AMC 10 · 2014 · #24

학년 7 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
systematic-enumerationcomplementary-countingsymmetry-argumentcasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
1,2,3,4,5를 원 위에 배열한다. 1부터 15까지의 목표 수 n에 대해, 원을 따라 이웃하여 붙어 있는 수들을 더할 수 있다(수 하나만 골라도 되고, 원 전체를 골라도 된다). 어떤 목표 n을 이 방법으로 도저히 만들 수 없다면 그 배열을 나쁜 배열이라 부른다. 회전하거나 뒤집어서 같아지는 배열은 하나로 센다. 나쁜 배열의 개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

유한한 경우에서 "몇 가지 배열인가"라는 물음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 부른다. 그러나 120가지를 그대로 나열하는 것은 낭비다. 먼저 두 방향으로 일을 줄인다. 도구 #16(관점 바꾸기/여집합)은 총합이 15임에 주목한다. 합이 k인 호를 잡으면 나머지 호의 합은 15-k이므로, 1--5와 10--15는 저절로 만들어지고 의심스러운 목표는 6⇔ 9, 7⇔ 8로 짝지어져 결국 6과 7만 확인하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 회전·반사 규칙과 함께 120가지를 서로 다른 원 12개로 줄인다. 그다음 도구 #2로 이 12개를 나열하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 6과 7을 모두 만드는 원을 지워 나쁜 배열만 남긴다.

1STEP 1

항상 나오는 합 나열하기

다섯 수의 합은 15, 하나씩은 1,2,3,4,5, 넷은 10,11,12,13,14, 원 전체는 15 — 순서와 무관하다.

{1,2,3,4,5}∪{15-k : k=1..5}∪{15} = {1,2,3,4,5,10,11,12,13,14,15}
2STEP 2

6과 7만 어긋날 수 있다

의심스러운 목표는 6,7,8,9뿐인데, 합 6인 호는 9를, 7인 호는 8을 남긴다 — 결국 6과 7만 보면 된다.

6 ⇔ 15-6=9, 7 ⇔ 15-7=8
3STEP 3

서로 다른 원은 12개뿐

1을 꼭대기에 고정해 회전 5가지를, 거울상으로 2배를 지우면 120가지가 서로 다른 원 12개로 줄어든다.

5!/(5 × 2) = 120/10 = 12
4STEP 4

각 원에서 6과 7 시험하기

6은 1+5, 2+4, 1+2+3, 7은 2+5, 3+4, 1+2+4. 열두 원 중 1-2-5-3-4와 1-3-2-4-5만 실패한다.

6 = 1+5 = 2+4 = 1+2+3, 7 = 2+5 = 3+4 = 1+2+4
5STEP 5

나쁜 원 세기

열두 원 중 둘만 나쁘다: 1-2-5-3-4(6 불가), 1-3-2-4-5(7 불가). 서로 다른 원이므로 답은 (B).

#{나쁨} = 2 → (B)
정답
2
두 나쁜 원 모두 대충 짚은 것이 아니라 호의 합 전체를 나열해 확인했다. 1-2-5-3-4의 경우 이웃 합은 3,7,8,7,5, 연속 셋의 합은 8,10,12,8,7이고, 여기에 1--5, 10--14, 15를 더하면 {1,2,3,4,5,7,8,10,11,12,13,14,15} — 정말로 6과 9가 빠져 있다. 1-3-2-4-5도 같은 셈으로 7과 8이 빠진다. 12개 원을 컴퓨터처럼 전부 훑어도 정확히 이 둘만 나오므로, 2는 어떤 경우를 놓쳐 적게 센 값이 아니며 선택지 안 (B)에 딱 들어맞는다.
💡핵심 정리

원 전체가 15이므로 어떤 호든 그 나머지와 합하면 15 — 그래서 6과 7만 빼고 모든 목표가 공짜이고, 서로 다른 원 열두 개 중 둘만 그중 하나를 못 만든다.

  • 항상 나오는 합 나열하기
  • 6과 7만 어긋날 수 있다
  • 서로 다른 원은 12개뿐
  • 각 원에서 6과 7 시험하기
  • 나쁜 원 세기

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