AMC 10 · 2015 · #21
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
여섯 모서리 안에는 모서리 AB를 따라 붙어 있는 똑같은 3-4-5 직각삼각형 두 개가 숨어 있다. 문제 전체는 두 삼각형이 AB를 축으로 어떻게 접혀 있는지 머릿속에 그리는 일로 바뀐다. 삼각형 ABC가 놓인 평면 위로 점 D가 얼마나 높이 떠 있는지를 알면, 부피는 곧 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1이므로, 친숙한 직각삼각형으로 쪼개어 받쳐 주는 공간 상상이 열쇠다.
두 개의 3-4-5 삼각형 찾기
면 ABC와 ABD 모두 세 변이 3, 4, 5로 같아 빗변 AB를 공유하는 직각삼각형이다.
세 변이 3, 4, 5인 삼각형은 저절로 직각삼각형이다.
8.G.B.6Identify SubproblemsAB로 두 수선 내리기
C와 D에서 AB에 내린 수선은 같은 발 H에서 만나며, 그 길이는 12/5다.
직각에서 빗변까지의 가장 짧은 거리는 두 변의 곱을 빗변으로 나눈 값이다.
8.G.B.7Draw A DiagramCH와 DH가 수직임을 보이기
삼각형 CHD가 피타고라스 역을 만족하므로 CH ⊥ DH다.
두 선분이 a² + b² = c²를 만족하면 그 사이 각은 완벽한 직각이다.
8.G.B.6Visualize Spatial Relationships입체의 높이 읽어내기
DH가 평면 ABC의 두 교차선에 모두 수직이므로, 밑면 ABC 위로 선 사면체의 높이가 된다.
한 평면에서 만나는 두 직선에 수직인 선분은 그 평면에서 곧게 솟아오른다.
6.G.A.1Visualize Spatial Relationships부피 계산하기
밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1로 부피는 24/5이며, 답은 (C)다.
각뿔은 같은 밑면과 높이를 가진 상자의 정확히 3분의 1만 담는다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships모서리에 3-4-5 직각삼각형이 숨어 있으면 두 높이가 만나는 곳을 찾고, 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1로 부피를 얻는다.
- 두 개의 3-4-5 삼각형 찾기
- AB로 두 수선 내리기
- CH와 DH가 수직임을 보이기
- 입체의 높이 읽어내기
- 부피 계산하기
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