AMC 10 · 2014 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlespythagorean-theoremspatial-visualization symmetry-argument ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 2인 정사각형이 있다. 정사각형 안쪽 각 변에 반원 두 개씩, 모두 여덟 개의 합동인 반원이 지름을 변에 붙인 채 놓여 있다. 가운데에 원 하나를 그려 이 여덟 개의 반원에 모두 접하게 할 때, 그 원의 반지름을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1+\sqrt2}4$

(B)

$\dfrac{\sqrt5-1}2$

(C)

$\dfrac{\sqrt3+1}4$

(D)

$\dfrac{2\sqrt3}5$

(E)

$\dfrac{\sqrt5}3$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

접하는 원 문제는 하나의 깔끔한 사실로 정리된다. 바깥쪽에서 접하는 두 원은 두 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같다는 것이다. 그래서 도구 #1 (그림 그리기)로 정사각형의 중심을 원점에 두는 좌표를 잡아 그림을 정확한 점들로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 작업을 세 조각으로 나눈다: 반원의 반지름 구하기, 그 중심 위치 찾기, 정사각형 중심에서 그 중심까지의 거리 재기. 도구 #4 (변수 도입하기)로 미지의 반지름 r에 이름을 붙이고 접선 조건을 방정식으로 쓴다. 도구 #17 (공간 상상하기)이 핵심 포착이다: 접점과 두 중심이 한 직선 위에 놓이므로, 중심에서 중심까지의 거리가 정확히 r에 반원의 반지름을 더한 값이 된다.

1STEP 1

정사각형을 좌표 위에 놓기

정사각형의 중심을 원점에 두면 네 변은 x=±1, y=±1 위에 놓이고, 대칭에 의해 가운데 원의 중심은 (0,0) 이다.

꼭짓점=(±1,±1); 가운데 원 중심=(0,0)

2STEP 2

반원 하나의 반지름과 중심 찾기

아래 변 길이 2를 반원 둘이 나누므로 지름은 1, 반지름은 1/2 이고 오른쪽 반원의 중심은 (1/2,-1)이다.

지름=2/2=1 → 반지름=1/2; 중심=(1/2,-1)

3STEP 3

접선 조건 세우기

가운데 원의 반지름을 r라 하자. 접점이 두 중심을 잇는 선분 위에 있으므로 그 거리는 정확히 r+1/2 이다.

거리((0,0),(1/2,-1))=r+1/2

4STEP 4

두 중심 사이 거리 재기

(0,0)에서 (1/2,-1)까지 가로 1/2, 세로 1 이므로 피타고라스로 √(1/4+1)=√5/2 이다.

√((1/2)²+1²)=√(5/4)=√5/2

5STEP 5

반지름 구하기

√5/2=r+1/2 에서 양변에서 1/2을 빼면 r=(√5-1)/2, 곧 선택지 (B)이다.

r=√5/2-1/2=(√5-1)/2 → (B)

정답

(√5-1)/2

수치로 보면 r=(√5-1)/2≈(2.236-1)/2≈0.618이다. 이는 반원의 반지름 0.5보다 크고(가운데 원이 그림에서 가장 큰 원이어야 한다) 반변 1보다는 작다(변을 뚫지 않고 정사각형 안에 들어가야 한다). 두 확인 모두 통과한다. 아깝게 빗나가는 선택지를 소수로 시험하면 (A) ≈0.604, (C) ≈0.683, (D) ≈0.693, (E) ≈0.745이며, 정확한 피타고라스 값과 맞는 것은 (B)뿐이다. (E)는 이미 너무 넓어 반원들을 비켜 앉을 수 없다.

💡핵심 정리

바깥쪽에서 딱 접하는 두 원은 반지름의 합만큼 떨어져 있으니, 중심 사이 거리 √5/2를 재고 반원의 1/2을 빼면 (√5-1)/2이 나온다.

정사각형을 좌표 위에 놓기
반원 하나의 반지름과 중심 찾기
접선 조건 세우기
두 중심 사이 거리 재기
반지름 구하기

정사각형을 좌표 위에 놓기

반원 하나의 반지름과 중심 찾기

접선 조건 세우기

두 중심 사이 거리 재기

반지름 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기