AMC 10 · 2014 · #24

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

systematic-enumerationcomplementary-countingsymmetry-argumentcasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$1, 2, 3, 4, 5$ 의 수들을 원형으로 배열하려고 한다. 어떤 배열이 $\textit{bad}$ (나쁜 배열)라는 것은, $1$ 부터 $15$ 까지의 모든 $n$ 에 대하여 원 위에서 연속으로 나타나는 수들의 부분집합 중 합이 $n$ 이 되는 것을 항상 찾을 수 있다는 것이 성립하지 않는 경우를 말한다. 회전이나 반사에 의해서만 서로 다른 배열은 같은 것으로 본다. 서로 다른 나쁜 배열은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1,2,3,4,5$를 원 위에 배열한다. $1$부터 $15$까지의 목표 수 $n$에 대해, 원을 따라 이웃하여 붙어 있는 수들을 더할 수 있다(수 하나만 골라도 되고, 원 전체를 골라도 된다). 어떤 목표 $n$을 이 방법으로 도저히 만들 수 없다면 그 배열을 $\textit{나쁜}$ 배열이라 부른다. 회전하거나 뒤집어서 같아지는 배열은 하나로 센다. 나쁜 배열의 개수를 구하라.

주어진 것: 다섯 수 $1,2,3,4,5$가 원 위에 놓이고, 총합은 $1+2+3+4+5 = 15$이다; 쓸 수 있는 합은 원을 따라 연속으로 이어진 수들의 묶음(호)에서 나온다; 호는 수 하나일 수도, 원 전체일 수도, 그 사이 무엇이든 될 수 있다; 회전과 반사로 같아지는 그림은 같은 배열로 본다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: $1$과 $15$ 사이의 어떤 $n$을 만들지 못하는, 서로 다른 나쁜 배열의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

유한한 경우에서 "몇 가지 배열인가"라는 물음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부른다. 그러나 $120$가지를 그대로 나열하는 것은 낭비다. 먼저 두 방향으로 일을 줄인다. 도구 #16(관점 바꾸기/여집합)은 총합이 $15$임에 주목한다. 합이 $k$인 호를 잡으면 나머지 호의 합은 $15-k$이므로, $1$--$5$와 $10$--$15$는 저절로 만들어지고 의심스러운 목표는 $6\leftrightarrow 9$, $7\leftrightarrow 8$로 짝지어져 결국 $6$과 $7$만 확인하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 회전·반사 규칙과 함께 $120$가지를 서로 다른 원 $12$개로 줄인다. 그다음 도구 #2로 이 $12$개를 나열하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 $6$과 $7$을 모두 만드는 원을 지워 나쁜 배열만 남긴다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 1

항상 나오는 합 나열하기

다섯 수의 합은 $15$이다.
수 하나씩은 $1,2,3,4,5$를 준다.
네 수로 된 호는 원 전체에서 한 수를 뺀 것이므로 $15-1,15-2,15-3,15-4,15-5 = 14,13,12,11,10$, 즉 $10,11,12,13,14$를 준다.
원 전체는 $15$를 준다.
이 어느 것도 순서에 의존하지 않는다.
따라서 좋든 나쁘든 모든 배열은 이미 $1,2,3,4,5,10,11,12,13,14,15$를 만들 수 있다.

$$\{1,2,3,4,5\}\cup\{15-k : k=1..5\}\cup\{15\} = \{1,2,3,4,5,10,11,12,13,14,15\}$$

💡 수 하나, 하나만 뺀 넷, 원 전체는 자동이라 대부분의 목표는 문제가 될 수 없다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 2

6과 7만 어긋날 수 있다

아직 보장되지 않은 목표는 $6,7,8,9$뿐이다.
여집합을 쓰자.
어떤 호의 합이 $6$이면 원의 나머지도 하나의 호이고 그 합은 $15-6=9$이다.
그래서 $6$을 만들 수 있음은 $9$를 만들 수 있음과 같다.
마찬가지로 $7$을 만드는 것은 $8$을 만드는 것과 같다($15-7=8$).
따라서 어떤 배열이 나쁘다는 것은 정확히 $6$을 못 만들거나 $7$을 못 만드는 경우다.
이 둘만 확인하면 된다.

$$6 \leftrightarrow 15-6=9, \qquad 7 \leftrightarrow 15-7=8$$

💡 호와 나머지 전부는 항상 합이 $15$라서, 한 수를 만들면 그 짝도 저절로 만들어진다.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 3

서로 다른 원은 12개뿐

수를 순서대로 적는 방법은 $5! = 120$가지지만, 회전과 반사가 이들을 합쳐 버린다.
수 $1$을 꼭대기에 고정하면 회전 $5$가지가 사라진다.
각 원은 자기 거울상과도 같으므로 $2$배가 또 사라진다.
그래서 진짜로 서로 다른 원의 수는 $120 \div (5\times 2) = 12$이다.
이 열두 개만 확인 대상이다.

$$\dfrac{5!}{5\times 2} = \dfrac{120}{10} = 12$$

💡 원을 돌리거나 뒤집어도 이웃 관계는 그대로라, 그런 복사본은 한 번만 센다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.8 단계 4

각 원에서 6과 7 시험하기

$6$은 $1{+}5$, $2{+}4$, 또는 $1{+}2{+}3$으로 만들 수 있고, $7$은 $2{+}5$, $3{+}4$, 또는 $1{+}2{+}4$로 만들 수 있다.
그래서 어떤 원은 $1\&5$가 떨어져 있고, $2\&4$가 떨어져 있고, $1,2,3$이 연속 셋이 아닐 때에만 $6$을 못 만든다.
$7$도 마찬가지다.
$12$개 원을 모두 훑으면 열 개는 $6$과 $7$을 둘 다 만들어 좋은 배열이다.
정확히 두 개가 실패한다.
원 $1\text{-}2\text{-}5\text{-}3\text{-}4$는 이웃 쌍이 $\{1,2\},\{2,5\},\{5,3\},\{3,4\},\{4,1\}$이고 연속 셋 중 $1,2,3$이 없어 $6$을 결코 못 만든다(만들 수 있는 합은 $1,2,3,4,5,7,8,10,11,12,13,14,15$ — $6$과 $9$가 빠진다).
원 $1\text{-}3\text{-}2\text{-}4\text{-}5$는 $7$을 결코 못 만든다($7$과 $8$이 빠진다).

$$6 = 1{+}5 = 2{+}4 = 1{+}2{+}3, \qquad 7 = 2{+}5 = 3{+}4 = 1{+}2{+}4$$

💡 $6$과 $7$은 각각 만드는 방법이 세 가지뿐이라, 그 조각이 붙어 있는지 확인하는 일은 원마다 금방 끝난다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.8 단계 5

나쁜 원 세기

열두 원 중 둘이 나쁘다: $1\text{-}2\text{-}5\text{-}3\text{-}4$($6$을 만들 방법 없음)와 $1\text{-}3\text{-}2\text{-}4\text{-}5$($7$을 만들 방법 없음).
이 둘은 정말로 다른 원이다 — 하나는 $5$가 $2$와 $3$ 사이에 있고, 다른 하나는 $5$가 $4$와 $1$ 사이에 있어, 어느 쪽도 다른 쪽의 회전이나 반사가 아니다.
나쁜 배열의 개수는 $2$, 즉 선택지 (B)이다.

$$\#\{\text{나쁨}\} = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $6$을 막으면 한 원이, $7$을 막으면 다른 한 원이 강제되고, 세 번째 방법은 없다.

[1] #2 2.NBT.B.5 다섯 수의 합은 $15$이다. 수 하나씩은 $1,2,3,4,5$를 준다. 네 수로 된 호는 원 전체에서 한 수를 뺀 것이므로 $15-1,15-2

[2] #16 4.OA.A.3 아직 보장되지 않은 목표는 $6,7,8,9$뿐이다. 여집합을 쓰자. 어떤 호의 합이 $6$이면 원의 나머지도 하나의 호이고 그 합은 $15-6=

[3] #1 4.G.A.3 수를 순서대로 적는 방법은 $5! = 120$가지지만, 회전과 반사가 이들을 합쳐 버린다. 수 $1$을 꼭대기에 고정하면 회전 $5$가지가 사라

[4] #3 7.SP.C.8 $6$은 $1{+}5$, $2{+}4$, 또는 $1{+}2{+}3$으로 만들 수 있고, $7$은 $2{+}5$, $3{+}4$, 또는 $1{+}

[5] #3 7.SP.C.8 열두 원 중 둘이 나쁘다: $1\text{-}2\text{-}5\text{-}3\text{-}4$($6$을 만들 방법 없음)와 $1\text{-

검토

합리성 확인: 두 나쁜 원 모두 대충 짚은 것이 아니라 호의 합 전체를 나열해 확인했다. $1\text{-}2\text{-}5\text{-}3\text{-}4$의 경우 이웃 합은 $3,7,8,7,5$, 연속 셋의 합은 $8,10,12,8,7$이고, 여기에 $1$--$5$, $10$--$14$, $15$를 더하면 $\{1,2,3,4,5,7,8,10,11,12,13,14,15\}$ — 정말로 $6$과 $9$가 빠져 있다. $1\text{-}3\text{-}2\text{-}4\text{-}5$도 같은 셈으로 $7$과 $8$이 빠진다. $12$개 원을 컴퓨터처럼 전부 훑어도 정확히 이 둘만 나오므로, $2$는 어떤 경우를 놓쳐 적게 센 값이 아니며 선택지 안 (B)에 딱 들어맞는다.

대안 접근: $5$의 이웃에 주목한다(도구 #16). $6$을 막거나 $7$을 막기만 하면 되므로: $6$을 막으려면 $1\&5$를 떼고, $2\&4$를 떼고, $1,2,3$이 연속 셋이 되지 않게 해야 한다 — 이 조건을 원을 따라 밀고 나가면 정확히 $1\text{-}2\text{-}5\text{-}3\text{-}4$가 강제된다. $7$을 막으려면 거울상 조건이 정확히 $1\text{-}3\text{-}2\text{-}4\text{-}5$를 강제한다. 강제된 원이 둘이므로, 열두 개를 다 나열하지 않고도 답은 $2$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (각 호를 따라 수를 더하고 $15-k$를 계산해, 수 하나·하나만 뺀 호·원 전체가 $1$--$5$와 $10$--$15$를 덮음을 확인.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (여집합 관계 $k \leftrightarrow 15-k$로 $6$을 $9$와, $7$을 $8$과 짝지어, 문제 전체를 $6$과 $7$만 확인하는 일로 축소.)
4.G.A.3 Recognize a line of symmetry for a two-dimensional figure (원과 그 거울상(및 회전)을 같은 배열로 보아 $120$가지를 서로 다른 원 $12$개로 줄이기.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (서로 다른 원 $12$개를 빠짐없이 나열하고 $6$과 $7$을 둘 다 만드는 열 개를 지워, 나쁜 배열 둘만 남기기.)

⭐ 원 전체가 $15$이므로 어떤 호든 그 나머지와 합하면 $15$ — 그래서 $6$과 $7$만 빼고 모든 목표가 공짜이고, 서로 다른 원 열두 개 중 둘만 그중 하나를 못 만든다.