AMC 10 · 2014 · #1

학년 3 arithmetic

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linear-equations-one-varmental-arithmetic work-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

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문제

리아는 동전 $13$ 개를 가지고 있으며, 모두 페니 아니면 니켈이다. 만약 리아가 지금보다 니켈을 하나 더 가지고 있었다면, 페니와 니켈의 개수가 같아졌을 것이다. 리아가 가진 동전은 모두 몇 센트어치인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 레아는 1센트 동전과 5센트 동전으로만 이루어진 동전 $13$개를 가지고 있습니다. 5센트 동전이 하나 더 있으면 1센트 동전과 5센트 동전의 개수가 같아집니다. 레아의 동전 전체의 값을 센트 단위로 구하세요.

주어진 것: 레아는 모두 1센트 또는 5센트인 동전 $13$개를 가지고 있음; 5센트 동전이 하나 더 있으면 1센트 동전과 5센트 동전의 개수가 같아짐; 1센트 동전은 $1$센트, 5센트 동전은 $5$센트의 값을 가짐; 선택지: (A) $33$, (B) $35$, (C) $37$, (D) $39$, (E) $41$

구하는 것: 레아가 가진 동전 13개의 전체 값(센트)

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

깔끔한 사실은 가정된 미래에 관한 것입니다 — 5센트 동전을 하나 더하면 개수가 같아집니다. 그래서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 자연스럽습니다. 먼저 개수가 똑같이 나뉘는 쉬운 상태를 그린 뒤, 더한 5센트 동전을 되돌려서 레아가 실제로 가진 개수를 알아냅니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마지막에 돈을 정확히 따집니다: 5센트 동전은 $5$센트, 1센트 동전은 $1$센트이므로 합계는 동전 개수가 아니라 센트로 재야 합니다.

실행 — 정답: C

#11 거꾸로 풀기 3.OA.A.3 단계 1

가정한 전체를 반으로 나누기

레아가 여분의 5센트 동전을 이미 더했다고 상상해 봅니다.
그러면 동전은 $13+1=14$개가 되고, 문제에서 이때 1센트 동전과 5센트 동전의 개수가 같다고 했습니다.
$14$개를 두 개의 같은 묶음으로 나누면 $14\div 2=7$이므로, 이 상상 속 그림에서는 5센트 동전 $7$개와 1센트 동전 $7$개가 있습니다.

$$13+1 = 14,\qquad 14\div 2 = 7 \text{ (5센트 동전과 1센트 동전 각각)}$$

💡 알고 있는 전체에서 "개수가 같다"는 것은 그 전체를 두 개의 같은 묶음으로 나누라는 뜻일 뿐입니다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.A.1 단계 2

여분의 5센트 동전 되돌리기

그 똑같은 나눗셈에는 이야기 속에서만 더한 5센트 동전이 포함되어 있습니다.
그것을 다시 빼냅니다: 1센트 동전은 건드리지 않았으니 여전히 $7$개이고, 실제 5센트 동전 개수는 하나 적은 $7-1=6$개입니다.
그래서 지금 레아는 5센트 동전 $6$개와 1센트 동전 $7$개를 가지고 있으며, 이는 $6+7=13$개로 정확히 맞습니다.

$$7-1 = 6 \text{ (5센트 동전)},\quad 7 \text{ (1센트 동전)},\quad 6+7 = 13\ \checkmark$$

💡 한 단계를 거꾸로 돌리려면 더한 것만 정확히 빼고 나머지는 그대로 둡니다.

#8 단위 살펴보기 2.MD.C.8 단계 3

돈을 센트로 더하기

이제 동전 개수가 아니라 값을 셉니다.
5센트 동전 $6$개는 $6\times 5 = 30$센트, 1센트 동전 $7$개는 $7\times 1 = 7$센트의 값을 가집니다.
합치면 $30+7 = 37$센트이고, 이는 선택지 (C)입니다.

$$6\times 5 + 7\times 1 = 30 + 7 = 37 \text{ 센트} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 종류가 다른 동전은 각각을 먼저 센트 값으로 바꿔야만 올바르게 더해집니다.

[1] #11 3.OA.A.3 레아가 여분의 5센트 동전을 이미 더했다고 상상해 봅니다. 그러면 동전은 $13+1=14$개가 되고, 문제에서 이때 1센트 동전과 5센트 동전의

[2] #11 2.OA.A.1 그 똑같은 나눗셈에는 이야기 속에서만 더한 5센트 동전이 포함되어 있습니다. 그것을 다시 빼냅니다: 1센트 동전은 건드리지 않았으니 여전히 $7

[3] #8 2.MD.C.8 이제 동전 개수가 아니라 값을 셉니다. 5센트 동전 $6$개는 $6\times 5 = 30$센트, 1센트 동전 $7$개는 $7\times 1 =

검토

합리성 확인: 5센트 동전 $6$개와 1센트 동전 $7$개는 다시 $13$개가 되고, 5센트 동전이 하나 더 있으면 $7$개와 $7$개가 되어 문제가 요구한 조건과 정확히 맞으므로 나눔이 옳습니다. 값 $37$센트는 선택지($33$부터 $41$)의 한가운데에 있고, 각 선택지는 $2$씩 차이 납니다 — 이는 1센트 동전 하나를 5센트 동전 하나로 바꿀 때 생기는 값 차이로, 문제가 바로 이 동전 조합을 노려 만들어졌음을 보여 줍니다.

대안 접근: 대신 변수를 씁니다. 지금 5센트 동전 개수를 $n$이라 하면 1센트 동전은 $13-n$개입니다. 5센트 동전을 하나 더하면 $n+1$개가 되고, 이를 1센트 동전과 같게 놓으면 $n+1 = 13-n$, 즉 $2n = 12$, $n = 6$입니다. 그러면 1센트 동전은 $7$개이고 값은 $6\times 5 + 7\times 1 = 37$센트로 (C)와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 100 이내의 곱셈과 나눗셈 문장제 해결 (가정한 전체 $14$개를 두 개의 같은 묶음으로 나누는 $14\div 2 = 7$ 계산에 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 이용한 한두 단계 문장제 해결 (더한 5센트 동전을 되돌리는 $7-1=6$과 $6+7=13$ 확인에 사용.)
2.MD.C.8 지폐와 25·10·5·1센트 동전이 포함된 문장제 해결 (5센트 동전 $6$개와 1센트 동전 $7$개를 센트 값으로 바꿔 $30+7=37$센트로 합산하는 데 사용.)

⭐ 조건이 상상 속 미래를 말할 때는 그 쉬운 그림을 먼저 그린 다음, 바뀐 것을 되돌려서 지금 실제로 무엇이 참인지 알아내세요.