AMC 10 · 2014 · #9
학년 7 arithmetic실수 w와 z가 w1−z1w1+z1=2014. 을 만족할 때, w−zw+z의 값은 얼마인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 실수 $w$ 와 $z$ 에 대해, $\frac1w$ 과 $\frac1z$ 로 만든 복잡한 분수가 $2014$ 와 같습니다. 이 사실을 이용해 $\dfrac{w+z}{w-z}$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $\cfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} = 2014$; $w$ 와 $z$ 는 분모에 들어가는 실수이므로 둘 다 $0$ 이 아님; 선택지: (A) $-2014$, (B) $\dfrac{-1}{2014}$, (C) $\dfrac{1}{2014}$, (D) $1$, (E) $2014$
구하는 것: $\dfrac{w+z}{w-z}$ 의 값
이해
문제 재정리: 실수 $w$ 와 $z$ 에 대해, $\frac1w$ 과 $\frac1z$ 로 만든 복잡한 분수가 $2014$ 와 같습니다. 이 사실을 이용해 $\dfrac{w+z}{w-z}$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $\cfrac{\frac{1}{w} + \frac{1}{z}}{\frac{1}{w} - \frac{1}{z}} = 2014$; $w$ 와 $z$ 는 분모에 들어가는 실수이므로 둘 다 $0$ 이 아님; 선택지: (A) $-2014$, (B) $\dfrac{-1}{2014}$, (C) $\dfrac{1}{2014}$, (D) $1$, (E) $2014$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
주어진 분수 안에는 또 다른 분수가 숨어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눕니다: 먼저 안쪽의 $\frac1w$ 과 $\frac1z$ 을 없애 식을 깔끔한 비 $\dfrac{w+z}{z-w}=2014$ 로 바꾸고, 그것을 목표 $\dfrac{w+z}{w-z}$ 옆에 나란히 놓아 분모만 뒤집혔다는 것을 알아챕니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $w=2,\,z=1$ 같은 쉬운 수를 넣어 결과를 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 부호를 빠뜨렸을 때만 나오는 함정 $\tfrac{1}{2014}$ 과 $2014$ 를 지웁니다.
실행 — 정답: A
7.NS.A.2 단계 1 안쪽 분수 없애기
- 큰 분수의 분자와 분모에 $wz$ 를 곱합니다.
- 위아래에 같은 $0$ 이 아닌 양을 곱하므로 분수의 값은 그대로지만, 안쪽 조각은 정리됩니다: $\frac1w\cdot wz = z$, $\frac1z\cdot wz = w$.
- 분자 $\frac1w+\frac1z$ 은 $z+w$ 가 되고, 분모 $\frac1w-\frac1z$ 은 $z-w$ 가 됩니다.
💡 분수의 위아래에 같은 $0$ 이 아닌 수를 곱하면 값은 그대로지만 안쪽의 작은 분수는 사라집니다.
7.EE.A.1 단계 2 목표 식과 나란히 비교하기
- 이제 식은 $\dfrac{z+w}{z-w}=2014$ 이고, 목표는 $\dfrac{w+z}{w-z}$ 입니다.
- 조각별로 비교합니다.
- 덧셈은 순서를 바꿔 써도 되므로 분자는 같습니다: $w+z=z+w$.
- 뺄셈은 순서를 뒤집으면 부호가 바뀌므로 분모는 서로 반대입니다: $w-z=-(z-w)$.
💡 뺄셈의 순서를 뒤집으면 부호만 바뀌므로, $w-z$ 는 정확히 $z-w$ 의 반대입니다.
7.NS.A.2 단계 3 분모가 반대면 부호가 뒤집힌다
- 반대 부호의 분모를 목표 식에 넣으면 아는 비의 반대가 됩니다.
- $z-w$ 대신 $-(z-w)$ 로 나누면 앞으로 음의 부호가 빠져나옵니다: $\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$.
- 그래서 $\dfrac{w+z}{w-z}=\dfrac{z+w}{-(z-w)}=-\dfrac{z+w}{z-w}=-2014$ 입니다.
- 이는 선택지 (A)입니다.
💡 분모에 붙은 음의 부호는 분수 전체 앞에 붙은 음의 부호와 같습니다.
7.NS.A.2 큰 분수의 분자와 분모에 $wz$ 를 곱합니다. 위아래에 같은 $0$ 이 아닌 양을 곱하므로 분수의 값은 그대로지만, 안쪽 조각은 정리됩니다: 7.EE.A.1 이제 식은 $\dfrac{z+w}{z-w}=2014$ 이고, 목표는 $\dfrac{w+z}{w-z}$ 입니다. 조각별로 비교합니다. 덧셈은 순서 7.NS.A.2 반대 부호의 분모를 목표 식에 넣으면 아는 비의 반대가 됩니다. $z-w$ 대신 $-(z-w)$ 로 나누면 앞으로 음의 부호가 빠져나옵니다: $ 검토
합리성 확인: 목표 식은 주어진 식과 분모의 뺄셈 순서만 바뀐 것인데, 그 순서 바꿈은 분수의 부호를 뒤집으므로 답이 $2014$ 의 정확한 반대인 $-2014$ 로 나오는 것이 자연스럽습니다 — 선택지 (A)와 일치합니다. 함정 선택지 $\tfrac{1}{2014}$ 과 $2014$ 는 부호 뒤집기를 잊거나 잘못 역수를 취할 때 나오며, 둘 다 지워집니다.
대안 접근: 구체적인 수로 추측하고 확인합니다. $w=2$, $z=1$ 을 넣으면 $\frac1w+\frac1z=\tfrac32$, $\frac1w-\frac1z=-\tfrac12$ 이므로 복잡한 분수는 $\tfrac{3/2}{-1/2}=-3$ 입니다 — $2014$ 는 아니지만 구조만 보면 충분합니다. 목표 $\dfrac{w+z}{w-z}=\dfrac{3}{1}=3$ 은 $-3$ 의 정확한 반대입니다. 따라서 목표는 언제나 주어진 비의 반대이며, $-2014$ 임이 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.NS.A.2유리수의 곱셈과 나눗셈에 대한 이해를 확장하고 적용한다 (복잡한 분수의 분자와 분모에 $wz$ 를 곱해 안쪽 분수를 없애고, 마지막에 $\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$ 로 부호를 뒤집는 데 사용.)7.EE.A.1연산의 성질을 적용해 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개한다 ($w+z=z+w$ 와 $w-z=-(z-w)$ 를 알아채 주어진 비를 목표 식과 맞추는 데 사용.)
⭐ 작은 분수를 먼저 없애고 나면 분모의 순서만 반대인 것을 알 수 있는데, 뺄셈 순서를 뒤집으면 부호가 바뀌므로 답은 $2014$ 의 반대입니다.
⭐ 작은 분수를 먼저 없애고 나면 분모의 순서만 반대인 것을 알 수 있는데, 뺄셈 순서를 뒤집으면 부호가 바뀌므로 답은 $2014$ 의 반대입니다.
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