AMC 10 · 2014 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremsystems-of-equationsarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

사다리꼴 $ABCD$ 에서 평행한 두 변은 길이가 $33$ 인 $\overline{AB}$ 와 길이가 $21$ 인 $\overline {CD}$ 이다. 나머지 두 변의 길이는 각각 $10$ 과 $14$ 이다. 각 $A$ 와 $B$ 는 예각이다. $ABCD$ 의 두 대각선 중 더 짧은 것의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10\sqrt{6}$

(B)

(C)

$8\sqrt{10}$

(D)

$18\sqrt{2}$

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$에서 평행한 두 변은 $AB = 33$, $CD = 21$이고, 기울어진 두 다리(옆변)의 길이는 각각 $10$과 $14$이다. 긴 밑변에 있는 두 각 $A$와 $B$는 예각이다. 두 대각선 $AC$와 $BD$ 중 더 짧은 대각선의 길이를 구하라.

주어진 것: $AB \parallel CD$이고 $AB = 33$, $CD = 21$; 두 다리의 길이는 각각 $10$과 $14$; 긴 밑변 쪽 각 $A$와 $B$는 예각; 선택지: (A) $10\sqrt{6}$, (B) $25$, (C) $8\sqrt{10}$, (D) $18\sqrt{2}$, (E) $26$

구하는 것: $ABCD$의 더 짧은 대각선의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

두 밑변과 두 다리가 주어진 사다리꼴은 좌표를 붙이라는 신호이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 긴 밑변 $AB$를 $x$축에 놓고 윗변 꼭짓점에서 수선을 내린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 수평 밀림 $p$, $q$와 높이 $h$에 이름을 붙인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 다리를 하나의 직각삼각형으로 만들어 피타고라스 정리를 쓰게 한다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 $p$, $q$, $h$에 대한 작은 연립식을 풀면, 대각선은 꼭짓점 사이의 거리로 바로 구해진다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

사다리꼴을 좌표에 올리기

긴 밑변을 $x$축에 놓는다: $A = (0, 0)$, $B = (33, 0)$.
짧은 밑변 $CD = 21$은 높이 $h$에 놓인다.
$D = (p,\, h)$를 왼쪽 위에, $C = (p + 21,\, h)$를 그로부터 오른쪽으로 $21$만큼 떨어진 곳에 두면, $DC$는 $AB$와 평행하고 길이가 $21$로 유지된다.

$$A=(0,0),\; B=(33,0),\; D=(p,\,h),\; C=(p+21,\,h)$$

💡 두 밑변이 모두 수평이 되면 모든 꼭짓점 좌표가 깔끔해지고 기울어진 변이 직각삼각형이 된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

두 밑변 밀림에 이름 붙이기

아랫변은 $33$, 윗변은 $21$이므로 남는 $33 - 21 = 12$가 양 끝의 두 튀어나온 부분으로 나뉜다.
왼쪽 튀어나옴을 $p$(다리 $AD$의 수평 길이), 오른쪽 튀어나옴을 $q$(다리 $BC$의 수평 길이)라 하자.
예각인 밑변 각이 두 수선의 발을 $AB$ 안쪽에 두므로 둘 다 양수이고 빈틈을 메워야 한다: $p + q = 12$.

$$p + q = 33 - 21 = 12$$

💡 긴 밑변의 여분 길이는 어딘가로 가야 하고, 양 끝의 두 기울어진 튀어나옴으로 나뉜다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

각 다리에 피타고라스

각 다리는 수평 길이($p$ 또는 $q$)와 수직 높이 $h$를 가진 직각삼각형의 빗변이다.
길이 $10$인 다리를 왼쪽에, 길이 $14$인 다리를 오른쪽에 두자(반대로 배치해도 거울상일 뿐이며 같은 대각선이 나온다).
그러면 $p^2 + h^2 = 10^2 = 100$, $q^2 + h^2 = 14^2 = 196$.

$$p^2 + h^2 = 100, \qquad q^2 + h^2 = 196$$

💡 평평한 바닥 위 기울어진 변은 항상 직각삼각형을 이루므로, 그 길이가 수평 길이와 높이를 하나로 묶는다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 4

밀림과 높이 풀기

두 피타고라스 식을 빼서 $h^2$을 없앤다: $q^2 - p^2 = 196 - 100 = 96$.
왼쪽을 $(q - p)(q + p)$로 인수분해하고 $q + p = 12$를 쓰면 $(q - p)(12) = 96$, 즉 $q - p = 8$.
이를 $q + p = 12$와 합치면 $q = 10$, $p = 2$.
다시 대입하면 $h^2 = 100 - p^2 = 100 - 4 = 96$.

$$q^2 - p^2 = 96 \Rightarrow (q-p)(12)=96 \Rightarrow q-p=8;\; q=10,\, p=2,\; h^2=96$$

💡 두 식을 빼면 공통인 높이가 지워지고 $p$, $q$에 대한 간단한 두 일차 관계만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 5

두 대각선 재기

이제 모든 꼭짓점을 안다: $A=(0,0)$, $B=(33,0)$, $D=(2,\,h)$, $C=(23,\,h)$이고 $h^2 = 96$.
대각선 $AC$는 수평 길이 $23$, 수직 길이 $h$이므로 $AC^2 = 23^2 + h^2 = 529 + 96 = 625$, 즉 $AC = 25$.
대각선 $BD$는 수평 길이 $33 - 2 = 31$이므로 $BD^2 = 31^2 + 96 = 961 + 96 = 1057$, 즉 $BD \approx 32.5$.
더 짧은 대각선은 $AC = 25$이므로 답은 $\textbf{(B)}$.

$$AC^2 = 23^2 + 96 = 625 \Rightarrow AC = 25; \quad BD^2 = 31^2 + 96 = 1057 \Rightarrow BD \approx 32.5$$

💡 대각선은 알려진 두 꼭짓점 사이의 직선 거리일 뿐이며, 수평과 수직 길이로 만드는 또 하나의 직각삼각형이다.

[1] #1 6.G.A.3 긴 밑변을 $x$축에 놓는다: $A = (0, 0)$, $B = (33, 0)$. 짧은 밑변 $CD = 21$은 높이 $h$에 놓인다. $D =

[2] #4 8.EE.C.7 아랫변은 $33$, 윗변은 $21$이므로 남는 $33 - 21 = 12$가 양 끝의 두 튀어나온 부분으로 나뉜다. 왼쪽 튀어나옴을 $p$(다리

[3] #7 8.G.B.7 각 다리는 수평 길이($p$ 또는 $q$)와 수직 높이 $h$를 가진 직각삼각형의 빗변이다. 길이 $10$인 다리를 왼쪽에, 길이 $14$인 다

[4] #13 8.EE.C.8 두 피타고라스 식을 빼서 $h^2$을 없앤다: $q^2 - p^2 = 196 - 100 = 96$. 왼쪽을 $(q - p)(q + p)$로 인수

[5] #7 8.G.B.8 이제 모든 꼭짓점을 안다: $A=(0,0)$, $B=(33,0)$, $D=(2,\,h)$, $C=(23,\,h)$이고 $h^2 = 96$. 대각

검토

합리성 확인: 높이는 $h = \sqrt{96} = 4\sqrt6 \approx 9.8$로, 두 다리 $10$과 $14$보다 확실히 작다. 다리는 그것이 걸치는 높이보다 항상 길거나 같아야 하므로 타당하다. 대각선 $AC = 25$는 아래 꼭짓점에서 반대편 위 꼭짓점까지 이어지는데, $25$는 긴 다리 $14$보다 길고 아랫변 $33$보다 짧아 대각선에 딱 맞는 범위다. $BD \approx 32.5$가 더 긴 이유는 $D$가 거의 $A$ 바로 위에 있어 $BD$가 밑변 거의 전체를 가로지르기 때문이다. 따라서 더 짧은 대각선은 $25$, 선택지 (B)와 일치한다. 오답 $10\sqrt6 \approx 24.5$, $8\sqrt{10} \approx 25.3$, $18\sqrt2 \approx 25.5$, $26$은 모두 $25$ 부근에 몰려 계산 실수를 노리지만, 정확히 $625 = 25^2$만 깔끔한 값에 떨어진다.

대안 접근: 식을 빼는 대신 $C$에서 내린 수선으로 사다리꼴을 나눈다. 대각선 $AC$는 수평 변이 $A$에서 $C$의 수선의 발까지 $23$, 수직 변이 높이인 직각삼각형을 이룬다. 높이를 한 번만 구하고(양쪽 수선을 내려 $10$-$12$-$14$ 튀어나옴 분할 $p=2$, $q=10$으로 $h^2 = 96$를 얻음) 그 하나의 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면 $AC = \sqrt{23^2 + 96} = 25$가 바로 나온다. $BD$가 더 길다는 것을 빠르게 확인하면 전체 좌표 계산은 굳이 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices ($A=(0,0)$, $B=(33,0)$과 윗변 꼭짓점 $D=(p,h)$, $C=(p+21,h)$을 놓아 사다리꼴을 좌표 자료로 만듦.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (두 수평 튀어나옴 사이의 밑변 차이 관계 $p + q = 33 - 21 = 12$를 세움.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (각 다리를 직각삼각형으로 바꿈: $p^2 + h^2 = 100$, $q^2 + h^2 = 196$.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations ((피타고라스 식을 빼서 얻은) 연립식 $q + p = 12$, $q - p = 8$을 풀어 $p = 2$, $q = 10$, $h^2 = 96$을 구함.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (꼭짓점 좌표에서 대각선 $AC^2 = 23^2 + 96 = 625$, $BD^2 = 31^2 + 96 = 1057$을 계산함.)

⭐ 사다리꼴을 $x$축에 세우고 기울어진 다리를 직각삼각형으로 쪼개면 밑변의 여분 $33 - 21 = 12$가 $2$와 $10$으로 갈라진다. 그러면 대각선 $AC = \sqrt{23^2 + 96} = 25$가 더 짧은 쪽이다.