AMC 10 · 2015 · #9

학년 8 geometry-3d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series
volume-cylinderpercentageratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: volume-cylinderpercentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 직원기둥의 부피가 같다. 둘째 원기둥의 반지름은 첫째 원기둥의 반지름보다 10% 더 크다. 두 높이가 어떻게 비교되는지 설명하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
The second height is } 10\% \text{ less than the first.
(B)
The first height is } 10\% \text{ more than the second.
(C)
The second height is } 21\% \text{ less than the first.
(D)
The first height is } 21\% \text{ more than the second.
(E)
The second height is } 80\% \text{ of the first.

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제는 수가 아니라 관계를 주므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 두 반지름과 두 높이에 이름을 붙이고 각 부피를 같은 공식으로 쓴다. 그러면 부피가 같다는 조건이 식 하나가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 식 안에서 일을 한다: 공통인 π r₁²이 약분되고 1.1²이 하나의 인수로 합쳐져, 두 높이가 곧바로 비교된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 인수를 백분율로 읽어 다섯 선택지 중 정확히 하나에 맞추고 10% 함정을 드러낸다.

1STEP 1

각 부분에 이름 붙이고 부피를 같게 놓기

두 원기둥 부피를 π r² h로 쓰면 π r₁² h₁=π r₂² h₂입니다.

π r₁² h₁=π r₂² h₂
2STEP 2

10% 더 크다를 곱셈 인수로 바꾸기

"10% 더 크다"는 r₂=1.1 r₁을 뜻하며, 이를 부피 식에 대입합니다.

r₂=1.1 r₁, π r₁² h₁=π (1.1 r₁)² h₂
3STEP 3

공통 인수 약분하기

공통 π r₁²을 약분하고 (1.1)²=1.21을 쓰면 h₁=1.21 h₂입니다.

π r₁² h₁=1.21 π r₁² h₂ → h₁=1.21 h₂
4STEP 4

1.21을 백분율로 읽고 선택지 고르기

h₁=1.21 h₂는 첫째 높이가 둘째보다 21% 크다는 뜻 — 선택지 (D).

h₁=1.21 h₂=h₂+0.21 h₂ → (D)
정답
The first height is 21% more than the second.
r₁=10이라 하면 r₂=11이고 h₂=100이라 잡자. 그러면 V₂=π(11)²(100)=12100π이다. 부피가 같으므로 V₁=π(10)² h₁=12100π, 따라서 h₁=121이다. 첫째 높이 121은 둘째 100보다 정확히 21% 크므로 (D)가 확인된다. 둘째 100은 첫째 121의 100/121≈ 82.6%로 80%가 아니므로 (E)는 틀리고, 121과 100의 차이는 21%라서 10% 비교인 (A)나 (B)도 맞지 않는다.
💡핵심 정리

부피가 고정되면 높이는 반지름의 제곱과 맞서야 해서, 반지름이 10% 넓어지면 높이 차는 10%가 아니라 21%다.

  • 각 부분에 이름 붙이고 부피를 같게 놓기
  • 10% 더 크다를 곱셈 인수로 바꾸기
  • 공통 인수 약분하기
  • 1.21을 백분율로 읽고 선택지 고르기

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