AMC 10 · 2015 · #14

학년 7 geometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

arc-measureratio-proportionrotation-isometry physical-representation ↑ 선수 지식: arc-measureratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름 10인 작은 원판이 반지름 20인 시계 바깥에 놓여 12시 지점에서 맞닿아 있고, 칠해진 화살표가 똑바로 위를 가리킨다. 원판이 미끄러지지 않고 시계 둘레를 시계 방향으로 굴러간다. 화살표가 다시 처음으로 똑바로 위를 가리키는 순간, 원판이 닿아 있는 시계 위치를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2 o' clock

(B)

3 o' clock

(C)

4 o' clock

(D)

6 o' clock

(E)

8 o' clock

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

이 문제는 원판이 공간에서 얼마나 돌았는지를 묻는 것이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 핵심이다: 화살표는 원판이 땅을 기준으로 한 바퀴를 다 돌았을 때 다시 위를 가리키는데, 굴러가는 원판은 두 가지에서 동시에 돈다 — 표면을 따라 구르면서 돌고, 그 돌던 것을 시계 둘레를 돌면서 함께 가져간다(동전 회전 효과). 도구 #8(단위 살펴보기)은 둘레와 원판 중심이 그리는 경로를 비교해 "얼마나 도는가"를 깔끔한 비로 바꾸어 셀 수 있게 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 마지막 단계를 잡아 준다: 한 바퀴 중 얼마만큼 갔는지를 시계판의 시각 눈금으로 옮긴다.

1STEP 1

화살표가 위 = 한 바퀴 돔

화살표는 원판이 공간에서 360° 온전히 돌아야만 다시 위를 가리킨다.

화살표 다시 위 ⇔ 원판 총 회전 = 360°

2STEP 2

한 바퀴에 몇 번 도는지 세기

원판 중심의 경로는 원판 둘레의 3배라서, 한 바퀴에 3번 돈다.

(2π(20+10))/2π(10) = 60π/20π = 3 바퀴당 회전 수

3STEP 3

한 번 회전은 한 바퀴의 1/3

한 번 회전은 한 바퀴의 1/3이므로, 닿는 점은 1/3× 360° = 120°만큼 움직인다.

(1 회전)/(3 회전) = 1/3 (한 바퀴 중) → 1/3× 360° = 120°

4STEP 4

시계 위치 읽어 내기

12시간의 3분의 1은 1/3× 12 = 4시간: 12시에서 그만큼 가면 4시, 즉 선택지 (C)다.

1/3× 12시간 = 12시에서 4시간 → 4시 → (C)

정답

4 o' clock

구르는 거리만 따지면 원판의 같은 점이 다시 닿는 것은 한 바퀴의 1/2 지점, 즉 6시다(시계 둘레가 원판 둘레의 두 배이므로) — 그런데 화살표는 그보다 일찍, 4시에서 다시 위로 온다. 시계를 휘도는 것이 회전을 하나 더 보태기 때문이다. 4시가 6시보다 먼저라는 이 순서는 동전 회전 효과가 예측하는 바로 그것이라, 답이 우연이 아니라 일관됨을 보여 준다. 120° 결과 또한 시계를 똑같은 4시간짜리 세 호로 나누는데, 이는 한 바퀴당 3번 회전이라는 사실과 맞아떨어진다. 선택지 (A) 2시와 (B) 3시는 한 바퀴 돌기엔 너무 이르고, (D) 6시와 (E) 8시는 한 바퀴보다 더 돌아야 한다.

💡핵심 정리

굴러가는 원판은 두 가지로 동시에 돌아 한 바퀴에 3번 돈다 — 화살표는 첫 회전만에 다시 위로, 4시에 온다.

화살표가 위 = 한 바퀴 돔
한 바퀴에 몇 번 도는지 세기
한 번 회전은 한 바퀴의 1/3
시계 위치 읽어 내기

화살표가 위 = 한 바퀴 돔

한 바퀴에 몇 번 도는지 세기

한 번 회전은 한 바퀴의 1/3

시계 위치 읽어 내기

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