AMC 10 · 2015 · #18

학년 7 arithmetic
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
base-conversionsystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: base-conversion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
16진법(십육진법)에서는 각 자리에 0–9 또는 A–F 중 하나의 기호를 씁니다(여기서 A,…,F는 10,…,15를 나타냄). 1부터 1000까지의 정수를 봅시다. 이들을 십육진법으로 썼을 때 숫자 기호 0–9만 쓰고 글자 기호는 하나도 쓰지 않는 수가 몇 개인지 세고, 그 개수를 n이라 한 뒤 n의 각 자리 숫자를 모두 더합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
17
(B)
18
(C)
19
(D)
20
(E)
21

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

1000개를 일일이 적는 것은 무리이므로, 대신 **자리별로** 세어봅니다(도구 #2): 조건을 만족하는 수는 결국 각 자리가 0–9로만 제한된 십육진 자리의 나열일 뿐입니다. 그 나열의 길이를 정하기 위해 먼저 '1000을 십육진법으로 쓰면?'이라는 더 쉬운 작은 문제를 풉니다(도구 #9). 그러면 항상 3개의 십육진 자리만 다루면 됨을 알 수 있습니다. 자리마다 하나의 작은 문제로 쪼개고(도구 #7), 유일하게 까다로운 부분 — 맨 앞(256의 자리) 숫자가 얼마까지 가능한가 — 은 경계 점검으로 해결합니다(도구 #14): 4 × 256 = 1024는 이미 1000을 넘습니다. 각 자리의 경우의 수를 곱하면 답이 바로 나오므로 길게 나열할 필요가 없습니다.

1STEP 1

1000을 십육진법으로 바꾸기

16으로 반복해 나누면 1000 = 3E8₁₆: 최대 세 자리 십육진수다.

1000 = 3· 16² + 14· 16 + 8 = 3E8₁6
2STEP 2

자리별 조건으로 바꾸기

수를 d₂d₁d₀로 쓰면, 숫자 기호만 쓴다는 조건은 각 자리를 0–9로 제한한다는 뜻이다.

d₂ d₁ d₀₁6 = 256 d₂ + 16 d₁ + d₀, d₂,d₁,d₀ ∈ {0,…,9}
3STEP 3

맨 앞 자리 범위 정하기

극단값을 확인하면 d₂ = 4는 1000을 넘으므로, d₂는 0–3(4가지)만 가능하다.

4· 256 = 1024 ＞ 1000, 399₁6=921 ≤ 1000
4STEP 4

자리별 경우의 수 곱하기

자리별 경우의 수를 곱하면 4 × 10 × 10 = 400; 전부 영인 것을 빼면 n = 399다.

n = 4 × 10 × 10 - 1 = 400 - 1 = 399
5STEP 5

n의 자리 숫자 더하기

399의 자리 숫자를 더하면 3 + 9 + 9 = 21, 즉 선택지 (E)다.

3 + 9 + 9 = 21 → (E)
정답
21
n = 4 × 10 × 10 − 1 = 399, 자리 합 3 + 9 + 9 = 21
개수를 점검해 봅시다. 001₁₆부터 399₁₆까지의 '숫자만 쓴' 십육진 나열은 보통의 세 자리 십진수 001부터 399까지와 똑같이 행동합니다 — 같은 기호, 같은 순서 — 그러므로 399개여야 하고, 이는 n = 399와 일치합니다. 경계도 맞습니다: 399₁₆ = 921이 조건을 만족하는 가장 큰 값이고, 바로 다음 후보 922, …, 1000은 39A₁₆, …, 3E8₁₆로 모두 글자를 포함하므로 921과 1000 사이에서 놓치는 것이 없습니다. 끝으로 3+9+9 = 21은 깔끔한 자리 합이고, 21은 제시된 선택지 중 하나입니다.
💡핵심 정리

수를 나열하는 대신 자리 칸을 세어라: 첫 자리 4가지, 다음 두 자리 각 10가지를 곱하고 영을 뺀다.

  • 1000을 십육진법으로 바꾸기
  • 자리별 조건으로 바꾸기
  • 맨 앞 자리 범위 정하기
  • 자리별 경우의 수 곱하기
  • n의 자리 숫자 더하기

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