AMC 10 · 2014 · #23

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

volume-conevolume-spheresimilar-trianglespythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: volume-spheresimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 원뿔대(잘린 직원뿔)에 구가 내접해 있다. 이 원뿔대의 부피는 구의 부피의 두 배이다. 원뿔대의 아래쪽 밑면의 반지름 대 위쪽 밑면의 반지름의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac32$

(B)

$\dfrac{1+\sqrt5}2$

(C)

$\sqrt3$

(D)

(E)

$\dfrac{3+\sqrt5}2$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 구가 원뿔대(잘린 직원뿔) 안에 꼭 맞게 들어가 윗면 원, 아랫면 원, 그리고 비스듬한 옆면에 동시에 닿아 있다. 원뿔대의 부피는 구의 부피의 정확히 두 배이다. 아랫면 반지름과 윗면 반지름의 비를 구하라.

주어진 것: 구가 원뿔대에 내접한다: 윗면, 아랫면, 옆면(비스듬한 면)에 모두 접한다.; 원뿔대의 부피 $= 2 \times$ 구의 부피.; 직원뿔대이므로 축을 지나는 단면은 좌우 대칭이다.; 선택지: (A) $\dfrac{3}{2}$, (B) $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, (C) $\sqrt{3}$, (D) $2$, (E) $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

구하는 것: 아랫면 반지름 $R$과 윗면 반지름 $r$의 비 $\dfrac{R}{r}$.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

원뿔 속의 구는 3차원 상태로는 다루기 어렵다. 그래서 핵심 수는 도구 #17(공간 상상하기)이다: 축을 지나는 수직 평면으로 입체를 자른다. 그러면 구는 이등변사다리꼴에 내접한 원이 되고 — 평면 그림(도구 #1) 위에서 접선 관계가 잴 수 있는 두 사실로 바뀐다: 높이는 구의 지름과 같고, 비스듬한 변은 두 밑면 반지름의 합과 같다. 세 반지름에 이름을 붙인 뒤(도구 #4), 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '원뿔대 부피 = 구 부피의 두 배'를 비 $R/r$에 대한 하나의 방정식으로 바꾸면 이차식으로 정리된다.

실행 — 정답: E

#17 공간 상상하기 7.G.A.3 단계 1

축을 지나게 자르기

원뿔대를 축을 지나는 수직 평면으로 자른다.
단면은 이등변사다리꼴이다: 아랫변 $2R$, 윗변 $2r$.
구는 그 사다리꼴에 내접하는 원으로 잘리고, 윗변·아랫변·양쪽 비스듬한 변에 모두 닿는다.
원이 두 수평변에 모두 닿으므로 지름이 높이 전체를 채운다.
따라서 $h = 2\rho$이고 여기서 $\rho$는 구의 반지름이다.

$$h = 2\rho$$

💡 평행한 두 판 사이에 둥근 공이 꼭 끼면 판 사이 간격은 정확히 공의 지름 하나이다.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 2

접선 길이로 비스듬한 변 구하기

사다리꼴의 오른쪽 절반을 보자.
아래 꼭짓점에서 원에 그은 두 접선 길이는 같고 그중 수평인 것은 길이 $R$이다.
위 꼭짓점에서도 두 접선이 같고 수평인 것은 길이 $r$이다.
따라서 비스듬한 변의 길이는 $R + r$이다.
이 변은 수평으로 $R - r$, 수직으로 $h$만큼 변하므로 피타고라스 정리로 $(R+r)^2 = (R-r)^2 + h^2$이다.
전개하면 $h^2 = 4Rr$이고, $h = 2\rho$를 쓰면 $\rho = \sqrt{Rr}$이다.

$$(R+r)^2 = (R-r)^2 + h^2 \;\Rightarrow\; h^2 = 4Rr \;\Rightarrow\; \rho = \sqrt{Rr}$$

💡 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 항상 같으므로, 비스듬한 모서리는 두 밑면 반지름을 이어 붙인 것과 같다.

#4 변수 도입하기 8.G.C.9 단계 3

두 부피 쓰기

표준 공식을 쓴다.
구: $V_{\text{sph}} = \tfrac{4}{3}\pi \rho^3 = \tfrac{4}{3}\pi (Rr)^{3/2}$.
원뿔대: $V_{\text{fr}} = \tfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$이고, $h = 2\sqrt{Rr}$를 대입하면 $V_{\text{fr}} = \tfrac{2\pi\sqrt{Rr}}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$이다.

$$V_{\text{sph}} = \tfrac{4}{3}\pi (Rr)^{3/2}, \qquad V_{\text{fr}} = \tfrac{2\pi\sqrt{Rr}}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$$

💡 원뿔대 부피는 단면 항 $R^2+Rr+r^2$을 쓰고, 구 부피는 익숙한 '3분의 4 파이 알 세제곱'이다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

부피 조건 적용하기

원뿔대 부피를 구 부피의 두 배와 같다고 놓는다: $\tfrac{2\pi\sqrt{Rr}}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = 2 \cdot \tfrac{4}{3}\pi (Rr)^{3/2}$.
모든 항이 $\tfrac{2\pi}{3}\sqrt{Rr}$를 가지므로 양변에서 그것을 나눈다($(Rr)^{3/2} = Rr\sqrt{Rr}$에 유의).
남는 식은 $R^2 + Rr + r^2 = 4Rr$, 즉 $R^2 - 3Rr + r^2 = 0$이다.

$$R^2 + Rr + r^2 = 4Rr \;\Rightarrow\; R^2 - 3Rr + r^2 = 0$$

💡 양변이 똑같은 지저분한 인수 $\sqrt{Rr}$를 공유하므로, 그것을 지우면 $R$과 $r$ 사이의 깔끔한 관계만 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 5

비 구하기

$R^2 - 3Rr + r^2 = 0$을 $r^2$으로 나누고 $x = \tfrac{R}{r}$로 놓으면 $x^2 - 3x + 1 = 0$이다.
근의 공식으로 $x = \tfrac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \tfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$이다.
$R > r$이므로 비는 $1$보다 커야 하고, 따라서 큰 근 $x = \tfrac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.62$를 택한다.
이것이 선택지 $\textbf{(E)}$이다.

$$x^2 - 3x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 전체 방정식이 비 $R/r$에만 의존하므로, 그것을 $x$로 부르면 두 미지수가 하나의 이차식으로 합쳐지고 깔끔한 무리수 답이 나온다.

[1] #17 7.G.A.3 원뿔대를 축을 지나는 수직 평면으로 자른다. 단면은 이등변사다리꼴이다: 아랫변 $2R$, 윗변 $2r$. 구는 그 사다리꼴에 내접하는 원으로 잘

[2] #1 8.G.B.7 사다리꼴의 오른쪽 절반을 보자. 아래 꼭짓점에서 원에 그은 두 접선 길이는 같고 그중 수평인 것은 길이 $R$이다. 위 꼭짓점에서도 두 접선이

[3] #4 8.G.C.9 표준 공식을 쓴다. 구: $V_{\text{sph}} = \tfrac{4}{3}\pi \rho^3 = \tfrac{4}{3}\pi (Rr)^{3

[4] #13 8.EE.C.7 원뿔대 부피를 구 부피의 두 배와 같다고 놓는다: $\tfrac{2\pi\sqrt{Rr}}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)

[5] #4 8.EE.A.2 $R^2 - 3Rr + r^2 = 0$을 $r^2$으로 나누고 $x = \tfrac{R}{r}$로 놓으면 $x^2 - 3x + 1 = 0$이다.

검토

합리성 확인: $x = \tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$를 다시 넣으면 $x^2 - 3x + 1 = 0$이 정확히 성립하고, 수치로 $x \approx 2.618$로 아랫면이 윗면보다 넓다는 조건에 맞게 $1$보다 넉넉히 크다. 부피 확인: $r = 1$, $R = 2.618$이면 높이는 $h = 2\sqrt{Rr} \approx 3.24$, 원뿔대 부피 $\approx 12.13$, 구 부피 $\approx 6.06$으로 비가 $2.00$이 되어 조건과 일치한다. 작은 근 $\tfrac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.38$은 역수(같은 모양을 뒤집어 본 것)일 뿐이며 $R>r$ 때문에 올바르게 버려진다. 답 (E)가 성립한다.

대안 접근: 접선 길이 대신 기하평균 사실을 바로 쓸 수도 있다: 원뿔대에 내접한 구는 항상 $\rho^2 = Rr$을 만족한다(구의 반지름은 두 밑면 반지름의 기하평균이다). 이는 빗변인 모선, 반지름 차, 높이가 이루는 직각삼각형에서 나온다. $\rho = \sqrt{Rr}$과 $h = 2\rho$를 부피 방정식에 넣으면 똑같은 이차식 $x^2 - 3x + 1 = 0$과 같은 답 (E)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.3 Describe the two-dimensional figures that result from slicing three-dimensional figures (축을 지나는 수직 단면을 잡아 원뿔대를 이등변사다리꼴로, 구를 내접원으로 바꾸는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (비스듬한 변 $R+r$, 수평 변화 $R-r$, 높이 $h$를 연결해 $h^2 = 4Rr$과 $\rho = \sqrt{Rr}$을 얻는 데 사용.)
8.G.C.9 Know the formulas for the volumes of cones, cylinders, and spheres and use them to solve problems (구 부피 $\tfrac{4}{3}\pi\rho^3$과 원뿔대(원뿔 기반) 부피 $\tfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$을 쓰는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable, including using the distributive property and collecting like terms (부피 방정식에서 공통 인수 $\tfrac{2\pi}{3}\sqrt{Rr}$를 지워 $R^2 - 3Rr + r^2 = 0$으로 줄이는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions and evaluate roots; know that $\sqrt{2}$ is irrational (무리수 $\sqrt{Rr}$과 이차식 $x^2 - 3x + 1 = 0$에서 나온 무리수 근 $\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$을 다루는 데 사용.)

⭐ 공이 든 원뿔을 한가운데로 곧게 잘라라: 공은 사다리꼴 안의 원이 되고, 높이는 공의 지름과 같고, 비스듬한 변은 두 반지름을 더한 것과 같다. 이 사실들이 '부피가 두 배'라는 조건을 $x^2 - 3x + 1 = 0$으로 바꾸고, 그 큰 근 $\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$이 답이다.