AMC 10 · 2014 · #5

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

크기가 같은 유리판 8 개를 2 행 4 열로 배열하여 정사각형 창문을 만듭니다. 각 유리판의 세로 : 가로 비율은 5 : 2 이고, 바깥과 판 사이의 모든 테두리는 폭이 2 인치입니다. 이 정사각형 창문의 한 변의 길이(인치)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

유리판의 크기가 비율 5:2 로만 주어지므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 배율 x 하나를 정해 비율을 실제 길이로 바꿉니다: 가로 2x, 세로 5x. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽어 각 방향에 유리판과 테두리가 몇 개씩 있는지 셉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 개의 합 — 가로 전체와 세로 전체 — 으로 나누고, 각각을 유리판과 테두리로 구성합니다. 창문이 정사각형이므로 이 두 합을 같다고 놓으면 x 에 대한 일차방정식 하나가 나옵니다.

1STEP 1

비율을 길이로 바꾸기

비율은 모양만 정하므로 배율 x 하나를 도입합니다: 각 판은 가로 2x, 세로 5x.

판 가로 = 2x, 판 세로 = 5x

2STEP 2

가로 전체 더하기

가로에는 판 4 개와 테두리 5 개(판보다 하나 많음): 가로 = 4(2x) + 5(2) = 8x + 10.

가로 = 4(2x) + 5(2) = 8x + 10

3STEP 3

세로 전체 더하기

세로에는 판 2 개와 테두리 3 개(위, 가운데, 아래): 세로 = 2(5x) + 3(2) = 10x + 6.

세로 = 2(5x) + 3(2) = 10x + 6

4STEP 4

정사각형 조건으로 풀기

정사각형이니 가로 = 세로, 즉 8x + 10 = 10x + 6이고 2x = 4, 따라서 x = 2.

8x + 10 = 10x + 6 → 4 = 2x → x = 2

5STEP 5

한 변의 길이 계산하기

x = 2이면 두 합이 일치합니다: 8(2) + 10 = 26 = 10(2) + 6, 한 변은 26 인치, 선택지 (A).

한 변 = 8(2) + 10 = 26 = 10(2) + 6 → (A)

정답

가로(8x+10)와 세로(10x+6)라는 서로 독립적인 두 합이 x=2 에서 모두 26이 되는데, 이것이 바로 정사각형 조건이므로 강력한 내부 검증이 됩니다. 그림으로 다시 읽어도 맞습니다: x=2이면 각 판은 가로 4, 세로 10이고, 넓은 판 4 개에 2 인치 테두리 5 개를 더하면 16+10=26, 긴 판 2 개에 테두리 3 개를 더하면 20+6=26입니다. 값 26은 가장 작은 선택지로, 작은 배율 x=2와 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

판 크기를 변수 하나로 이름 붙이고, 판과 테두리를 더해 가로와 세로를 만든 뒤, 창문이 정사각형이니 둘을 같다고 놓으세요.

비율을 길이로 바꾸기
가로 전체 더하기
세로 전체 더하기
정사각형 조건으로 풀기
한 변의 길이 계산하기

비율을 길이로 바꾸기

가로 전체 더하기

세로 전체 더하기

정사각형 조건으로 풀기

한 변의 길이 계산하기

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