AMC 10 · 2014 · #6

학년 7 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

rateratio-proportion dimensional-analysisconvert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

소 $a$ 마리가 $c$ 일 동안 우유 $b$ 갤런을 생산한다고 하자. 이 비율로, 소 $d$ 마리는 $e$ 일 동안 우유 몇 갤런을 생산하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{bde}{ac}$

(B)

$\frac{ac}{bde}$

(C)

$\frac{abde}{c}$

(D)

$\frac{bcde}{a}$

(E)

$\frac{abc}{de}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 소 $a$마리가 함께 $c$일 동안 우유 $b$갤런을 만듭니다. 모든 소가 같은 일정한 속도로 계속 우유를 만든다고 할 때, 소 $d$마리가 $e$일 동안 만드는 우유가 몇 갤런인지 식으로 나타내세요.

주어진 것: 소 $a$마리가 $c$일 동안 $b$갤런을 만든다; 모든 소가 같은 일정한 속도로 우유를 만든다; 보기: (A) $\frac{bde}{ac}$, (B) $\frac{ac}{bde}$, (C) $\frac{abde}{c}$, (D) $\frac{bcde}{a}$, (E) $\frac{abc}{de}$

구하는 것: 소 $d$마리가 $e$일 동안 만드는 갤런 수를 $a,b,c,d,e$로 나타낸 식

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

"이 속도로"라는 말이 도구 #8의 신호예요: 단위를 따라가라는 뜻이죠. 우유는 갤런으로 재지만, 변하지 않고 일정한 것은 소 한 마리가 하루에 만드는 갤런, 즉 '갤런/(소·일)'입니다. 주어진 정보를 이 하나의 단위 비율로 줄여 놓으면, 나머지는 새로운 소의 수와 새로운 날 수를 다시 곱하기만 하면 돼요. 도구 #4는 다섯 개의 문자를 헷갈리지 않게 도와줍니다 — 각 문자를 자리표로 보고 식을 한 조각씩 쌓습니다. 도구 #9는 안전장치예요: 문자가 미끄럽게 느껴지면 쉬운 수로 바꿔 구체적인 문제를 풀고, 그 답을 식이 그대로 내는지 확인합니다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 1

소 한 마리의 하루 생산량 구하기

$b$갤런은 소 $a$마리가 $c$일 동안 일해서 만든 것이므로, 일이 $a\times c$ 소-일에 걸쳐 퍼져 있어요.
갤런을 이 소-일 수로 나누면 소 한 마리가 하루에 만드는 비율이 나옵니다.

$$\text{비율} = \dfrac{b \text{ 갤런}}{a\text{ 마리}\times c\text{ 일}} = \dfrac{b}{ac}\ \text{갤런/(소·일)}$$

💡 소-일당 하나의 일정한 비율이 모든 형태의 질문이 공유하는 숨은 상수예요.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.1 단계 2

새로운 무리와 날 수로 키우기

이제 같은 비율을 새로운 상황에 적용합니다.
$d$마리 소가 각각 하루에 $\frac{b}{ac}$갤런을 만들고 $e$일 동안 일하므로, 비율에 소 $d$마리와 날 $e$일을 곱합니다.

$$\dfrac{b}{ac}\times d \times e = \dfrac{bde}{ac}\ \text{갤런}$$

💡 소가 더 많아도 날이 더 많아도 생산량이 각각 곱해지므로, 두 새 숫자는 모두 분자에 올라갑니다.

#8 단위 살펴보기 6.EE.A.2 단계 3

단위를 확인하고 보기 맞추기

단위가 설정을 확인해 줍니다: $\frac{\text{갤런}}{\text{소}\cdot\text{일}}\times\text{소}\times\text{일}$은 갤런으로 약분되는데, 이것이 바로 문제가 묻는 것이에요.
식 $\frac{bde}{ac}$는 보기 (A)와 일치합니다.

$$\dfrac{\text{갤런}}{\text{소}\cdot\text{일}}\cdot\text{소}\cdot\text{일}=\text{갤런}\ \Rightarrow\ \dfrac{bde}{ac}\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 남는 단위가 갤런이면 식이 제대로 세워진 거예요.

[1] #8 6.RP.A.2 $b$갤런은 소 $a$마리가 $c$일 동안 일해서 만든 것이므로, 일이 $a\times c$ 소-일에 걸쳐 퍼져 있어요. 갤런을 이 소-일 수로

[2] #8 7.RP.A.1 이제 같은 비율을 새로운 상황에 적용합니다. $d$마리 소가 각각 하루에 $\frac{b}{ac}$갤런을 만들고 $e$일 동안 일하므로, 비율에

[3] #8 6.EE.A.2 단위가 설정을 확인해 줍니다: $\frac{\text{갤런}}{\text{소}\cdot\text{일}}\times\text{소}\times\te

검토

합리성 확인: 답의 모양을 점검해 봅시다: 소($d$)가 많아지거나 날($e$)이 많아지면 우유가 더 나와야 하는데, 둘 다 분자에 있으니 커지면 양도 커집니다 — 맞아요. 처음의 소 $a$와 날 $c$는 분모에 있는데, 이것도 옳습니다. 원래 $a$마리가 같은 $b$갤런을 만드는 데 더 많은 날 $c$가 필요했다면 각 소가 더 느린 것이므로 생산량은 줄어야 하니까요. $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6$을 넣어 보면 비율은 소-일당 $\frac{3}{8}$갤런이고, 소 $5$마리가 $6$일 동안 $\frac{3}{8}\times5\times6=\frac{90}{8}=11.25$갤런을 만듭니다. 식 $\frac{bde}{ac}=\frac{90}{8}$과 일치합니다. 답은 (A)입니다.

대안 접근: 단위 비율 대신 도구 #9로 구체적인 수를 씁니다. $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6$으로 두면 이야기가 이렇게 됩니다: "소 2마리가 4일 동안 3갤런을 만든다; 소 5마리는 6일 동안 얼마를 만들까?" 소 2마리는 하루에 $\frac{3}{4}$갤런을 만드니 한 마리는 하루에 $\frac{3}{8}$갤런, 다섯 마리는 하루에 $\frac{15}{8}$갤런, 6일이면 $\frac{90}{8}=11.25$갤런입니다. 이 수들로 각 보기를 검사하면 (A)만 $\frac{90}{8}$을 내고 — 나머지는 $\frac{8}{90}$, $45$, $180$, $0.8$ — 그래서 (A)가 유일한 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.2 단위 비율(unit rate)의 개념을 이해하고 비율 언어 사용하기 (주어진 정보를 소가 하루에 만드는 갤런이라는 하나의 단위 비율로 줄이는 데 사용.)
7.RP.A.1 분수의 비에 대한 단위 비율 계산하기 (분수 비율 $\frac{b}{ac}$을 다루고 두 개의 독립된 인자(소 $d$마리, 날 $e$일)로 키우는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (다섯 개의 문자 양으로부터 문자식 답 $\frac{bde}{ac}$을 세우고 읽는 데 사용.)

⭐ "이 속도로" 문제는 무엇이든 하나의 단위(소 한 마리, 하루)로 줄여 그 비율 하나를 찾은 뒤, 새로운 양들로 다시 곱하면 됩니다.