AMC 10 · 2015 · #22
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모든 동전이 공정하고 독립이므로 서기/앉기 배열 2⁸ = 256가지가 모두 같은 확률을 가져, 확률은 (안전한 배열의 수)/256일 뿐이다. "이웃한 둘이 서 있지 않음"을 한꺼번에 세기는 어려우니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일어선 사람 수에 따라 0, 1, 2, 3, 4명으로 나눈다(5명 이상은 닿지 않게 앉힐 수 없다). 쉬운 경우는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 세고, 까다로운 한 경우 — 정확히 3명이 서는 경우 — 는 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 푼다: 세 명 조합을 모두 센 뒤 두 명이 나란히 서는 것을 빼면 된다.
확률을 분수로 세우기
독립적인 8번의 동전 던지기는 2⁸ = 256가지의 동일 확률 배열을 만들며, 확률은 안전한 배열 수 ÷ 256입니다.
모든 결과가 같은 확률이면 확률은 그냥 세기 문제다: 좋은 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈다.
7.SP.C.7Identify Subproblems선 사람 수로 나누기
안전한 배열을 선 사람 수로 분류합니다; 번갈아 서야 최대 4명까지 가능해 0~4명만 존재합니다.
결과를 분명한 기준으로 겹치지 않는 경우로 나누면 어려운 한 번의 세기가 쉬운 몇 번의 세기로 바뀐다.
7.SP.C.8Identify Subproblems0, 1, 2명 서는 경우 세기
작은 경우를 직접 센다: 0명 → 1, 1명 → 8, 2명 → C(8, 2)에서 이웃 쌍 8개를 뺀 20.
결과를 차례차례 나열하면 작은 경우는 스스로 세어진다.
7.SP.C.8Make A Systematic List3명 서는 경우를 여집합으로 세기
전체 조합에서 나쁜 경우를 뺀다: C(8, 3) − 8(블록) − 32(한 쌍) = 16가지.
좋은 경우가 얽혀 있을 때는 전체를 세고 나쁜 경우를 떼어내라.
7.SP.C.8Count The Complement4명 서는 경우 세기
앉을 사람이 4명뿐이라 번갈아 서야 하며, 짝수 또는 홀수 자리로 2가지 배열이 나옵니다.
한계까지 꽉 차면 남은 자리는 엄격한 교대뿐이고, 원은 그런 배열을 딱 둘 준다.
7.SP.C.8Make A Systematic List모두 더하고 나누기
모든 경우를 더하면(1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47) 256으로 나눠 답이 나온다, 선택지 (A).
겹치지 않는 경우의 수를 모두 더한 뒤 전체로 한 번 나눈다.
7.NS.A.3Identify Subproblems동전 던지기가 모두 같은 확률이므로, 안전한 배열을 선 사람 수로 세어 47을 만든 뒤 256으로 나눈다.
- 확률을 분수로 세우기
- 선 사람 수로 나누기
- 0, 1, 2명 서는 경우 세기
- 3명 서는 경우를 여집합으로 세기
- 4명 서는 경우 세기
- 모두 더하고 나누기