AMC 10 · 2015 · #15
학년 7 rate-ratio linear-diophantinegcdfraction-arithmetic convert-to-algebrasimons-favorite-factoring-trick ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticgcd
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
x와 y가 서로소인 양의 정수일 때 만들 수 있는 모든 분수 x/y를 생각한다. 분자와 분모에 각각 1을 더한다. 새 분수의 값이 원래 값보다 정확히 10% 커지는 경우를 찾아, 그런 분수가 몇 개인지 센다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
infinitely many
AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 변수 도입하기
분수가 이미 x와 y라는 이름을 주므로 '10% 커진다'는 말을 x와 y 사이의 식으로 바꾼다. 이 식에는 xy 항이 섞여 있으니 인수분해 형태로 다시 정리하면 '두 정수의 곱이 110'이라는 문제로 바뀐다. 그다음 곱이 110이 되는 인수쌍을 나열하고, 서로소가 아닌 경우를 지운다.
1STEP 1
10% 조건을 식으로
10% 증가는 11/10을 곱하는 것이다.
(x+1)/(y+1) = 11/10·x/y
10% 커진다는 것은 원래 값에 그 1/10을 더하는 것이므로 곱하는 수가 11/10이 된다.
7.RP.A.3Convert To Algebra2STEP 2
분수 없애기
교차 곱셈으로 분수를 없애면 x와 y의 방정식 하나만 남는다.
10y(x+1) = 11x(y+1) → 10xy+10y = 11xy+11x → xy+11x-10y = 0
교차 곱셈으로 분수를 없애면 정수 계산만으로 다룰 수 있다.
7.EE.B.4Use Matrix Logic3STEP 3
곱 형태로 인수분해
식을 정리하고 상수를 더하면 곱이 110인 형태가 된다.
xy+11x-10y = 0 → (10-x)(y+11) = 110
합을 곱으로 바꾸면 어려운 식 하나가 '두 수의 곱이 110' 찾기로 단순해진다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways4STEP 4
인수쌍 나열하기
110의 약수를 맞추면 후보 세 쌍이 나온다: (5,11), (8,44), (9,99).
110 = 5· 22 = 2· 55 = 1· 110
110의 약수쌍만 가능하므로 확인할 후보는 몇 개뿐이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List5STEP 5
서로소인 분수만 남기기
서로소인 것은 (5,11)뿐이므로 답은 정확히 하나, (B)이다.
gcd(5,11)=1, 6/12=1/2 = 1.1·5/11
서로소 규칙이 후보들을 걸러 실제로 세어야 할 단 하나의 분수만 남긴다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities정답
1
(5,11)을 다시 넣으면 5/11은 약 0.4545이고 6/12 = 0.5으로 정확히 10% 증가다(0.4545 x 1.1 = 0.5). 나머지 인수쌍은 식이 아니라 서로소 규칙에서만 탈락했으므로 대수 계산이 옳았음을 확인해 주며, 유효한 분수는 정확히 하나만 남는다.
💡핵심 정리
'10% 더 크게'를 11/10 곱하기로 바꾸고 곱이 110인 형태로 인수분해한 뒤, 서로소인 쌍만 남긴다.
- 10% 조건을 식으로
- 분수 없애기
- 곱 형태로 인수분해
- 인수쌍 나열하기
- 서로소인 분수만 남기기