AMC 10 · 2015 · #11

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-numbersprimality-testprobability-basic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

100보다 작은 양의 정수 중에서 각 자리 숫자가 모두 소수인 수들을 모두 살펴본다. 그중 하나를 무작위로 고를 때, 고른 수 자체가 소수일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{8}{99}$

(B)

$\dfrac{2}{5}$

(C)

$\dfrac{9}{20}$

(D)

$\dfrac{1}{2}$

(E)

$\dfrac{9}{16}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

대상이 되는 수의 개수가 적으므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 조건을 만족하는 수를 빠짐없이, 중복 없이 적어 낼 수 있다. 확률은 분수이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 개의 독립적인 세기로 나눈다: 조건을 만족하는 수가 몇 개인지(분모)와 그중 소수가 몇 개인지(분자). 두 개수를 모두 구한 뒤 도구 #3(가능성 지우기)으로 약분한 분수를 정확히 하나의 보기와 맞춘다.

1STEP 1

허용되는 숫자 찾기

한 자리 숫자가 소수인 것은 2, 3, 5, 7뿐이므로, 조건을 만족하는 수는 오직 {2, 3, 5, 7}로만 이루어진다.

prime digits = {2, 3, 5, 7}

2STEP 2

조건을 만족하는 수 모두 세기

한 자리 수는 4개, 두 자리 수는 4 × 4 = 16개이므로 전체 집단은 4 + 16 = 20개이다.

4 + (4 × 4) = 4 + 16 = 20

3STEP 3

나열하고 소수인지 검사하기

한 자리 수 4개는 모두 소수이고, 두 자리 수 중에서는 23, 37, 53, 73만 소수여서 소수는 모두 8개이다.

primes: 2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73

4STEP 4

확률을 만들고 보기 고르기

전체 20개 중 소수가 8개이므로 확률은 8/20이고, 약분하면 2/5여서 보기 (B)와 맞는다.

8/20 = 2/5 → (B)

정답

2/5

20개 중 약 8개가 소수이면 약 40%의 비율인데, 이 집합은 일부러 소수인 숫자로만 채워졌고 0,4,6,8 같은 짝수 끝자리를 모두 배제했으므로 그럴듯하다. 분수 2/5 역시 아주 작은 8/99와 더 큰 1/2 사이에 자연스럽게 놓인다. 다시 세어 봐도 소수는 정확히 8개, 전체는 20개이므로 2/5가 맞다.

💡핵심 정리

각 경우가 똑같이 일어나는 확률은, 전체 집단을 나열하고 조건에 맞는 것이 몇 개인지 세어 그 수를 전체 수 위에 올리면 된다.

허용되는 숫자 찾기
조건을 만족하는 수 모두 세기
나열하고 소수인지 검사하기
확률을 만들고 보기 고르기

허용되는 숫자 찾기

조건을 만족하는 수 모두 세기

나열하고 소수인지 검사하기

확률을 만들고 보기 고르기

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