AMC 10 · 2015 · #16

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationssymmetric-polynomialsdifference-of-squares symmetry-argument ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 수 x와 y가 두 식으로 묶여 있다. y 더하기 4는 (x 빼기 2)의 제곱과 같고, x 더하기 4는 (y 빼기 2)의 제곱과 같다. 두 수는 서로 다르다. 이때 x 제곱 더하기 y 제곱의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

x와 y를 하나씩 따로 구하려고 하면 복잡한 사차식이 나온다. 두 식은 서로 거울처럼 대칭이므로, 대신 식을 다르게 정리한다. 두 식을 더하면 하나의 대칭 관계가 나오고, 두 식을 빼면 또 다른 관계가 나온다. 더하면 x² + y² 과 x + y 사이의 연결이 생기고, 빼면 제곱의 차 인수분해를 통해 x + y 가 곧바로 나온다. x와 y를 각각 구할 필요 없이, 문제가 실제로 묻는 조합만 다루면 된다.

1STEP 1

두 식을 더하기

두 식을 더하면 상수 8이 사라지고 x² + y² 과 x + y 가 바로 연결된다.

(y+4)+(x+4) = (x-2)²+(y-2)² → x+y+8 = x²+y²-4(x+y)+8 → x²+y² = 5(x+y)

2STEP 2

두 식을 빼기

두 식을 빼면 좌변은 y - x, 우변은 두 제곱의 차가 된다.

(y+4)-(x+4) = (x-2)²-(y-2)² → y-x = (x+y-4)(x-y)

3STEP 3

x - y 인수를 약분하기

x가 y와 다르므로 공통 인수 (x - y) 는 0이 아니니, 나누면 x + y 에 대한 간단한 식이 남는다.

-(x-y) = (x+y-4)(x-y) → -1 = x+y-4 → x+y = 3

4STEP 4

합쳐서 x² + y² 구하기

1단계 관계식에 3단계에서 구한 x + y = 3을 대입하면 답이 나온다.

x²+y² = 5(x+y) = 5· 3 = 15

정답

개별 수로 다시 확인한다. x + y = 3 과 x² + y² = 15 로부터 곱은 xy = ((x+y)² - (x²+y²))/2 = (9 - 15)/2 = -3 이다. 따라서 x와 y는 t² - 3t - 3 = 0 의 두 근, 즉 (3 ± √(21))/2 이다. 이들은 실수이고 서로 다르므로 x 이 아닌 y 와 맞는다. 이 두 근을 제곱해서 더하면 (x+y)² - 2xy = 9 - 2(-3) = 15 로 같은 값이 나오므로, 지름길과 정면 계산이 일치한다.

💡핵심 정리

두 식이 거울처럼 대칭이면 더하고 빼 보세요. 합과 차가 필요한 조합을 바로 건네주는 경우가 많습니다.

두 식을 더하기
두 식을 빼기
x - y 인수를 약분하기
합쳐서 x² + y² 구하기

두 식을 더하기

두 식을 빼기

x - y 인수를 약분하기

합쳐서 x² + y² 구하기

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