AMC 10 · 2014 · #9

학년 7 arithmetic
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
fraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
실수 w 와 z 에 대해, 두 수의 역수로 만든 복잡한 분수가 1w+1z1w−1z=2014\frac{\frac{1}{w}+\frac{1}{z}}{\frac{1}{w}-\frac{1}{z}} = 2014 을 만족합니다. w+zw−z\frac{w+z}{w-z} 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-2014
(B)
$\frac{-1}{2014}$
(C)
$\frac{1}{2014}$
(D)
1
(E)
2014

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

주어진 분수 안에는 또 다른 분수가 숨어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눕니다: 먼저 안쪽의 frac1w 과 frac1z 을 없애 식을 깔끔한 비 (w+z)/(z-w)=2014로 바꾸고, 그것을 목표 (w+z)/(w-z) 옆에 나란히 놓아 분모만 뒤집혔다는 것을 알아챕니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 w=2, z=1 같은 쉬운 수를 넣어 결과를 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 부호를 빠뜨렸을 때만 나오는 함정 1/2014과 2014를 지웁니다.

1STEP 1

안쪽 분수 없애기

위아래에 wz 를 곱하면 1w\frac{1}{w} 은 z, 1z\frac{1}{z} 은 w 가 되어 식은 z+wz−w\frac{z+w}{z-w} = 2014이 됩니다.

(frac1w+frac1z)/(frac1w-frac1z)=((frac1w+frac1z)wz)/((frac1w-frac1z)wz)=(z+w)/(z-w)=2014
2STEP 2

목표 식과 나란히 비교하기

목표 w+zw−z\frac{w+z}{w-z} 와 나란히 놓으면 분자는 w+z=z+w 로 같지만 분모는 w-z=-(z-w) 로 반대입니다.

w+z=z+w, w-z=-(z-w)
3STEP 3

분모가 반대면 부호가 뒤집힌다

분모의 음의 부호가 앞으로 빠져나와 w+zw−z\frac{w+z}{w-z} = −z+wz−w-\frac{z+w}{z-w} = -2014, 선택지 (A)입니다.

(w+z)/(w-z)=(z+w)/(-(z-w))=-(z+w)/(z-w)=-(2014)=-2014 → (A)
정답
-2014
목표 식은 주어진 식과 분모의 뺄셈 순서만 바뀐 것인데, 그 순서 바꿈은 분수의 부호를 뒤집으므로 답이 2014의 정확한 반대인 -2014 로 나오는 것이 자연스럽습니다 — 선택지 (A)와 일치합니다. 함정 선택지 12014\frac{1}{2014} 과 2014는 부호 뒤집기를 잊거나 잘못 역수를 취할 때 나오며, 둘 다 지워집니다.
💡핵심 정리

작은 분수를 먼저 없애고 나면 분모의 순서만 반대인 것을 알 수 있는데, 뺄셈 순서를 뒤집으면 부호가 바뀌므로 답은 2014의 반대입니다.

  • 안쪽 분수 없애기
  • 목표 식과 나란히 비교하기
  • 분모가 반대면 부호가 뒤집힌다

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