AMC 10 · 2014 · #4

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationsratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

수지는 머핀 $4$ 개와 바나나 $3$ 개의 값을 지불한다. 캘빈은 머핀 $2$ 개와 바나나 $16$ 개를 사면서 수지의 두 배를 지불한다. 머핀 한 개는 바나나 한 개의 몇 배만큼 비싼가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{2}$

(B)

$\frac{5}{3}$

(C)

$\frac{7}{4}$

(D)

(E)

$\frac{13}{4}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수지는 머핀 $4$ 개와 바나나 $3$ 개를 삽니다. 캘빈은 머핀 $2$ 개와 바나나 $16$ 개를 사면서 정확히 두 배를 냅니다. 머핀은 개당 값이 모두 같고 바나나도 개당 값이 모두 같을 때, 머핀 값이 바나나 값의 몇 배인지 구하세요.

주어진 것: 수지의 비용은 머핀 $4$ 개와 바나나 $3$ 개에 대한 것; 캘빈의 비용은 머핀 $2$ 개와 바나나 $16$ 개에 대한 것; 캘빈은 수지의 두 배를 냄; 선택지: (A) $\dfrac{3}{2}$, (B) $\dfrac{5}{3}$, (C) $\dfrac{7}{4}$, (D) $2$, (E) $\dfrac{13}{4}$

구하는 것: 머핀 값과 바나나 값의 비

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

가격을 모르므로 도구 #4(변수 도입하기)로 머핀을 $m$, 바나나를 $b$ 로 이름 붙이고 각자의 합계를 식으로 씁니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "두 배"라는 말을 하나의 방정식으로 바꾸고, 같은 항을 모으면 비 $\dfrac{m}{b}$ 가 바로 나옵니다 — 두 가격이 소거되어 달러 금액이 필요 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검 필터입니다: 여기서는 머핀이 바나나보다 분명히 비싸므로 비는 $1$ 보다 커야 하고, 계산에 딱 맞는 깔끔한 값은 $\dfrac{5}{3}$ 뿐입니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

가격에 이름 붙이고 합계 쓰기

머핀 한 개의 값을 $m$, 바나나 한 개의 값을 $b$ 라 합니다.
머핀 $4$ 개와 바나나 $3$ 개를 산 수지의 비용은 $4m+3b$ 입니다.
머핀 $2$ 개와 바나나 $16$ 개를 산 캘빈의 비용은 $2m+16b$ 입니다.

$$\text{수지}=4m+3b,\qquad \text{캘빈}=2m+16b$$

💡 모르는 가격마다 문자를 붙이면 달러 금액을 추측하지 않고도 합계를 정확히 쓸 수 있습니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

"두 배"를 방정식으로 바꾸기

캘빈은 수지의 두 배를 내므로 캘빈의 합계는 수지의 합계의 $2$ 배와 같습니다.
$2m+16b=2(4m+3b)$ 로 쓰고, 분배법칙으로 오른쪽을 펼치면 $2(4m+3b)=8m+6b$ 입니다.

$$2m+16b=2(4m+3b)=8m+6b$$

💡 "두 배"는 곧 $2$ 를 곱하는 것이고, 그 $2$ 를 분배하면 괄호가 풀려 양쪽이 단순한 합이 됩니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

같은 항을 모아 비 읽어내기

머핀 항은 한쪽으로, 바나나 항은 다른 쪽으로 모읍니다.
양변에서 $2m$ 과 $6b$ 를 빼면 $10b=6m$ 이 됩니다.
양변을 $6b$ 로 나누어 비를 분리하면 $\dfrac{m}{b}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$ 입니다.
따라서 머핀은 바나나의 $\dfrac{5}{3}$ 배이고, 이는 선택지 (B)입니다.
이 값은 $1$ 보다 크므로 머핀이 더 비싸다는 앞서의 점검과 일치합니다.

$$2m+16b=8m+6b \;\Rightarrow\; 10b=6m \;\Rightarrow\; \dfrac{m}{b}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 머핀 항을 한쪽, 바나나 항을 다른 쪽에 모으고 나면 나눗셈 한 번으로 방정식이 곧바로 가격 비가 됩니다.

[1] #4 6.EE.A.2 머핀 한 개의 값을 $m$, 바나나 한 개의 값을 $b$ 라 합니다. 머핀 $4$ 개와 바나나 $3$ 개를 산 수지의 비용은 $4m+3b$ 입니

[2] #13 6.EE.A.3 캘빈은 수지의 두 배를 내므로 캘빈의 합계는 수지의 합계의 $2$ 배와 같습니다. $2m+16b=2(4m+3b)$ 로 쓰고, 분배법칙으로 오른쪽

[3] #4 8.EE.C.7 머핀 항은 한쪽으로, 바나나 항은 다른 쪽으로 모읍니다. 양변에서 $2m$ 과 $6b$ 를 빼면 $10b=6m$ 이 됩니다. 양변을 $6b$ 로

검토

합리성 확인: 답은 $1$ 보다 커야 합니다. 캘빈은 머핀을 수지보다 적게($2$ 개 대 수지의 $4$ 개) 사고 바나나를 잔뜩 사는데도 두 배를 내는데, 이는 머핀이 바나나보다 확실히 비쌀 때만 가능하기 때문입니다. 비 $\dfrac{5}{3}\approx1.67$ 은 $1$ 보다 넉넉히 크고 깔끔한 분수라 맞다는 신호입니다. 선택지 (D) $2$ 나 (E) $\dfrac{13}{4}$ 이면 머핀이 너무 비싸져 $10b=6m$ 에 맞지 않습니다.

대안 접근: 편한 바나나 값을 골라 확인합니다. $b=3$ 이라 하면 $m=\dfrac{5}{3}\cdot3=5$ 입니다. 수지는 $4(5)+3(3)=20+9=29$ 를 내고, 캘빈은 $2(5)+16(3)=10+48=58$ 을 냅니다. $58=2\times29$ 이므로 캘빈이 정확히 두 배를 내는 것이 맞고, 비 $\dfrac{m}{b}=\dfrac{5}{3}$ 과 선택지 (B)가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 ($m$ 과 $b$ 로 가격을 나타내고 합계 $4m+3b$ 와 $2m+16b$ 를 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 (분배법칙으로 $2(4m+3b)$ 를 $8m+6b$ 로 펼치는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식을 푼다 ($2m+16b=8m+6b$ 에서 같은 항을 모아 $10b=6m$ 을 얻고 비 $\dfrac{m}{b}=\dfrac{5}{3}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 모르는 가격마다 문자를 붙이고, "두 배"를 방정식으로 바꾼 뒤 같은 항을 모으세요 — 가격이 소거되며 비가 바로 나옵니다.