AMC 10 · 2014 · #23

학년 8 geometry-3d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
volume-conevolume-spheresimilar-trianglespythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: volume-spheresimilar-triangles
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
구가 원뿔대(잘린 직원뿔) 안에 꼭 맞게 들어가 윗면 원, 아랫면 원, 그리고 비스듬한 옆면에 동시에 닿아 있다. 원뿔대의 부피는 구의 부피의 정확히 두 배이다. 아랫면 반지름과 윗면 반지름의 비를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac32$
(B)
$\dfrac{1+\sqrt5}2$
(C)
$\sqrt3$
(D)
2
(E)
$\dfrac{3+\sqrt5}2$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

원뿔 속의 구는 3차원 상태로는 다루기 어렵다. 그래서 핵심 수는 도구 #17(공간 상상하기)이다: 축을 지나는 수직 평면으로 입체를 자른다. 그러면 구는 이등변사다리꼴에 내접한 원이 되고 — 평면 그림(도구 #1) 위에서 접선 관계가 잴 수 있는 두 사실로 바뀐다: 높이는 구의 지름과 같고, 비스듬한 변은 두 밑면 반지름의 합과 같다. 세 반지름에 이름을 붙인 뒤(도구 #4), 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '원뿔대 부피 = 구 부피의 두 배'를 비 R/r에 대한 하나의 방정식으로 바꾸면 이차식으로 정리된다.

1STEP 1

축을 지나게 자르기

축을 지나게 자르면 구는 밑변 2R, 윗변 2r인 사다리꼴에 내접한 반지름 ρ인 원이 되므로 h = 2ρ이다.

h = 2ρ
2STEP 2

접선 길이로 비스듬한 변 구하기

접선 길이가 같아 비스듬한 변은 R + r이므로 (R+r)² = (R-r)² + h²에서 h² = 4Rr, 즉 ρ = √(Rr)이다.

(R+r)² = (R-r)² + h² → h² = 4Rr → ρ = √(Rr)
3STEP 3

두 부피 쓰기

구: 43\frac{4}{3}π ρ³ = 43\frac{4}{3}π Rr√(Rr). 원뿔대는 h = 2√(Rr)를 넣어 23\frac{2}{3}π √(Rr) (R² + Rr + r²).

V_sph = 4/3π (Rr)³/2, V_fr = 2π√(Rr)/3(R² + Rr + r²)
4STEP 4

부피 조건 적용하기

원뿔대 = 2 × 구로 놓으면 공통인수 23\frac{2}{3}π√(Rr)가 약분되어 R² + Rr + r² = 4Rr, 즉 R² - 3Rr + r² = 0이다.

R² + Rr + r² = 4Rr → R² - 3Rr + r² = 0
5STEP 5

비 구하기

r²으로 나누고 x = R/r로 두면 x² - 3x + 1 = 0. R ＞ r이므로 큰 근 (3+√5)/2 ≈ 2.62, 곧 (E)이다.

x² - 3x + 1 = 0 → x = (3+√(5))/2 → (E)
정답
(3+√5)/2
x = (3+√(5))/2를 다시 넣으면 x² - 3x + 1 = 0이 정확히 성립하고, 수치로 x ≈ 2.618로 아랫면이 윗면보다 넓다는 조건에 맞게 1보다 넉넉히 크다. 부피 확인: r = 1, R = 2.618이면 높이는 h = 2√(Rr) ≈ 3.24, 원뿔대 부피 ≈ 12.13, 구 부피 ≈ 6.06으로 비가 2.00이 되어 조건과 일치한다. 작은 근 (3-√(5))/2 ≈ 0.38은 역수(같은 모양을 뒤집어 본 것)일 뿐이며 R ＞ r 때문에 올바르게 버려진다. 답 (E)가 성립한다.
💡핵심 정리

공이 든 원뿔을 한가운데로 곧게 잘라라: 공은 사다리꼴 안의 원이 되고, 높이는 공의 지름과 같고, 비스듬한 변은 두 반지름을 더한 것과 같다. 이 사실들이 '부피가 두 배'라는 조건을 x² - 3x + 1 = 0으로 바꾸고, 그 큰 근 (3+√(5))/2이 답이다.

  • 축을 지나게 자르기
  • 접선 길이로 비스듬한 변 구하기
  • 두 부피 쓰기
  • 부피 조건 적용하기
  • 비 구하기

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