AMC 10 · 2014 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlespythagorean-theoremspatial-visualization symmetry-argument ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형의 안쪽에 반원 $8$ 개가 늘어서 있다. 이 반원들 모두에 접하는 원의 반지름은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1+\sqrt2}4$

(B)

$\dfrac{\sqrt5-1}2$

(C)

$\dfrac{\sqrt3+1}4$

(D)

$\dfrac{2\sqrt3}5$

(E)

$\dfrac{\sqrt5}3$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $2$인 정사각형이 있다. 정사각형 안쪽 각 변에 반원 두 개씩, 모두 여덟 개의 합동인 반원이 지름을 변에 붙인 채 놓여 있다. 가운데에 원 하나를 그려 이 여덟 개의 반원에 모두 접하게 할 때, 그 원의 반지름을 구하라.

주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이는 $2$이다; 안쪽에 각 변마다 반원 두 개씩, 모두 여덟 개의 반원이 지름을 변에 붙이고 놓여 있다; 한 변 위의 두 반원이 변 전체를 덮으므로 각 반원의 지름은 $1$이다; 가운데 원 하나가 여덟 개의 반원에 모두 접한다; 선택지: (A) $\dfrac{1+\sqrt2}{4}$, (B) $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$, (C) $\dfrac{\sqrt3+1}{4}$, (D) $\dfrac{2\sqrt3}{5}$, (E) $\dfrac{\sqrt5}{3}$

구하는 것: 여덟 개의 반원에 모두 접하는 가운데 원의 반지름

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

접하는 원 문제는 하나의 깔끔한 사실로 정리된다. 바깥쪽에서 접하는 두 원은 두 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같다는 것이다. 그래서 도구 #1 (그림 그리기)로 정사각형의 중심을 원점에 두는 좌표를 잡아 그림을 정확한 점들로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 작업을 세 조각으로 나눈다: 반원의 반지름 구하기, 그 중심 위치 찾기, 정사각형 중심에서 그 중심까지의 거리 재기. 도구 #4 (변수 도입하기)로 미지의 반지름 $r$에 이름을 붙이고 접선 조건을 방정식으로 쓴다. 도구 #17 (공간 상상하기)이 핵심 포착이다: 접점과 두 중심이 한 직선 위에 놓이므로, 중심에서 중심까지의 거리가 정확히 $r$에 반원의 반지름을 더한 값이 된다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

정사각형을 좌표 위에 놓기

정사각형의 중심을 원점에 둔다.
한 변의 길이가 $2$이므로 각 변은 중심에서 $1$만큼 떨어져 있고, 꼭짓점은 $(\pm1,\pm1)$에, 네 변은 직선 $x=\pm1$과 $y=\pm1$ 위에 놓인다.
대칭에 의해 가운데 원의 중심은 원점이다.

$$\text{꼭짓점}=(\pm1,\pm1);\quad \text{가운데 원 중심}=(0,0)$$

💡 그림을 원점에 맞추면 대칭이 계산을 대신 정리해 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

반원 하나의 반지름과 중심 찾기

$y=-1$ 위에 있고 $x=-1$에서 $x=1$까지 뻗은 아래 변을 보자.
반원 두 개가 이 변을 나눠 쓰므로 두 지름을 합하면 길이 $2$가 되고, 각 반원의 지름은 $1$, 따라서 반지름은 $\tfrac12$이다.
오른쪽 반원을 택하면 그 지름은 $(0,-1)$에서 $(1,-1)$까지이므로 중심은 중점 $\left(\tfrac12,-1\right)$이다.

$$\text{지름}=\tfrac{2}{2}=1\;\Rightarrow\; \text{반지름}=\tfrac12;\quad \text{중심}=\left(\tfrac12,-1\right)$$

💡 길이 $2$인 변을 똑같은 반원 둘이 나누면 각 지름은 $1$, 곧 반지름은 절반이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

접선 조건 세우기

가운데 원의 반지름을 $r$라 하자.
이 원은 반원을 바깥쪽에서 접하므로 두 호는 두 중심을 잇는 선분 위의 한 점에서 만난다.
따라서 두 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합, 곧 가운데 원의 $r$에 반원의 $\tfrac12$를 더한 값과 같다.

$$\text{거리}\big((0,0),(\tfrac12,-1)\big)=r+\tfrac12$$

💡 바깥으로 접하는 두 원은 중심끼리 정확히 반지름의 합만큼 떨어져 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 4

두 중심 사이 거리 재기

$(0,0)$과 $\left(\tfrac12,-1\right)$ 사이의 가로 차이와 세로 차이에 피타고라스 정리를 쓴다.
가로 차이는 $\tfrac12$, 세로 차이는 $1$이다.
따라서 거리는 $\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+1^2}=\sqrt{\tfrac14+1}=\sqrt{\tfrac54}=\dfrac{\sqrt5}{2}$이다.

$$\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+1^2}=\sqrt{\tfrac54}=\dfrac{\sqrt5}{2}$$

💡 두 점 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이가 만드는 직각삼각형의 빗변이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

반지름 구하기

잰 거리를 반지름의 합과 같다고 놓고 $r$에 대해 푼다.
$\dfrac{\sqrt5}{2}=r+\dfrac12$에서 양변에서 $\dfrac12$을 빼면 $r=\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$이다.
따라서 가운데 원의 반지름은 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$, 곧 선택지 (B)이다.

$$r=\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 방정식을 세우고 나면 뺄셈 한 번으로 반원의 반지름을 떼어내 답이 남는다.

[1] #1 6.G.A.3 정사각형의 중심을 원점에 둔다. 한 변의 길이가 $2$이므로 각 변은 중심에서 $1$만큼 떨어져 있고, 꼭짓점은 $(\pm1,\pm1)$에, 네

[2] #7 7.G.B.4 $y=-1$ 위에 있고 $x=-1$에서 $x=1$까지 뻗은 아래 변을 보자. 반원 두 개가 이 변을 나눠 쓰므로 두 지름을 합하면 길이 $2$가

[3] #4 6.EE.B.6 가운데 원의 반지름을 $r$라 하자. 이 원은 반원을 바깥쪽에서 접하므로 두 호는 두 중심을 잇는 선분 위의 한 점에서 만난다. 따라서 두 중심

[4] #7 8.G.B.8 $(0,0)$과 $\left(\tfrac12,-1\right)$ 사이의 가로 차이와 세로 차이에 피타고라스 정리를 쓴다. 가로 차이는 $\tfr

[5] #4 8.EE.C.7 잰 거리를 반지름의 합과 같다고 놓고 $r$에 대해 푼다. $\dfrac{\sqrt5}{2}=r+\dfrac12$에서 양변에서 $\dfrac12

검토

합리성 확인: 수치로 보면 $r=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx\dfrac{2.236-1}{2}\approx0.618$이다. 이는 반원의 반지름 $0.5$보다 크고(가운데 원이 그림에서 가장 큰 원이어야 한다) 반변 $1$보다는 작다(변을 뚫지 않고 정사각형 안에 들어가야 한다). 두 확인 모두 통과한다. 아깝게 빗나가는 선택지를 소수로 시험하면 (A) $\approx0.604$, (C) $\approx0.683$, (D) $\approx0.693$, (E) $\approx0.745$이며, 정확한 피타고라스 값과 맞는 것은 (B)뿐이다. (E)는 이미 너무 넓어 반원들을 비켜 앉을 수 없다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 직각삼각형을 바로 세워도 된다. 정사각형 중심에서 반원 중심 바로 아래까지 가로 변을, 변까지 세로 변을 내린다. 반원 중심은 지름의 절반인 $\tfrac12$만큼 옆으로, 반변인 $1$만큼 아래로 떨어져 있으므로 두 중심을 잇는 빗변은 $\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+1^2}=\dfrac{\sqrt5}{2}$이다. 이 빗변이 접선 조건에 의해 $r+\tfrac12$과 같으므로 $r=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$, 같은 답 (B)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (정사각형을 원점에 맞춰 꼭짓점을 $(\pm1,\pm1)$로, 가운데 원의 중심을 $(0,0)$으로 두는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (지름-반지름 관계로 각 반원의 반지름 $\tfrac12$과 중심 $\left(\tfrac12,-1\right)$을 구하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (미지의 반지름 $r$에 이름을 붙이고 접선 조건을 거리 $=r+\tfrac12$로 쓰는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (중심에서 중심까지 거리 $\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+1^2}=\dfrac{\sqrt5}{2}$을 계산하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($\dfrac{\sqrt5}{2}=r+\dfrac12$을 풀어 $r=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 바깥쪽에서 딱 접하는 두 원은 반지름의 합만큼 떨어져 있으니, 중심 사이 거리 $\tfrac{\sqrt5}{2}$를 재고 반원의 $\tfrac12$을 빼면 $\tfrac{\sqrt5-1}{2}$이 나온다.