AMC 10 · 2014 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremsystems-of-equationsarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
사다리꼴 ABCD에서 평행한 두 변은 AB = 33, CD = 21이고, 기울어진 두 다리(옆변)의 길이는 각각 10과 14이다. 긴 밑변에 있는 두 각 A와 B는 예각이다. 두 대각선 AC와 BD 중 더 짧은 대각선의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$10\sqrt{6}$
(B)
25
(C)
$8\sqrt{10}$
(D)
$18\sqrt{2}$
(E)
26

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

두 밑변과 두 다리가 주어진 사다리꼴은 좌표를 붙이라는 신호이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 긴 밑변 AB를 x축에 놓고 윗변 꼭짓점에서 수선을 내린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 수평 밀림 p, q와 높이 h에 이름을 붙인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 다리를 하나의 직각삼각형으로 만들어 피타고라스 정리를 쓰게 한다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 p, q, h에 대한 작은 연립식을 풀면, 대각선은 꼭짓점 사이의 거리로 바로 구해진다.

1STEP 1

사다리꼴을 좌표에 올리기

긴 밑변을 x축에 눕힌다: A = (0, 0), B = (33, 0), D = (p, h), C = (p + 21, h).

A=(0,0), B=(33,0), D=(p, h), C=(p+21, h)
2STEP 2

두 밑변 밀림에 이름 붙이기

밑변 차이 33 - 21 = 12가 왼쪽 밀림 p와 오른쪽 밀림 q로 갈린다: p + q = 12.

p + q = 33 - 21 = 12
3STEP 3

각 다리에 피타고라스

각 다리는 수평 p 또는 q, 높이 h인 직각삼각형의 빗변: p² + h² = 100, q² + h² = 196.

p² + h² = 100, q² + h² = 196
4STEP 4

밀림과 높이 풀기

두 식을 빼면 h²이 사라져 (q - p)(12) = 96, 즉 q - p = 8. 따라서 q = 10, p = 2, h² = 96.

q² - p² = 96 → (q-p)(12)=96 → q-p=8; q=10, p=2, h²=96
5STEP 5

두 대각선 재기

D = (2, h), C = (23, h)이므로 AC² = 23² + 96 = 625, 즉 AC = 25. BD ≈ 32.5로 더 길다.

AC² = 23² + 96 = 625 → AC = 25; BD² = 31² + 96 = 1057 → BD ≈ 32.5
정답
25
높이는 h = √(96) = 4√6 ≈ 9.8로, 두 다리 10과 14보다 확실히 작다. 다리는 그것이 걸치는 높이보다 항상 길거나 같아야 하므로 타당하다. 대각선 AC = 25는 아래 꼭짓점에서 반대편 위 꼭짓점까지 이어지는데, 25는 긴 다리 14보다 길고 아랫변 33보다 짧아 대각선에 딱 맞는 범위다. BD ≈ 32.5가 더 긴 이유는 D가 거의 A 바로 위에 있어 BD가 밑변 거의 전체를 가로지르기 때문이다. 따라서 더 짧은 대각선은 25, 선택지 (B)와 일치한다. 오답 10√6 ≈ 24.5, 8√(10) ≈ 25.3, 18√2 ≈ 25.5, 26은 모두 25 부근에 몰려 계산 실수를 노리지만, 정확히 625 = 25²만 깔끔한 값에 떨어진다.
💡핵심 정리

사다리꼴을 x축에 세우고 기울어진 다리를 직각삼각형으로 쪼개면 밑변의 여분 33 - 21 = 12가 2와 10으로 갈라진다. 그러면 대각선 AC = √(23² + 96) = 25가 더 짧은 쪽이다.

  • 사다리꼴을 좌표에 올리기
  • 두 밑변 밀림에 이름 붙이기
  • 각 다리에 피타고라스
  • 밀림과 높이 풀기
  • 두 대각선 재기

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