AMC 10 · 2015 · #15

학년 7 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

x와 y가 서로소인 양의 정수일 때 만들 수 있는 모든 분수

\frac{x}{y}

를 생각한다. 분자와 분모에 각각 1을 더한다. 새 분수의 값이 원래 값보다 정확히 10% 커지는 경우를 찾아, 그런 분수가 몇 개인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

분수가 이미 x와 y라는 이름을 주므로 '10% 커진다'는 말을 x와 y 사이의 식으로 바꾼다. 이 식에는 xy 항이 섞여 있으니 인수분해 형태로 다시 정리하면 '두 정수의 곱이 110'이라는 문제로 바뀐다. 그다음 곱이 110이 되는 인수쌍을 나열하고, 서로소가 아닌 경우를 지운다.

1STEP 1

10% 조건을 식으로

10% 증가는 $\frac{11}{10}$ 을 곱하는 것이다.

(x+1)/(y+1) = 11/10·x/y

2STEP 2

분수 없애기

교차 곱셈으로 분수를 없애면 x와 y의 방정식 하나만 남는다.

10y(x+1) = 11x(y+1) → 10xy+10y = 11xy+11x → xy+11x-10y = 0

3STEP 3

곱 형태로 인수분해

식을 정리하고 상수를 더하면 곱이 110인 형태가 된다.

xy+11x-10y = 0 → (10-x)(y+11) = 110

4STEP 4

인수쌍 나열하기

110의 약수를 맞추면 후보 세 쌍이 나온다: (5,11), (8,44), (9,99).

110 = 5 · 22 = 2 · 55 = 1 · 110

5STEP 5

서로소인 분수만 남기기

서로소인 것은 (5,11)뿐이므로 답은 정확히 하나, (B)이다.

gcd(5,11)=1, 6/12=1/2 = 1.1·5/11

정답

(5,11)을 다시 넣으면

\frac{5}{11}

은 약 0.4545이고

\frac{6}{12}

= 0.5으로 정확히 10% 증가다(0.4545 x 1.1 = 0.5). 나머지 인수쌍은 식이 아니라 서로소 규칙에서만 탈락했으므로 대수 계산이 옳았음을 확인해 주며, 유효한 분수는 정확히 하나만 남는다.

💡핵심 정리

'10% 더 크게'를 $\frac{11}{10}$ 곱하기로 바꾸고 곱이 110인 형태로 인수분해한 뒤, 서로소인 쌍만 남긴다.

10% 조건을 식으로
분수 없애기
곱 형태로 인수분해
인수쌍 나열하기
서로소인 분수만 남기기

10% 조건을 식으로

분수 없애기

곱 형태로 인수분해

인수쌍 나열하기

서로소인 분수만 남기기

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