AMC 10 · 2015 · #12

학년 8 arithmetic
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
quadratic-equationscompleting-the-squareabsolute-value formula-substitution ↑ 선수 지식: quadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
서로 다른 두 점 (√π, a)와 (√π, b)가 모두 곡선 y² + x⁴ = 2x²y + 1 위에 있다. 두 점은 같은 x값 √π를 가지므로, a와 b는 그 x에서 곡선이 허용하는 두 y값이다. 그 두 y값이 얼마나 떨어져 있는지 |a−b|를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$\frac{\pi}{2}$
(C)
2
(D)
$\sqrt{1+\pi}$
(E)
$1 + \sqrt{\pi}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 점은 고정된 x=√(π)에서 식을 만족하는 두 y값일 뿐이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 y를 하나의 미지수로 보고 곡선을 y에 대한 한 개의 식으로 바꾼다. y² + x⁴ - 2x² y는 엉켜 보이므로 도구 #15(다르게 정리하기)로 항들을 다시 묶으면 완전제곱이 드러나 문제 전체가 무너진다. 먼저 x²=π를 대입하면(도구 #9, 더 쉬운 문제로 줄이기) 추상적인 x⁴와 x²이 구체적인 수 π²과 π로 바뀌어, 남는 것은 y뿐이다.

1STEP 1

공통 x값 대입하기

(√π)²=π이므로 x²=π와 x⁴=π²을 곡선의 식에 대입합니다.

y² + π² = 2π y + 1
2STEP 2

모든 항을 한쪽으로 모으기

정리하면 y²−2πy+π²=1로, 완전제곱식의 모양입니다.

y² - 2π y + π² = 1
3STEP 3

완전제곱 알아보기

이 식은 정확히 (y−π)²=1입니다.

(y-π)² = 1
4STEP 4

제곱근을 취해 두 y값 구하기

따라서 y−π=±1이므로 y = π+1과 y = π−1입니다.

y-π = ± 1 → y = π+1 또는 y = π-1
5STEP 5

빼서 간격 구하기

빼면 |a−b| = 2 — 선택지 (C).

|a-b| = |(π+1)-(π-1)| = 2 → (C)
정답
2
(y−π)² = 1 → y = π±1 → |a−b| = 2
최종 답에서 π가 사라진 점에 주목하자. 이는 당연하다: 곡선 (y−x²)²=1은 항상 두 y값을 x²보다 한 단위 위와 한 단위 아래에 두므로, x가 무엇이든 둘은 2만큼 떨어져 있다. 그래서 π가 섞인 선택지 (B) π/2, (D) √(1+π), (E) 1+√π가 즉시 배제된다. a와 b가 서로 다름(π+1 ≠ π−1)도 문제 조건대로 확인되고, 간격이 1(선택지 A)이려면 제곱이 1이 아니라 1/4이어야 한다. 따라서 일관된 값은 2뿐이다.
💡핵심 정리

x값을 대입하고 식을 (y−π)²=1로 정리하면, 두 높이는 π±1 — 정확히 2만큼 떨어져 있다.

  • 공통 x값 대입하기
  • 모든 항을 한쪽으로 모으기
  • 완전제곱 알아보기
  • 제곱근을 취해 두 y값 구하기
  • 빼서 간격 구하기

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