경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #4

학년 3 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
extremal-constructionmulti-digit-arithmeticsystematic-enumeration identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
상자에 빨강 28, 초록 20, 노랑 19, 파랑 13, 흰색 11, 검정 9 개의 공이 들어 있습니다. 다시 넣지 않고 보지 않고 공을 뽑을 때, 한 색깔의 공이 적어도 15 개 뽑힌 것을 보장하려면 최소 몇 개를 뽑아야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
75
(B)
76
(C)
79
(D)
84
(E)
91

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

도구 #16(관점 바꾸기): '15 개를 보장하려면 몇 번?' 대신 거꾸로 '어느 색도 15가 안 되게 최대한 뽑을 수 있는 수는?' 를 묻습니다. 그 최악의 수에 하나만 더 뽑으면 다음 공은 반드시 한 색을 15로 밀어 올립니다. 도구 #2(나열): 각 색깔별로 '15 미만' 한도까지 뽑는 양을 적어 봅니다 — 큰 세 색은 14 개씩, 작은 세 색은 전부. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 75, 76, 79, 84, 91의 차이는 작아서 최악 합 75만 구하면 답은 75 + 1 = 76, 즉 (B)가 곧장 골라집니다.

1STEP 1

15개 가능한 색 고르기

빨강·초록·노랑만 15 개 이상이라 이길 수 있고, 파랑·흰색·검정은 15에 못 닿아요.

15 도달 가능: 빨강, 초록, 노랑. 불가능: 파랑, 흰색, 검정.
2STEP 2

최악의 경우 만들기

이길 수 있는 색(빨강·초록·노랑)은 14 개씩, 파랑·흰색·검정은 전부 — 15 인 색이 없는 최대 뽑기예요.

최악 = 14 + 14 + 14_빨강, 초록, 노랑 + 13 + 11 + 9_파랑, 흰색, 검정
3STEP 3

최악의 경우 더하기

최악: 14 + 14 + 14 = 42와 13 + 11 + 9 = 33을 더하면 75 개 — 그래도 15 인 색은 없어요.

14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 42 + 33 = 75
4STEP 4

공 한 개 더 뽑기

75 번 뒤엔 빨강·초록·노랑만 남아 76 번째 공은 그중 하나 — 그 색이 14 에서 15로 올라가요.

75 + 1 = 76 → (B)
5STEP 5

다른 선택지 지우기

75는 실패라 (A) 아님; 79·84·91은 되지만 과잉 — 최소이면서 충분한 건 (B) 76 뿐.

75 실패 → (A) 아님; 79, 84, 91 ＞ 76 → 최소 아님, (C), (D), (E) 아님
정답
76
최악 합을 확인. 14 + 14 + 14 = 42, 13 + 11 + 9 = 33, 총 42 + 33 = 75 — 어느 색도 15가 아님. 76 번째에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남아 그중 하나가 14 → 15로 올라갑니다. 따라서 76은 달성 가능(전략이 존재)이고 또한 정확한 최소(한 번도 뺄 수 없음).
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 3학년 "문장제로 따져 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 어느 색도 15가 안 되게 최대한 뽑은 수 (14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75)에 하나만 더하면 답은 76 이에요!

  • 15개 가능한 색 고르기
  • 최악의 경우 만들기
  • 최악의 경우 더하기
  • 공 한 개 더 뽑기
  • 다른 선택지 지우기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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