AMC 10 · 2015 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryslope-interceptequilateral-trianglethirty-sixty-ninety-triangle symmetry-argument ↑ 선수 지식: coordinate-geometryequilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 직선이 삼각형을 만든다: 수직선 x = 1, 기울어진 직선 y = 1 + (√3/3)x, 그리고 원점을 지나는 셋째 직선. 이 세 직선이 만드는 삼각형은 정삼각형이다. 둘레를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{6}$

(B)

$2+2\sqrt{3}$

(C)

(D)

$3 + 2\sqrt{3}$

(E)

$6 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

세 직선을 그려 보면 한 변이 수직이라는 것이 보이고, 그러면 정삼각형은 수평 대칭축을 가질 수밖에 없다. 이 대칭성 덕분에 복잡한 계산 없이 모르는 셋째 직선의 기울기가 정해진다. 그 다음은 작은 문제로 나뉜다: x = 1 위에 놓인 두 꼭짓점을 찾고, 그 수직 변의 길이를 재고, 정삼각형은 세 변이 같으니 세 배 하면 된다.

1STEP 1

기울기를 각도로 읽기

기울기가 30도이므로 수직선과 60도로 만난다 — 정삼각형의 한 내각이다.

기울기 = √3/3 = 1/√3 = tan 30°

2STEP 2

대칭으로 셋째 직선 구하기

수직 변이 수평 대칭을 만들어 셋째 직선의 기울기는 부호가 반전된 −√3/3 이다.

y = -√3/3 x

3STEP 3

x = 1 위의 두 꼭짓점 찾기

두 기울어진 직선에 x = 1 을 대입하면 나머지 두 꼭짓점이 나온다.

(1, 1+√3/3) 그리고 (1, -√3/3)

4STEP 4

수직 변의 길이 재기

두 꼭짓점이 x = 1 을 공유하므로 변의 길이는 두 y값의 차이일 뿐이다.

s = (1+√3/3)-(-√3/3) = 1 + 2√3/3

5STEP 5

세 배 해서 둘레 구하기

세 변이 같으므로 한 변을 세 배 하면 둘레: 3 + 2√3, 보기 (D)와 일치한다.

P = 3(1 + 2√3/3) = 3 + 2√3

정답

3 + 2√(3)

수치로 보면 3 + 2√3 은 약 6.46 이라 한 변은 대략 2.15 이다. 수직 변은 y ≈ −0.58 에서 y ≈ 1.58 까지로 차이가 약 2.15 라 일치한다. 두 기울어진 직선이 만나는 꼭대기 점은 (−√3/2, 1/2) 인데, 이 점에서 두 꼭짓점까지의 거리도 약 2.15 라 정삼각형임이 확인된다.

💡핵심 정리

수직 변은 삼각형을 거울 대칭으로 만들어 셋째 직선은 기울기 부호만 뒤집는다; 꼭짓점을 찾아 재고 세 배 한다.

기울기를 각도로 읽기
대칭으로 셋째 직선 구하기
x = 1 위의 두 꼭짓점 찾기
수직 변의 길이 재기
세 배 해서 둘레 구하기

기울기를 각도로 읽기

대칭으로 셋째 직선 구하기

x = 1 위의 두 꼭짓점 찾기

수직 변의 길이 재기

세 배 해서 둘레 구하기

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