AMC 10 · 2014 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-regular-hexagonequilateral-trianglespatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-regular-hexagon
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
한 변의 길이가 1 인 정육각형을 여섯 개의 정육각형이 둘러싸고 있다(그림 참고). 그림에 표시된 세 꼭짓점을 A, B, C 라 하자. A 는 가운데 육각형의 꼭짓점이고, B 와 C 는 둘러싼 육각형 두 개의 바깥쪽 꼭짓점이다. △ ABC 의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$2\sqrt{3}$
(B)
$3\sqrt{3}$
(C)
$1+3\sqrt{2}$
(D)
$2+2\sqrt{3}$
(E)
$3+2\sqrt{3}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림이 이미 정확한 좌표를 알려 주므로, 도구 #1(그림 그리기)은 사실상 좌표기하 도구가 된다: 점을 그림에서 읽어내고 위치가 일을 하게 한다. 먼저 축척을 바로잡아 그림 단위를 실제 단위로 바꾼다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 밑변과 높이라는 두 개의 쉬운 측정으로 나눈다. B 와 C 가 위아래로 나란히 있어 BC 는 세로 선분이 되고, 높이는 단순한 가로 거리가 되기 때문이다. 도구 #17(공간 상상하기)은 확인용이다: 세 꼭짓점이 서로 같은 거리에 있음을 보면 삼각형이 정삼각형임을 알 수 있어 넓이를 한 번 더 검증한다.

1STEP 1

그림의 축척 바로잡기

(0,0)에서 (10,0)까지의 변은 그림에서 10 단위지만 실제로는 1 이니, 모든 좌표를 10 으로 나눈다.

축척=1/10; A=(0,0), B=(3, 1.73205…), C=(3, -1.73205…)
2STEP 2

소수를 근호로 알아보기

높이 1.73205… 는 정확히 √(3) 이므로, 실제로 A=(0,0), B=(3,√(3)), C=(3,-√(3))이다.

1.73205…=√(3) → A=(0,0), B=(3,√(3)), C=(3,-√(3))
3STEP 3

밑변 BC 재기

B 와 C 는 x=3으로 같으니 BC 는 세로이고, 길이는 -√(3) 에서 √(3) 까지인 2√(3) 이다.

BC=√(3)-(-√(3))=2√(3)
4STEP 4

A로부터의 높이 재기

밑변은 직선 x=3 위에 있고 A 는 x=0 이므로, 높이는 그 가로 거리인 3 이다.

h=|3-0|=3
5STEP 5

밑변과 높이를 넓이로 합치기

밑변 곱하기 높이의 절반: 2√(3) · 3 ÷ 2 = 3√(3) 이고, 보기 (B)이다.

[△ ABC]=1/2 · BC · h=1/2 · 2√(3) · 3=3√(3) → (B)
정답
3√(3)
변의 길이로 교차 검증한다. 피타고라스 거리로 AB=√(3²+(√(3))²)=√(9+3)=√(12)=2√(3)이고, 위아래 대칭으로 AC=2√(3)이며, BC=2√(3)이다. 세 변이 모두 2√(3) 이므로 △ ABC 는 정삼각형이다. 한 변이 s 인 정삼각형의 넓이는 √(3)/4s²=√(3)/4·(2√(3))²=√(3)/4 · 12=3√(3) 로 같은 답이다. 수치로 3√(3)≈ 5.20 인데, 육각형 세 개에 걸친 삼각형 크기로 그럴듯하며 보기 (B)에 해당한다. 보기 (A) 2√(3)≈3.46은 너무 작다.
💡핵심 정리

그림에서 꼭짓점을 읽고 실제 크기로 줄인 뒤, 세로 밑변 2√(3)의 절반에 높이 3을 곱하면 넓이 3√(3) 이 된다.

  • 그림의 축척 바로잡기
  • 소수를 근호로 알아보기
  • 밑변 BC 재기
  • A로부터의 높이 재기
  • 밑변과 높이를 넓이로 합치기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.