AMC 10 · 2014 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-regular-hexagonequilateral-trianglespatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagon

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 정육각형 $6$ 개가 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형을 둘러싸고 있다. $\triangle{ABC}$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{3}$

(B)

$3\sqrt{3}$

(C)

$1+3\sqrt{2}$

(D)

$2+2\sqrt{3}$

(E)

$3+2\sqrt{3}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형을 여섯 개의 정육각형이 둘러싸고 있다(그림 참고). 그림에 표시된 세 꼭짓점을 $A$, $B$, $C$ 라 할 때, $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 가운데 육각형과 이를 둘러싼 여섯 육각형은 모두 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형이다; 그림은 정확한 좌표로 그려져 있다: 가운데 육각형은 $(0,0)$ 에서 $(10,0)$ 까지의 가로 변을 갖는다; 세 꼭짓점은 그림 단위로 $A=(0,0)$, $B=(30,\,17.3205\ldots)$, $C=(30,\,-17.3205\ldots)$ 이다; 보기: (A) $2\sqrt{3}$, (B) $3\sqrt{3}$, (C) $1+3\sqrt{2}$, (D) $2+2\sqrt{3}$, (E) $3+2\sqrt{3}$

구하는 것: $\triangle ABC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

그림이 이미 정확한 좌표를 알려 주므로, 도구 #1(그림 그리기)은 사실상 좌표기하 도구가 된다: 점을 그림에서 읽어내고 위치가 일을 하게 한다. 먼저 축척을 바로잡아 그림 단위를 실제 단위로 바꾼다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 밑변과 높이라는 두 개의 쉬운 측정으로 나눈다. $B$ 와 $C$ 가 위아래로 나란히 있어 $BC$ 는 세로 선분이 되고, 높이는 단순한 가로 거리가 되기 때문이다. 도구 #17(공간 상상하기)은 확인용이다: 세 꼭짓점이 서로 같은 거리에 있음을 보면 삼각형이 정삼각형임을 알 수 있어 넓이를 한 번 더 검증한다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.A.1 단계 1

그림의 축척 바로잡기

그림에서 가운데 육각형은 $(0,0)$ 에서 $(10,0)$ 까지의 변을 가지며 이는 그림 단위로 $10$ 이다.
그런데 그 변의 실제 길이는 $1$ 이다.
즉 그림은 $10$ 배로 확대되어 있으므로, 실제 길이를 얻으려면 모든 좌표를 $10$ 으로 나눈다.
그러면 $A=(0,0)$, $B=(30,17.3205\ldots)$, $C=(30,-17.3205\ldots)$ 가 실제 단위 점으로 바뀐다.

$$\text{축척}=\frac{1}{10};\quad A=(0,0),\; B=\left(3,\,1.73205\ldots\right),\; C=\left(3,\,-1.73205\ldots\right)$$

💡 축척 그림은 모양에는 정직하지만 크기에는 거짓말을 하므로, 재기 전에 확대를 되돌린다.

#17 공간 상상하기 8.NS.A.2 단계 2

소수를 근호로 알아보기

높이 값 $1.73205\ldots$ 는 아무 수가 아니다.
이는 $\sqrt{3}$ 의 소수 표현이다($\sqrt{3}=1.7320508\ldots$).
이는 자연스럽다 — 한 변이 $1$ 인 정육각형의 마주 보는 변 사이 '너비'가 $\sqrt{3}$ 이기 때문이다.
따라서 실제 단위로 세 꼭짓점은 $A=(0,0)$, $B=(3,\sqrt{3})$, $C=(3,-\sqrt{3})$ 이다.

$$1.73205\ldots=\sqrt{3}\;\Rightarrow\; A=(0,0),\; B=(3,\sqrt{3}),\; C=(3,-\sqrt{3})$$

💡 지저분한 소수는 흔히 익숙한 제곱근이 변장한 모습이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.3 단계 3

밑변 BC 재기

$B$ 와 $C$ 는 첫 번째 좌표가 $x=3$ 으로 같으므로 선분 $BC$ 는 세로이다.
세로 선분의 길이는 두 $y$ 값 사이의 차이일 뿐이다: $-\sqrt{3}$ 에서 $\sqrt{3}$ 까지, 그 차이는 $2\sqrt{3}$ 이다.
$BC$ 를 삼각형의 밑변으로 삼는다.

$$BC=\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$$

💡 두 점이 같은 세로선 위에 있으면 그 거리는 단순히 높이의 차이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.3 단계 4

A로부터의 높이 재기

밑변 $BC$ 는 세로선 $x=3$ 위에 있다.
삼각형의 높이는 마주 보는 꼭짓점 $A$ 에서 그 선까지의 수직 거리이다.
$A$ 는 $x=0$ 에 있고 선은 $x=3$ 이므로, 그 가로 거리는 $3$ 이다.

$$h=|3-0|=3$$

💡 한 점에서 세로선까지의 거리는 가로 방향의 차이일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

밑변과 높이를 넓이로 합치기

삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다.
여기서 밑변은 $BC=2\sqrt{3}$, 높이는 $3$ 이다.
곱하면 $\tfrac12\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3 = 3\sqrt{3}$ 이다.
이는 보기 (B)와 일치한다.

$$[\triangle ABC]=\tfrac12\cdot BC\cdot h=\tfrac12\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 밑변 곱하기 높이의 절반은 두 개의 간단한 길이를 넓이 전체로 바꾼다.

[1] #1 7.G.A.1 그림에서 가운데 육각형은 $(0,0)$ 에서 $(10,0)$ 까지의 변을 가지며 이는 그림 단위로 $10$ 이다. 그런데 그 변의 실제 길이는

[2] #17 8.NS.A.2 높이 값 $1.73205\ldots$ 는 아무 수가 아니다. 이는 $\sqrt{3}$ 의 소수 표현이다($\sqrt{3}=1.7320508\ld

[3] #7 6.G.A.3 $B$ 와 $C$ 는 첫 번째 좌표가 $x=3$ 으로 같으므로 선분 $BC$ 는 세로이다. 세로 선분의 길이는 두 $y$ 값 사이의 차이일 뿐이

[4] #7 6.G.A.3 밑변 $BC$ 는 세로선 $x=3$ 위에 있다. 삼각형의 높이는 마주 보는 꼭짓점 $A$ 에서 그 선까지의 수직 거리이다. $A$ 는 $x=0$

[5] #7 6.G.A.1 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이다. 여기서 밑변은 $BC=2\sqrt{3}$, 높이는 $3$ 이다. 곱하면 $\tfrac12\cdot

검토

합리성 확인: 변의 길이로 교차 검증한다. 피타고라스 거리로 $AB=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 이고, 위아래 대칭으로 $AC=2\sqrt{3}$ 이며, $BC=2\sqrt{3}$ 이다. 세 변이 모두 $2\sqrt{3}$ 이므로 $\triangle ABC$ 는 정삼각형이다. 한 변이 $s$ 인 정삼각형의 넓이는 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(2\sqrt{3})^2=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}$ 로 같은 답이다. 수치로 $3\sqrt{3}\approx 5.20$ 인데, 육각형 세 개에 걸친 삼각형 크기로 그럴듯하며 보기 (B)에 해당한다. 보기 (A) $2\sqrt{3}\approx3.46$ 은 너무 작다.

대안 접근: 좌표 없이 분할로 풀 수도 있다. 둘러싼 육각형들 사이이면서 $\triangle ABC$ 안에 남는 여섯 개의 가느다란 삼각형 틈을 모아 붙이면 다른 것들과 합동인 정육각형 하나를 만들 수 있다. 따라서 $\triangle ABC$ 는 정확히 정육각형 두 개 분량의 넓이로 이루어진다. 한 변이 $1$ 인 정육각형의 넓이는 $\tfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 이므로, 두 개면 $2\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, 다시 답은 (B)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.1 Solve problems involving scale drawings of geometric figures (가운데 육각형의 변에서 $10$ 배 축척을 읽어내고 그림 좌표를 실제 단위 좌표로 바꾸는 데 사용.)
8.NS.A.2 Use rational approximations of irrational numbers to compare their size (좌표 $1.73205\ldots$ 를 무리수 $\sqrt{3}$ 으로 알아보아 꼭짓점을 정확하게 만드는 데 사용.)
6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (꼭짓점 좌표에서 세로 밑변 $BC=2\sqrt{3}$ 와 가로 높이 $3$ 을 바로 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (밑변과 높이를 '밑변 곱하기 높이의 절반' 규칙으로 합쳐 넓이 $3\sqrt{3}$ 을 얻는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (변의 길이 $AB=AC=BC=2\sqrt{3}$ 을 교차 검증하여 정삼각형임을 확인하는 데 사용.)

⭐ 그림에서 꼭짓점을 읽고 실제 크기로 줄인 뒤, 세로 밑변 $2\sqrt{3}$ 의 절반에 높이 $3$ 을 곱하면 넓이 $3\sqrt{3}$ 이 된다.