AMC 10 · 2015 · #8

학년 8 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2년 전에 피트는 사촌 클레어보다 나이가 세 배 많았다. 그보다 2년 더 전(즉 4년 전)에는 피트가 클레어보다 나이가 네 배 많았다. 지금부터 몇 년 후에 피트와 클레어의 나이의 비가 2 : 1이 될까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제는 과거 두 시점의 정보와 미래에 대한 질문이 섞여 있으므로, 모든 것을 한 고정된 순간인 '지금'에 묶는 것이 가장 안전하다. 도구 #4(변수 도입하기)로 피트와 클레어의 현재 나이를 P, C라 두면, 이야기 속 다른 모든 나이는 P나 C에서 2년 또는 4년만큼 이동한 값이 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 문장을 두 개의 방정식으로 옮기면 P와 C가 확정된다. 현재 나이를 알고 나면 미래 비율 질문은 연수를 구하는 짧은 방정식 하나로 바뀐다.

1STEP 1

현재 나이에 이름 붙이기

지금 나이를 P(피트), C(클레어)라 하면 과거 나이는 여기서 이동한 값입니다.

P = 현재 피트, C = 현재 클레어

2STEP 2

두 사실을 식으로 옮기기

두 사실을 식으로 쓰면 P-2 = 3(C-2), P-4 = 4(C-4)입니다.

P-2 = 3(C-2) 그리고 P-4 = 4(C-4)

3STEP 3

연립방정식으로 나이 구하기

두 식을 P에 대해 같다고 놓으면 C = 8이고, P = 20입니다.

3C-4 = 4C-12 → C = 8, P = 20

4STEP 4

미래 비율 방정식 세우기

x년 후 피트는 20+x, 클레어는 8+x이며 비 2:1은 20 + x = 2(8 + x)를 뜻합니다.

(20+x)/(8+x) = 2/1 → 20 + x = 2(8+x)

5STEP 5

연수 구하기

풀면 x = 4년 — 선택지 (B).

20 + x = 16 + 2x → x = 4 → (B)

정답

P=20, C=8을 두 과거 사실에 넣어 확인한다. 2년 전: 피트 18, 클레어 6, 18 = 3 × 6. 4년 전: 피트 16, 클레어 4, 16 = 4 × 4. 둘 다 성립한다. 미래에 대해서는 4년 후 피트가 24, 클레어가 12로 24 = 2 × 12, 깔끔한 2:1이다. 모두 맞으므로 x=4가 확인된다.

💡핵심 정리

모든 나이를 오늘의 P와 C에 묶고, 두 단서로 현재 나이를 정한 뒤, 몇 년 후 피트가 클레어의 두 배가 되는지 묻는다.

현재 나이에 이름 붙이기
두 사실을 식으로 옮기기
연립방정식으로 나이 구하기
미래 비율 방정식 세우기
연수 구하기

현재 나이에 이름 붙이기

두 사실을 식으로 옮기기

연립방정식으로 나이 구하기

미래 비율 방정식 세우기

연수 구하기

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