AMC 10 · 2015 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremratio-proportionarea-rectangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 직사각형의 길이와 너비의 비가 4:3이다. 대각선의 길이는 d이다. 넓이를 어떤 고정된 수 k에 대해 k d²로 나타낼 수 있다. 그 수 k를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{7}$

(B)

$\frac{3}{7}$

(C)

$\frac{12}{25}$

(D)

$\frac{16}{25}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

크기는 주어지지 않고 모양만 주어졌으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 변을 4x와 3x로 쓰면 하나의 미지수 x가 미지의 크기를 담으면서 4:3 모양을 고정한다. 도구 #1(그림 그리기)은 대각선이 직사각형을 직각삼각형으로 자르는 모습을 보여 주며, 이것이 변과 d를 잇는 다리다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 "넓이 = k d²"를 x에 대한 식으로 바꾸면 x가 약분되어 문제가 묻는 순수한 수 k만 남는다.

1STEP 1

변 하나의 변수로 이름 붙이기

변을 4x와 3x로 두면 4:3 비가 저절로 성립합니다.

길이=4x, 너비=3x

2STEP 2

대각선의 직각삼각형 이용하기

피타고라스 정리로 d² = (4x)² + (3x)² = 25x²입니다.

d² = (4x)² + (3x)² = 25x²

3STEP 3

넓이를 쓰고 x 약분하기

넓이 = 12x² = $\frac{12}{25}$ d²이므로 k = $\frac{12}{25}$ — 선택지 (C).

넓이=12x² = 12·d²/25 = 12/25d² → k=12/25 (C)

정답

12/25

구체적인 4 × 3 직사각형(x=1)으로 확인하자: 넓이는 12, 대각선은 √(16+9)=5이므로 d²=25. 그러면

\frac{\text{넓이}}{d²}

\frac{12}{25}

로 k와 정확히 일치한다. 값도 타당하다: 직사각형은 대각선 위에 세운 정사각형의 절반보다 적게 채우므로 k는

\frac{1}{2}

보다 작고, 따라서 더 큰 선택지 (D)

\frac{16}{25}

와 (E)

\frac{3}{4}

는 배제된다. 분모의 25는 3-4-5 삼각형의 지문으로 (C)를 가리킨다.

💡핵심 정리

변을 4x, 3x로 부르면 대각선은 d²=25x², 넓이는 12x²이 되어 넓이는 항상 d²의 $\frac{12}{25}$ 이다.

변 하나의 변수로 이름 붙이기
대각선의 직각삼각형 이용하기
넓이를 쓰고 x 약분하기

변 하나의 변수로 이름 붙이기

대각선의 직각삼각형 이용하기

넓이를 쓰고 x 약분하기

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