AMC 10 · 2014 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

logical-deductionsign-analysis guess-and-checkcasework ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$0$ 이 아닌 실수 $x$ , $y$ , $a$ , $b$ 가 $x < a$ 와 $y < b$ 를 만족한다. 다음 부등식 중 반드시 참인 것은 몇 개인가?

$\textbf{(I)}\ x+y < a+b\qquad$

$\textbf{(II)}\ x-y < a-b\qquad$

$\textbf{(III)}\ xy < ab\qquad$

$\textbf{(IV)}\ \frac{x}{y} < \frac{a}{b}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 0이 아닌 네 실수 $x$, $y$, $a$, $b$가 $x < a$와 $y < b$를 만족한다. 네 부등식 $x+y<a+b$, $x-y<a-b$, $xy<ab$, $\frac{x}{y}<\frac{a}{b}$ 중에서, 두 조건을 만족하는 모든 경우에 대해 반드시 성립하는 것이 몇 개인지 구한다.

주어진 것: $x$, $y$, $a$, $b$는 모두 0이 아닌 실수; $x < a$; $y < b$; 네 후보 부등식: (I) $x+y<a+b$, (II) $x-y<a-b$, (III) $xy<ab$, (IV) $\frac{x}{y}<\frac{a}{b}$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 조건을 만족하는 모든 값에 대해 반드시 참인 부등식의 개수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

어떤 부등식이 반드시 성립하는지를 묻는 문제다. 할 일은 두 가지다. 하나가 항상 참임을 보이려면 문자 그대로 일반적으로 따진다(도구 #4). 주어진 두 부등식을 더하면 합에 대한 부등식이 어떤 값에서도 자동으로 나온다. 반대로 부등식을 무너뜨리려면 반례 하나면 충분하므로 도구 #6(추측하고 확인하기)이 주력이다. $x<a$, $y<b$를 지키는 구체적인 수를 하나 골라 어떤 후보가 깨지는지 관찰한다. 음수를 고르는 것이 영리한 선택인데, 음수야말로 뺄셈·곱셈·나눗셈의 대소를 뒤집기 때문이다. 잘 고른 반례 하나가 네 개 중 세 개를 한 번에 무너뜨린다. 그다음 도구 #3으로 살아남은 것을 센다. 항상 참인 것이 하나뿐이므로 개수는 $1$이다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 1

(I)이 항상 성립함을 증명

같은 방향을 가리키는 부등식끼리는 더할 수 있다.
$x<a$이고 $y<b$이므로 왼쪽은 왼쪽끼리, 오른쪽은 오른쪽끼리 더한다.
방향이 그대로 유지되므로 합 부등식은 어떤 수에서도 참이다.

$$x<a \;\text{이고}\; y<b \;\Rightarrow\; x+y < a+b$$

💡 왼쪽의 각 조각이 오른쪽 짝보다 작으면, 두 왼쪽 조각을 합친 것도 두 오른쪽 조각을 합친 것보다 작다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.7 단계 2

반례 하나 고르기

나머지 셋은 실패하는 예 하나면 충분하다.
두 조건을 만족하는 음수를 고르자.
$x=-3$, $a=-1$($-3<-1$), $y=-4$, $b=-2$($-4<-2$).
넷 다 0이 아니고, $x<a$와 $y<b$가 모두 성립한다.

$$x=-3,\; a=-1,\; y=-4,\; b=-2 \;\Rightarrow\; x<a,\; y<b \;\checkmark$$

💡 수직선에서 $-3$은 $-1$의 왼쪽, $-4$는 $-2$의 왼쪽에 있으므로 이 값들은 실제로 검사해도 되는 정당한 경우다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.1 단계 3

(II) 검사: 뺄셈

선택한 값으로 $x-y<a-b$의 양변을 계산한다.
음수를 빼면 더하는 것이 된다.
양변이 같게 나오므로 엄격한 부등식은 성립하지 않는다.

$$x-y = -3-(-4) = 1,\quad a-b = -1-(-2) = 1,\quad 1 < 1 \text{은 거짓}$$

💡 $y<b$를 빼려고 뒤집으면 그 부등식의 방향이 반대가 되어, 차들이 더 이상 안전하게 정렬되지 않는다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.2 단계 4

(III) 검사: 곱셈

$xy<ab$의 양변을 계산한다.
음수 곱하기 음수는 양수이고, 더 음수인 인수들이 더 큰 곱을 만들므로 왼쪽이 작기는커녕 더 커진다.

$$xy = (-3)(-4) = 12,\quad ab = (-1)(-2) = 2,\quad 12 < 2 \text{는 거짓}$$

💡 더 작은(더 음수인) 두 수가 더 큰 양수를 만들므로, "입력이 작다"가 "곱이 작다"를 뜻하지 않는다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.2 단계 5

(IV) 검사: 나눗셈

$\frac{x}{y}<\frac{a}{b}$의 양변을 계산한다.
음수 나누기 음수는 양수다.
왼쪽 몫이 더 크므로 이 부등식도 깨진다.

$$\frac{x}{y} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4},\quad \frac{a}{b} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2},\quad \frac{3}{4} < \frac{1}{2} \text{은 거짓}$$

💡 두 음수를 나누면 부호가 상쇄되고, 크기 비율에 따라 "더 작은" 쌍이 위로 올라올 수 있다.

#3 가능성 지우기 7.EE.B.4 단계 6

살아남은 것 세기

반드시 성립하는 것은 (I) 하나뿐이다.
단 하나의 검사값이 (II), (III), (IV)를 한꺼번에 깨뜨린다.
따라서 반드시 참인 부등식은 정확히 하나다.

$$\text{항상 참: (I)만} \;\Rightarrow\; 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 같은 방향의 부등식을 더하는 것만이 항상 안전하고, 빼기·곱하기·나누기는 음수에서 모두 뒤집힐 수 있다.

[1] #4 7.EE.B.4 같은 방향을 가리키는 부등식끼리는 더할 수 있다. $x<a$이고 $y<b$이므로 왼쪽은 왼쪽끼리, 오른쪽은 오른쪽끼리 더한다. 방향이 그대로 유

[2] #6 6.NS.C.7 나머지 셋은 실패하는 예 하나면 충분하다. 두 조건을 만족하는 음수를 고르자. $x=-3$, $a=-1$($-3<-1$), $y=-4$, $b=

[3] #6 7.NS.A.1 선택한 값으로 $x-y<a-b$의 양변을 계산한다. 음수를 빼면 더하는 것이 된다. 양변이 같게 나오므로 엄격한 부등식은 성립하지 않는다.

[4] #6 7.NS.A.2 $xy<ab$의 양변을 계산한다. 음수 곱하기 음수는 양수이고, 더 음수인 인수들이 더 큰 곱을 만들므로 왼쪽이 작기는커녕 더 커진다.

[5] #6 7.NS.A.2 $\frac{x}{y}<\frac{a}{b}$의 양변을 계산한다. 음수 나누기 음수는 양수다. 왼쪽 몫이 더 크므로 이 부등식도 깨진다.

[6] #3 7.EE.B.4 반드시 성립하는 것은 (I) 하나뿐이다. 단 하나의 검사값이 (II), (III), (IV)를 한꺼번에 깨뜨린다. 따라서 반드시 참인 부등식은

검토

합리성 확인: (I)은 예시 하나가 아니라 일반적으로 증명되었으므로 정말로 반드시 참이다. 나머지 셋은 각각 정당한 검사값 하나($x=-3,a=-1,y=-4,b=-2$)에 무너졌는데, "반드시 참" 주장을 꺾는 데는 이것으로 충분하다. 직관과도 맞는다. 같은 방향의 부등식을 더하는 것은 항상 유효하지만, 뺄셈은 한 부등식을 뒤집고 음수에 의한 곱셈·나눗셈은 크기 대소를 뒤집을 수 있다. 반드시 참인 것은 정확히 하나이므로 개수는 $1$, 선택지 (B)이다.

대안 접근: 공통 반례 하나 대신 (II)-(IV)를 구조적으로 공략할 수도 있다. (II)는 $-y<-b$가 필요하지만 $y<b$는 $-y>-b$를 주므로 실패할 수 있다. (III)과 (IV)는 값이 음수일 때 부호 변화가 대소를 뒤집으므로 실패할 수 있다. 오직 (I), 즉 같은 방향 두 부등식의 합만이 실패할 방법이 없다. 이 방법도 항상 참인 부등식이 하나임을 주어 (B)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (두 주어진 부등식을 일반 문자로 더해 (I)이 항상 성립함을 증명하고, 어떤 부등식이 반드시 참인지 추론하기.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (음수 값을 고르고 $-3<-1$, $-4<-2$를 확인해 반례가 $x<a$, $y<b$를 정당하게 만족함을 보이기.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (음수로 차 $x-y$와 $a-b$를 계산해 부등식 (II)를 검사하기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (음수로 곱 $xy$, $ab$와 몫 $\frac{x}{y}$, $\frac{a}{b}$를 계산해 부등식 (III)과 (IV)를 검사하기.)

⭐ 같은 방향을 가리키는 두 부등식은 언제나 더할 수 있지만, 빼거나 곱하거나 나누면 결과가 뒤집힐 수 있다. 음수 한 세트면 그것을 증명하기에 충분하다.