AMC 10 · 2014 · #5
학년 8 geometry-2d더그는 그림과 같이 크기가 같은 유리판 8개를 사용하여 정사각형 창문을 만든다. 각 유리판의 높이 대 너비의 비는 5 : 2이고, 유리판 둘레와 유리판 사이의 테두리 폭은 2인치이다. 이 정사각형 창문의 한 변의 길이는 몇 인치인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정사각형 창문을 크기가 같은 유리판 $8$ 개로 만듭니다. 유리판은 $2$ 행 $4$ 열로 배열되어 있고, 각 유리판의 세로 : 가로 비율은 $5:2$ 이며, 바깥 테두리와 판 사이의 모든 테두리는 폭이 $2$ 인치입니다. 이 정사각형 창문의 한 변의 길이를 구하세요.
주어진 것: 크기가 같은 유리판 $8$ 개가 $2$ 행 $4$ 열로 배열됨; 각 유리판에서 세로 : 가로 $= 5 : 2$; 바깥과 판 사이의 모든 테두리는 폭이 $2$ 인치; 창문 전체가 정사각형이므로 가로와 세로가 같음; 선택지: (A) $26$, (B) $28$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
구하는 것: 정사각형 창문의 한 변의 길이(인치)
이해
문제 재정리: 정사각형 창문을 크기가 같은 유리판 $8$ 개로 만듭니다. 유리판은 $2$ 행 $4$ 열로 배열되어 있고, 각 유리판의 세로 : 가로 비율은 $5:2$ 이며, 바깥 테두리와 판 사이의 모든 테두리는 폭이 $2$ 인치입니다. 이 정사각형 창문의 한 변의 길이를 구하세요.
주어진 것: 크기가 같은 유리판 $8$ 개가 $2$ 행 $4$ 열로 배열됨; 각 유리판에서 세로 : 가로 $= 5 : 2$; 바깥과 판 사이의 모든 테두리는 폭이 $2$ 인치; 창문 전체가 정사각형이므로 가로와 세로가 같음; 선택지: (A) $26$, (B) $28$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
유리판의 크기가 비율 $5:2$ 로만 주어지므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 배율 $x$ 하나를 정해 비율을 실제 길이로 바꿉니다: 가로 $2x$, 세로 $5x$. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽어 각 방향에 유리판과 테두리가 몇 개씩 있는지 셉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 개의 합 — 가로 전체와 세로 전체 — 으로 나누고, 각각을 유리판과 테두리로 구성합니다. 창문이 정사각형이므로 이 두 합을 같다고 놓으면 $x$ 에 대한 일차방정식 하나가 나옵니다.
실행 — 정답: A
6.RP.A.3 단계 1 비율을 길이로 바꾸기
- 각 유리판은 가로보다 세로가 길고, 세로 : 가로 $= 5 : 2$ 입니다.
- 배율 $x$ 하나를 정해 가로를 $2x$, 세로를 $5x$ 로 둡니다.
- 그러면 비율은 $5x : 2x = 5 : 2$ 로 요구 조건에 정확히 맞고, $x$ 가 구할 하나의 미지수가 됩니다.
💡 비율은 모양만 정하고 크기는 정하지 않으므로, 배율 하나가 실제 치수를 열어 줍니다.
6.EE.A.2 단계 2 가로 전체 더하기
- 가로 방향을 봅니다: 유리판 $4$ 개가 나란히 있고, 그 사이와 바깥을 테두리가 감쌉니다.
- 유리판이 $4$ 개면 세로 테두리는 $5$ 개입니다 — 맨 왼쪽 하나, 맨 오른쪽 하나, 판 사이 $3$ 개.
- 각 테두리는 $2$ 인치입니다.
- 그래서 가로는 판 가로 $4$ 개와 테두리 $5$ 개의 합입니다: $4(2x) + 5(2) = 8x + 10$.
💡 판 $n$ 개를 나란히 놓으면 테두리는 $n+1$ 개, 즉 판보다 하나 더 많습니다.
6.EE.A.2 단계 3 세로 전체 더하기
- 이제 세로 방향을 봅니다: 유리판 $2$ 개가 쌓여 있고 테두리가 감쌉니다.
- 유리판이 $2$ 개면 가로 테두리는 $3$ 개입니다 — 위, 가운데, 아래.
- 그래서 세로는 판 세로 $2$ 개와 테두리 $3$ 개의 합입니다: $2(5x) + 3(2) = 10x + 6$.
💡 판 $2$ 개를 쌓으면 테두리는 $3$ 개, 역시 판보다 하나 더 많습니다.
8.EE.C.7 단계 4 정사각형 조건으로 풀기
- 창문이 정사각형이므로 가로와 세로가 같습니다.
- 두 합을 같다고 놓고 풉니다: $8x + 10 = 10x + 6$.
- 양변에서 $8x$ 를 빼면 $10 = 2x + 6$, 다시 $6$ 을 빼면 $4 = 2x$, 따라서 $x = 2$ 입니다.
💡 정사각형이라는 사실이 가로와 세로를 같게 만들고, 그것이 바로 $x$ 를 결정하는 방정식입니다.
6.EE.A.2 단계 5 한 변의 길이 계산하기
- $x = 2$ 를 두 합 중 어느 것에든 넣습니다.
- 가로는 $8x + 10 = 8(2) + 10 = 26$ 이고, 확인 삼아 세로는 $10x + 6 = 10(2) + 6 = 26$ 입니다 — 서로 일치하여 정사각형임이 확인됩니다.
- 따라서 한 변의 길이는 $26$ 인치이고, 이는 선택지 (A)입니다.
💡 두 합이 같은 수로 나오는 것이 답이 맞다는 내장된 증명입니다.
6.RP.A.3 각 유리판은 가로보다 세로가 길고, 세로 : 가로 $= 5 : 2$ 입니다. 배율 $x$ 하나를 정해 가로를 $2x$, 세로를 $5x$ 로 둡니 6.EE.A.2 가로 방향을 봅니다: 유리판 $4$ 개가 나란히 있고, 그 사이와 바깥을 테두리가 감쌉니다. 유리판이 $4$ 개면 세로 테두리는 $5$ 개입니다 6.EE.A.2 이제 세로 방향을 봅니다: 유리판 $2$ 개가 쌓여 있고 테두리가 감쌉니다. 유리판이 $2$ 개면 가로 테두리는 $3$ 개입니다 — 위, 가운데 8.EE.C.7 창문이 정사각형이므로 가로와 세로가 같습니다. 두 합을 같다고 놓고 풉니다: $8x + 10 = 10x + 6$. 양변에서 $8x$ 를 빼면 $ 6.EE.A.2 $x = 2$ 를 두 합 중 어느 것에든 넣습니다. 가로는 $8x + 10 = 8(2) + 10 = 26$ 이고, 확인 삼아 세로는 $10x + 검토
합리성 확인: 가로($8x+10$)와 세로($10x+6$)라는 서로 독립적인 두 합이 $x=2$ 에서 모두 $26$ 이 되는데, 이것이 바로 정사각형 조건이므로 강력한 내부 검증이 됩니다. 그림으로 다시 읽어도 맞습니다: $x=2$ 이면 각 판은 가로 $4$, 세로 $10$ 이고, 넓은 판 $4$ 개에 $2$ 인치 테두리 $5$ 개를 더하면 $16+10=26$, 긴 판 $2$ 개에 테두리 $3$ 개를 더하면 $20+6=26$ 입니다. 값 $26$ 은 가장 작은 선택지로, 작은 배율 $x=2$ 와 잘 맞습니다.
대안 접근: 대수를 건너뛰고 가로와 세로가 같다는 생각으로 구체적인 수를 대입해 봅니다. 판 가로 $4$, 세로 $10$ (비율 $5:2$)로 해 보면 가로 $= 4\cdot4 + 5\cdot2 = 26$, 세로 $= 2\cdot10 + 3\cdot2 = 26$ 입니다. 일치하므로 이것이 정사각형이고 한 변은 $26$ 으로 (A)가 확인됩니다. 만약 추측한 값에서 가로와 세로가 어긋나면 둘이 같아질 때까지 판 크기를 다시 조정하면 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.RP.A.3실생활 및 수학 문제를 비와 비율 추론으로 해결한다 (유리판 비율 $5:2$ 를 배율 하나로 길이 $5x$ 와 $2x$ 로 바꾸는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 (판과 테두리의 개수로부터 가로 $8x+10$ 과 세로 $10x+6$ 을 쓰고, $x=2$ 에서 값을 계산하는 데 사용.)8.EE.C.7일변수 일차방정식을 푼다 (양변에 변수가 있는 $8x+10 = 10x+6$ 을 풀어 $x=2$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 판 크기를 변수 하나로 이름 붙이고, 판과 테두리를 더해 가로와 세로를 만든 뒤, 창문이 정사각형이니 둘을 같다고 놓으세요.
⭐ 판 크기를 변수 하나로 이름 붙이고, 판과 테두리를 더해 가로와 세로를 만든 뒤, 창문이 정사각형이니 둘을 같다고 놓으세요.
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