AMC 10 · 2014 · #7

학년 7 arithmetic

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logical-deductionsign-analysis guess-and-checkcasework ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

0이 아닌 네 실수 x, y, a, b가 x ＜ a와 y ＜ b를 만족한다. 네 부등식 x+y ＜ a+b, x-y ＜ a-b, xy ＜ ab,

\frac{x}{y}

＜

\frac{a}{b}

중에서, 두 조건을 만족하는 모든 경우에 대해 반드시 성립하는 것이 몇 개인지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

어떤 부등식이 반드시 성립하는지를 묻는 문제다. 할 일은 두 가지다. 하나가 항상 참임을 보이려면 문자 그대로 일반적으로 따진다(도구 #4). 주어진 두 부등식을 더하면 합에 대한 부등식이 어떤 값에서도 자동으로 나온다. 반대로 부등식을 무너뜨리려면 반례 하나면 충분하므로 도구 #6(추측하고 확인하기)이 주력이다. x ＜ a, y ＜ b를 지키는 구체적인 수를 하나 골라 어떤 후보가 깨지는지 관찰한다. 음수를 고르는 것이 영리한 선택인데, 음수야말로 뺄셈·곱셈·나눗셈의 대소를 뒤집기 때문이다. 잘 고른 반례 하나가 네 개 중 세 개를 한 번에 무너뜨린다. 그다음 도구 #3으로 살아남은 것을 센다. 항상 참인 것이 하나뿐이므로 개수는 1이다.

1STEP 1

(I)이 항상 성립함을 증명

같은 방향의 부등식은 더할 수 있으므로, x ＜ a와 y ＜ b를 더하면 방향 그대로 x+y ＜ a+b가 나온다.

x ＜ a 이고 y ＜ b → x+y ＜ a+b

2STEP 2

반례 하나 고르기

나머지 셋은 실패하는 예 하나면 충분하다. x=-3, a=-1, y=-4, b=-2는 모두 0이 아니고 두 조건을 만족한다.

x=-3, a=-1, y=-4, b=-2 → x ＜ a, y ＜ b ✓

3STEP 3

(II) 검사: 뺄셈

음수를 빼면 더하는 셈이라 x-y = 1, a-b = 1로 양변이 같다. 따라서 (II)는 거짓이다.

x-y = -3-(-4) = 1, a-b = -1-(-2) = 1, 1 ＜ 1 은 거짓

4STEP 4

(III) 검사: 곱셈

음수끼리 곱하면 양수가 되고 더 음수인 쪽이 크다. xy = 12, ab = 2이므로 (III)도 거짓이다.

xy = (-3)(-4) = 12, ab = (-1)(-2) = 2, 12 ＜ 2 는 거짓

5STEP 5

(IV) 검사: 나눗셈

음수를 음수로 나누면 양수다. $\frac{x}{y}$ = $\frac{3}{4}$ 가 $\frac{a}{b}$ = $\frac{1}{2}$ 보다 크므로 (IV)도 거짓이다.

x/y = -3/-4 = 3/4, a/b = -1/-2 = 1/2, 3/4 ＜ 1/2 은 거짓

6STEP 6

살아남은 것 세기

살아남는 것은 (I)뿐이다. 검사값 하나가 (II), (III), (IV)를 한꺼번에 깨뜨리므로 반드시 참인 것은 1개다.

항상 참: (I)만 → 1 → (B)

정답

(I)은 예시 하나가 아니라 일반적으로 증명되었으므로 정말로 반드시 참이다. 나머지 셋은 각각 정당한 검사값 하나(x=-3,a=-1,y=-4,b=-2)에 무너졌는데, "반드시 참" 주장을 꺾는 데는 이것으로 충분하다. 직관과도 맞는다. 같은 방향의 부등식을 더하는 것은 항상 유효하지만, 뺄셈은 한 부등식을 뒤집고 음수에 의한 곱셈·나눗셈은 크기 대소를 뒤집을 수 있다. 반드시 참인 것은 정확히 하나이므로 개수는 1, 선택지 (B)이다.

💡핵심 정리

같은 방향을 가리키는 두 부등식은 언제나 더할 수 있지만, 빼거나 곱하거나 나누면 결과가 뒤집힐 수 있다. 음수 한 세트면 그것을 증명하기에 충분하다.

(I)이 항상 성립함을 증명
반례 하나 고르기
(II) 검사: 뺄셈
(III) 검사: 곱셈
(IV) 검사: 나눗셈
살아남은 것 세기