늘이지 않으므로 종이 전체 넓이는 여전히 $\sqrt3$이다. 그러나 날 6.G.A.1 겹친 부분은 날개가 내려앉을 때 덮는 영역이다. 빗변은 접는 선 $PQ$이고, 접힌 위쪽 변 $QD$는 $QR$ 위로 내려오며, 아래 변이 $R 6.RP.A.1 전체 넓이에서 겹친 부분을 뺀다: $B=\sqrt3-\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac{2\sqrt3}{3}$. 이를 $A=\sqrt3 검토
합리성 확인: 접기는 모서리 하나만 안쪽으로 접어 넣으므로 종이의 대부분이 아니라 적당한 조각만 없앤다. 따라서 $\tfrac12$보다 넉넉히 크고 $1$보다 작은 비가 예상되며 $\tfrac23$이 알맞다. 겹친 삼각형을 변으로 확인하면, 두 빗변 $PQ$와 $QR$은 각각 $\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt3}{3}\right)^2+1^2}=\tfrac{2}{\sqrt3}=\tfrac{2\sqrt3}{3}$이고 밑변 $PR$도 $\tfrac{2\sqrt3}{3}$이므로 삼각형 $PQR$은 정삼각형이다. 이는 $60^\circ$ 접는 선이 만들어 낼 대칭적인 모양과 정확히 일치하여 겹친 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{3}$과 최종 $\tfrac23$을 뒷받침한다.
대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 정삼각형을 바로 이용할 수도 있다. 접는 선의 길이는 $\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt3}{3}\right)^2+1^2}=\tfrac{2}{\sqrt3}$이므로 두 겹이 되는 조각은 그 변을 가진 정삼각형이고 넓이는 $\tfrac{\sqrt3}{4}\left(\tfrac{2}{\sqrt3}\right)^2=\tfrac{\sqrt3}{3}$이다. 직사각형의 넓이 $\sqrt3$은 이 삼각형 정확히 세 개분이며, 접으면 한 개가 두 번째 겹 아래에 묻혀 두 개만 보이므로 $\tfrac{B}{A}=\tfrac{2}{3}$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.8Solve real-world and mathematical problems by graphing points in all four quadrants of the coordinate plane (종이와 접는 선을 좌표축에 놓아 꼭짓점 $P$, $Q$, $D$, $R$을 정확한 점으로 만들어 거리를 재는 데 사용.)8.G.A.1Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations (접기를 넓이를 보존하고 왼쪽 위 꼭짓점 $D$를 오른쪽 아래 꼭짓점 $R$로 보내는 반사로 다루는 데 사용.)6.G.A.1Find the area of right triangles, other triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing into rectangles or decomposing into triangles (두 겹이 된 삼각형 $PQR$을 밑변 곱하기 높이의 반으로 계산하여 $\tfrac{\sqrt3}{3}$을 얻는 데 사용.)6.RP.A.1Understand the concept of a ratio and use ratio language to describe a relationship between two quantities (최종 비 $B/A$를 세우고 $\tfrac{2}{3}$으로 정리하는 데 사용.)
⭐ 모서리를 접으면 겹치는 삼각형 하나가 가려질 뿐이고, 여기서 그 잃은 삼각형은 종이의 삼분의 일이므로 삼분의 이가 남는다: $B/A=\tfrac{2}{3}$.
⭐ 모서리를 접으면 겹치는 삼각형 하나가 가려질 뿐이고, 여기서 그 잃은 삼각형은 종이의 삼분의 일이므로 삼분의 이가 남는다: $B/A=\tfrac{2}{3}$.
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